LES SYSTEMES DE NUMERATION

Introduction

Une petite légende autour du mot « calcul » (qui vient de « calculus », en latin, caillou), nous raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons.
C’est ce qu’on appelle la correspondance terme à terme. Elle consiste à associer à chaque élément de l’ensemble à compter (ici les moutons), des éléments d’une autre variété (cailloux, doigts…) Elle est la base de tout système de numération et permet en particulier de comparer la taille des ensembles.

Chiffres et nombres

L’évolution de nos chiffres s’étale sur plusieurs millénaires. C’est au Paléolithique (il y a 30 000 ans) qu’on trouve les premières marques permettant de conserver les nombres sur des supports tels que les os ou le bois. La plus ancienne est un péroné de babouin portant 29 encoches trouvé au Swaziland en Afrique australe. Dans toute numération, il faut distinguer chiffres et nombres.

Un nombre est le résultat du décompte d’un ensemble d’objets, d’animaux, de personnes …
Les chiffres sont des symboles servant à écrire des nombres.

Deux types de systèmes de numération

Chaque civilisation avait son système de numération plus ou moins performant dans sa propre base. De façon générale, on distingue deux systèmes de numération : le système additif et le système de position.

a) Dans le système additif, la valeur d’un nombre est égale à la somme des symboles qui le composent. Un nombre est formé par la juxtaposition de symboles répétés autant de fois qu’il le faut. Ces systèmes correspondent par exemple aux systèmes égyptien ou romain (voir les fiches concernant ces deux systèmes) :

Dans le système égyptien, la position ou l’ordre des hiéroglyphes ne sont pas importants. Seule contrainte : le même hiéroglyphe ne doit pas être dessiné plus de neuf fois. Pour lire un nombre, il suffit d’additionner les valeurs de tous les hiéroglyphes qui ont été utilisés pour écrire le nombre.

Symboles de la numération hiéroglyphique

1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000

barre	anse	Corde enroulée	Fleur de lotus	Doigt coupé	Têtard	Dieu assis

Exemple :

252 214	22 324
321 060	133 600

De même, le système romain est essentiellement additif.

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50

C = 100 D = 500 M = 1000

Ici, cependant, un même symbole ne peut être répété plus de trois fois. Ainsi, on écrit : V pour 5, IV pour 4 et VI pour 6. La position du symbole I dans les écritures IV ou VI (ou celle de X dans XC = 9) importe dans ce cas, mais cela reste une exception. On voit vite les limites de ce procédé quand il s’agit de représenter des grands nombres mais surtout d’effectuer des calculs. Le principe additif imposait en effet une distance entre écriture et calcul exigeant l’usage de dispositifs matériels tels le boulier ou l’abaque.Comment peut on écrire alors un nombre avec moins symboles ?

b) Le principe de position semble en être la meilleure réponse et constitue une avancée capitale dans l’histoire de l’écriture des nombres.

L’idée ingénieuse est que la valeur du symbole varie en fonction de la place qu’il occupe dans l’écriture du nombre.

Notre système de numération est un système de position. Dans 553, par exemple, le « 5 de gauche » occupe la place des centaines et vaut 10 fois plus que le « 5 du centre » occupant la place des dizaines. Ce sont pourtant les mêmes symboles !Le système chinois ancien (apparu vers 200 ans avant J.C.) est aussi un système de position : avec un symbole pour chaque chiffre de 1 à 10. Il y a aussi des symboles pour 100 et 1000.
L’écriture des nombres dans un système de position implique l’utilisation de « bases ». Notre système, comme le système chinois évoqué, sont des systèmes à base dix.