Les réseaux de Pétri

LES RESEAUX DE PETRI

Introduction

C’est en 1964 que Carl Adam Pétri définissait les réseaux qui portent depuis son nom. Vingt ans ont passé sans que cet outil de modélisation, réputé puissant dans tous les laboratoires de recherche, parvienne à pénétrer le monde industriel si ce n’est sous la forme voisine, mais conceptuellement différente, du GRAFCET. Cet insuccès est sans doute imputable, pour une part, à l’absence de norme et à une utilisation, dans les écoles d’ingénieurs et les universités, plus tournée vers la recherche que vers l’industrie. Mais la raison essentielle réside sans doute dans le fait que les concepteurs de systèmes automatisés n’exigeaient pas, jusqu’à une date récente, d’outils de modélisation aussi puissants que les réseaux de Pétri. La complexité croissante de nos systèmes de production, notamment dans le domaine manufacturier, a provoqué un appel de la part des concepteurs et des utilisateurs de systèmes discontinus. Le succès du GRAFCET est dû à ce besoin nouveau d’un outil capable d’exprimer les deux grandes caractéristiques des systèmes séquentiels : le parallélisme et la synchronisation. On sait aujourd’hui cependant que la conception et l’exploitation des systèmes de production manufacturiers, pour ne prendre que cet exemple, requièrent des modèles plus riches en information et plus concis que le GRAFCET, aux fins d’analyse, de simulation et de commande. D’où l’intérêt que nous portons aujourd’hui à l’utilisation des RdP dans ce domaine d’application. Le formalisme des réseaux de Pétri est un outil permettant l’étude de systèmes dynamiques et discrets. Il permet d’obtenir une représentation mathématique modélisant le système. L’analyse de cette représentation (du réseau de Pétri) peut révéler des caractéristiques importantes du système concernant sa structure et son comportement dynamique. Les résultats d’une telle analyse sont utilisés pour évaluer le système et en permettre la modification et/ou l’amélioration le cas échéant.
Les Caractéristiques principales des RdP sont :
Distribution des états et des changements d ‘états dans le réseau. Dépendance et indépendance d ‘ensembles d ‘événements représentées explicitement (relations de causalité). Représentation à différents niveaux d ‘abstraction (i.e. détaillés comme abstraits). Vérification des propriétés possibles car basées sur un formalisme mathématique rigoureux. Modélisation simulable. Représentation graphique.

Concepts de base

Condition : Une condition est un prédicat logique d’un état du système. Elle est soit vraie, soit fausse.
Evénement : Les événements sont des actions se déroulant dans le système. Le déclenchement d’un événement dépend de l’état du système. Un état du système peut être décrit comme un ensemble de conditions.
Déclenchement, pré-condition, post-condition: Les condition nécessaires au déclenchement d’ un événement sont les pré-conditions de l’événement. Lorsqu’un événement se produit, certaines de ses pré-conditions peuvent cesser d’être vrais alors que d ‘autres conditions, appelées post-conditions de l’événement deviennent vraies. Modélisation d’un système événement – condition :
Condition: modélisée à l’aide d’une place.
Evénement: modélisé à l’aide d’une transition
Satisfaction d’une condition: modélisée à l’aide d’un jeton
Condition vraie Condition fausse

Définitions Informelles :

Un RdP est un graphe composé de 2 types de nœuds : – Les places (Pi ) qui permettent de décrire les états du système modélisé. L’ensemble de ces places est noté P={P1, P2, …}. – Les transitions (Ti) qui représentent les changements d’états. L’ensemble de ces transitions est noté T={T1, T2, …}.
Les Places et transitions sont reliées par des arcs orientés. On dira qu’un RdP est un graphe biparti orienté. A chaque arc, on attribut un poids (nombre entier). Par défaut ce nombre est égal à 1.

Remarques :
Lorsqu’une place Pi est reliée à une transition Tj par un arc : Pi?Tj, on parle de place en entrée de Tj (en amont). Lorsqu’une transition Tj est reliée à une place Pi par un arc : Tj?Pi, on parle de place en sortie de tj (en aval)Une transition se compose d’un ou de plusieurs arcs amont ou arcs d’entrée et d’un ou plusieurs arcs aval ou arcs de sortie. Chacun de ces arcs a son propre poids !

Marquage

Chaque place contient un nombre entier (positif ou nul) de marques ou jetons. Le nombre de marque contenu dans une place Pi sera noté soit M(Pi) soit mi. Le marquage du réseau à l’instant i, Mi est défini par le vecteur de ces marquages mi c-à-d Mi = (m1, m2, …,mn). Le marquage dit initial décrit l’état initial du système modélisé (M0). Ce RdP possède 4 places, 4 transitions et 8 arcs orientés. Soit donc : P = {P1, P2, P3, P4} et T={T1, T2, T3, T4} ; Le marquage initial est M0 = (2,1,1,0) ; La place P1 est en amont (une entrée) de la transition T2 et elle est en aval (une sortie) de la transition T1 ; T1 est une transition sans place d’entrée: transition source ; T2 est une transition sans place de sortie: transition puit..

Remarques :
Le marquage à un instant donné définit l’état du RdP, ou plus précisément l’état du système décrit par le RdP. L’évolution de cet état correspond donc à l’évolution du marquage (par franchissement de transitions). Par abus de langage, nous appellerons les RdP marqués : Rdp et les non marqués : RdP non marqués. A tout marquage accessible à partir du marquage initial par franchissement d’une séquence de transitions correspond un état du système.

Franchissement d’une Transition

Pour rendre compte de l’évolution du système modélisé, les réseaux de Pétri intègrent un formalisme permettant de passer d’un marquage à un autre : c’est le franchissement des transitions. Le franchissement (ou le tir) d’une transition ne peut s’effectuer que si chacune des places en amont (en entrée) de cette transition contient suffisamment de jetons (>=au poids de l’arc correspondant). On dit alors que la transition est franchissable ou validée.
Pour le premier marquage, T1 n’est pas validée car le nombre de jetons dans P1 (1) est inférieur au poids de l’arc reliant P1 à T1 (2) !

Remarques : Une transition source est donc toujours validée.
Le franchissement est une opération indivisible (atomique) qui consiste à retirer des jetons des places en amont (en entrée) et à ajouter des jetons dans les places en aval (en sortie) de la transmission franchie. Le nombre de jetons retirés ou ajoutés est égal au poids de l’arc reliant la transition à la place en question.

Exemples : Déterminer les nouveaux marquages obtenus dans les exemples suivant en franchissant les transitions validées.