Les systèmes d’imagerie et les cristaux
phononiques

En préambule à l’étude de la propagation des ondes acoustiques à travers les milieux périodiques élastiques que sont les cristaux phononiques, ce chapitre expose les concepts initialement développés pour l’imagerie (acoustique entre autres). En premier lieu, les lentilles classiques et les limitations associées sont présentées. Partant d’exemples simples, les propriétés liées à la propagation des ondes dans les réseaux périodiques sont introduites : diagramme de bandes, bandes interdites, réfraction négative et modes de Bloch. Ces propriétés permettent d’analyser et interpréter les images obtenues à l’aide de lentilles à base de cristaux phononiques. emes d’imagerie et les cristaux phononiques 

Formation d’images en acoustique 

Propagation d’ondes acoustiques

 Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire à l’échelle des particules se transmettant de proche en proche dans un milieu élastique. Si la vibration des particules correspond à la direction de propagation, l’onde est dite polarisée longitudinalement. C’est la polarisation dominante dans les gaz et les fluides. Pour les ondes transverses, la vibration des particules se fait dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation. Les ondes avec ces deux types polarisations sont simultanément présentes dans les solides élastiques et les vitesses de propagation associées sont respectivement dénommées vitesse longitudinale et vitesse transverse. Pour les fluides, l’équation de propagation s’identifie à l’équation de d’Alembert : ∆p − 1 c 2 ∂ 2p ∂t2 = 0, (1.1) o`u p désigne le champ de pression. c = 1 √ρχs est la vitesse de propagation des ondes dans le fluide, ρ la masse volumique, χs le coefficient de compressibilité isentropique. ∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 est le Laplacien du système et (x, y, z) les coordonnées cartésiennes du repère direct. L’équation de propagation dans les solides élastiques est plus compliquée, du fait d’un plus grand nombre de paramètres décrivant la dynamique dans un solide élastique. Elle sera présentée en mˆeme temps que le modèle de calcul des structures de bandes dans les milieux périodiques (cf paragraphe 2.2.1.2). 

Généralités sur les ondes acoustiques 

Deux approches seront très souvent utilisées dans ce manuscrit. La première concerne le tracé géométrique des rayons qui permet de représenter la propagation dans un milieu donné ainsi qu’à l’interface entre deux milieux distincts. Elle correspond à la prise en compte du trajet balistique de l’onde. Le second concept est utilisé pour modéliser l’interaction de l’onde avec des objets de tailles comparables à la longueur d’onde. En effet, 1.1. Formation d’images en acoustique 9 l’aspect ondulatoire permet de définir une double périodicité temporelle et spatiale. En propagation linéaire, la périodicité temporelle T ne dépend pas du milieu traversé, mais de l’excitation. La fréquence f de l’onde est l’inverse de la période temporelle, et se déduit de la pulsation ω (ω = 2πf). La seconde périodicité est spatiale, la longueur d’onde λ. Elle dépend du milieu traversé. La pulsation associée, k = 2π/λ, est appelée nombre d’onde. k est le module du vecteur d’onde, parallèle à la direction de propagation de la phase de l’onde. La relation entre les deux périodes est λ = cT, o`u c est la vitesse de propagation de la phase de l’onde dans le milieu de propagation. Il est possible d’associer un indice de réfraction et une impédance acoustique à chaque milieu isotrope. L’indice de réfraction d’un milieu est donné par le rapport n = km ke , avec km le nombre d’onde du milieu isotrope et ke le nombre d’onde de l’eau. L’eau, milieu dans lequel auront lieu toutes les mesures, est choisie d’indice unitaire. Enfin, l’impédance acoustique ZA du milieu est définie par le produit ρc et s’exprime en Pa·s·m−1 . 

Propriétés d’un système d’imagerie 

Focalisation à travers les lentilles

 Les lentilles courantes sont constituées d’un milieu isotrope homogène et la réflexion (réfraction) des ondes aux interfaces entre deux milieux distincts est dictée par les valeurs des indices. Pour faire converger (respectivement diverger) la trajectoire des ondes, les surfaces des lentilles minces convergentes (divergentes) classiques épousent une forme convexe (respectivement concave), figure 1.1. Le foyer image F 0 de la lentille est défini comme étant le point de convergence de tous les rayons issus de l’infini et parallèles à l’axe de la lentille. Pour une lentille divergente, ces rayons sont déviés selon des directions divergentes d’un foyer objet F situé en amont de la lentille. La propagation à la traversée de l’interface entre deux milieux distincts d’indices n1 et n2 (figure 1.2) est régie par la loi de Snell-Descartes. Une partie de l’énergie incidente est réfléchie dans le milieu 1 du fait de la différence d’impédance entre les deux milieux, alors que la seconde partie est réfractée dans le milieu 2. Les trois ondes (incidente, réfléchie et transmise) se propagent dans le mˆeme plan. Les changements de direction de 10 1. Notions gen´ erales ´ Figure 1.1 – Lentille bi-convexe (L) permettant de faire converger des rayons incidents parallèles à l’axe au foyer image F 0 . Figure 1.2 – Réfraction à l’interface entre deux milieux d’indices différents.

Formation d’images en acoustique 

propagation des ondes à l’interface entre les deux milieux sont basés sur l’égalité de la composante tangentielle des vecteurs d’ondes incident k1,i, réfléchi k1,r et réfracté k2,t. Pour la réfraction, elle s’écrit : k1,i sin θ1 = k2,t sin θ2, (1.2) soit n1 sin θ1 = n2 sin θ2, (1.3) avec n1 et n2 les indices des milieux 1 et 2 respectivement. θ1 et θ2 sont les angles associés, repérés par rapport à la normale à l’interface (voir figure 1.2). Par la suite, en considérant les milieux périodiques étudiés comme des milieux effectifs, la loi de Snell-Descartes permet de déterminer les angles de réfraction aux interfaces. De manière à effectuer l’image d’une source, les dispositifs optiques d’imagerie classiques nécessitent l’emploi de deux lentilles convergentes. Dans un tel système, qualifié d’afocal, les foyers image F 0 1 et objet F2 sont confondus (figure 1.3). Les paragraphes suivants définissent les caractéristiques classiques de ce type de système. Figure 1.3 – Dispositif d’imagerie afocal et stigmatique. 

Stigmatisme

 Un système est dit centré si l’ensemble des éléments qui le constituent possède une symétrie de révolution autour d’un axe unique. En considérant un point S dans l’espace objet et le point image correspondant I dans l’espace image, le système est stigmatique  si tous les rayons passant par S passent aussi par I. Ainsi, l’image d’un point est un point. Cependant, le stigmatisme rigoureux ne peut ˆetre qu’approché pour les systèmes réels. Dans ce cas, le système est caractérisé par un grandissement γ caractéristique de la déformation du point image I par rapport au point source S à travers le système. Pour un objet étendu, la caractérisation du stigmatisme approché amène à considérer des objets plans (infiniment minces). Dans un premier temps, l’objet est considéré comme perpendiculaire à l’axe de symétrie du système (condition d’Abbe ou de LagrangeHelmholtz) (figure 1.4(a)). La condition d’Abbe s’écrit : nAB sin α = n 0A0B0 sin α 0 . (1.4) Le grandissement latéral est alors défini comme le rapport (algébrique) γy = A0B0 AB . Si la condition d’Abbe est réalisée, l’image d’un plan est un plan : il s’agit donc d’une condition d’aplanétisme. Dans le second cas o`u, l’objet est parallèle à l’axe du système centré, c’est la condition d’Herschel (figure 1.4(b)). Elle est donnée par : nAB sin2 α 2 = n 0A0B0 sin2 α 0 2 . (1.5) Elle permet de définir le grandissement axial donné par le rapport algébrique γx = A0B0 AB . Ces deux conditions sont incompatibles : elles ne peuvent ˆetre satisfaites simultanément 

Résolution : le critère de Rayleigh 

La résolution des dispositifs d’imagerie est, du fait de leurs dimensions finies, limitée par l’apparition de phénomènes de diffraction. A titre d’exemple, un objet ponctuel ` imagé à travers une lentille de distance focale f 0 (figure 1.1) et de rayon R conduira à une tˆache focale centrale de diamètre angulaire de λF/R, appelée disque d’Airy et entourée d’anneaux concentriques moins lumineux (figure 1.5(a)). La netteté des anneaux dépend fortement de la qualité de l’instrument, en terme d’aberrations géométriques et chromatiques.