Les pavages en géométrie projective de dimension 2 et 3

Les pavages en géométrie projective de dimension 2 et 3

é D est toujours strictement positive

Notations 3.  Soient G un é imaèdre étiqueté marqué, P un polyèdre miroir qui réalise XG et Γ un 3- ir uit orienté de G . Alors Γ dénit un triangle étiqueté marqué T dont les sommets sont les arêtes traversées par Γ, les arêtes de T sont les fa es traversées par Γ, les étiquettes portées par les sommets sont les étiquettes portées par les arêtes de Γ, et on marque les arêtes à l’aide de l’orientation de Γ. Lorsque Γ est sans angle droit, on notera RΓ(P) le réel RT introduit dans l’énon é du lemme 1.3.28 ; si T est sphérique, on notera rΓ le réel rT introduit avant le lemme 1.3.29 et si T est ane, on pose rΓ = 0. Cette onvention nous permettra de ne pas distinguer le as ane du as sphérique. On utilisera une autre onvention, si un 3- ir uit Γ est ave angle droit alors on pose RΓ(P) = 0. Cette onvention nous permettra de distinguer le as sans angle droit du as ave angle droit uniquement lorsque ‘est né essaire. Enn, plus généralement, si (f1, …, fk) est une suite de fa es de P , on peut dénir la quantité suivante : R(f1,…,fk)(P) = log  αf1 (vf2 )αf2 (vf3 ) · · · αfk (vf1 ) αf1 (vfk )αf2 (vf1 ) · · · αfk (vfk−1 )  . Ainsi, lorsque Γ est un 3- ir uit orienté, il dénit naturellement une suite de fa es et l’on retrouve la dénition pré édente. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on allégera les notations en notant R(f1,…,fk)(P) = R(f1,…,fk) et RΓ(P) = RΓ . 1.3.6. Les lemmes de oupe.  On her he tout d’abord à onstruire les blo s fondamentaux miroirs en oupant un tétraèdre miroir le long de ses 3- ir uits. C’est l’ob jet des lemmes 1.3.34, 1.3.35 et 1.3.39, des deux pro hains paragraphes. Ensuite, on se donne un polyèdre miroir P et on souhaite dé ouper P le long de ses 3- ir uits prismatiques essentielles pour obtenir des blo s fondamentaux. Nous allons avoir besoin des dénitions suivantes : Dénition 1.3.31.  Soient P un polyèdre miroir et Γ un 3- ir uit de P qui traverse les fa es r, s, t de P . On désignera par ΠΓ le sous-espa e proje tif engendré par les points polaires [vr], [vs], [vt ]. On dira que ΠΓ oupe P le long de Γ lorsque ΠΓ est un plan et l’interse tion de ΠΓ ave les arêtes de P est in luse dans les arêtes ouvertes le long desquelles se ren ontrent les fa es r, s, t. Remarque 1.3.32.  Soient un polyèdre miroir P de XG et Γ un 3- ir uit non essentiel de P . On numérote de 1 à 3 les fa es traversées par Γ, et on numérote 4 la fa e triangulaire dont Γ fait le tour. Nous allons montrer que si ΠΓ est un plan alors la réexion σ4 est entièrement déterminée par les réexions σ1, σ2, σ3 . En eet, omme Γ n’est pas essentiel, les arêtes de la fa e 4 sont toutes d’ordre 2 (en parti ulier σ4 ommute ave σ1 , σ2 et σ3), par onséquent les points v1 , v2 et v3 vérient α4(v1) = α4(v2) = α4(v3) = 0 (dénition 1.2.4 et notations 1). Ainsi, le plan proje tif dénissant la fa e 4 est le plan proje tif ΠΓ qui est engendré par les points polaires [v1], [v2] et [v3]. Et, la polaire [v4] de la fa e 4 vérient les équations α1(v4) = α2(v4) = α3(v4) = 0, ‘est don l’interse tion des plans proje tifs dénit par les fa es 1,2 et 3 ( ette interse tion est réduite à un point ar P est un polyèdre onvexe). 1.3. RÉSULTAT 27 Nous allons montrer que, pour tout polyèdre miroir P de XG et tout 3- ir uit prismatique essentiel Γ, ΠΓ est un plan et que e dernier oupe P le long de Γ. On peut don dénir la oupe droite P d Γ (resp. gau he P g Γ ) de P le long de Γ omme le polyèdre miroir obtenu en retirant les fa es et les réexions par rapport aux fa es à gau he (resp. droite) de Γ et en a joutant l’unique (remarque 1.3.32) réexion par rapport au plan ΠΓ qui ommute ave les réexions asso iées aux fa es traversées par Γ. Remarque 1.3.33.  Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le 3- ir uit Γ, on allégera les notations P d Γ et P g Γ en notant P d Γ = P d et P g Γ = P g . 1.3.6.1. Lemme d’é image.  Lemme 1.3.34.  Soient P un polyèdre miroir et Γ un 3- ir uit orienté de P . Le sous-espa e ΠΓ est un plan proje tif sauf si les onditions 1)2)3) ou 1)2)3)′ ou 1)2)3)′′ sont réunies. 1) Le polyèdre P est un tétraèdre ou un prisme. 2) Les arêtes des fa es qui ne sont pas traversées par Γ sont d’ordre 2. 3) Le 3- ir uit Γ est ane sans angle droit et RΓ = 0. 3)′ Le 3- ir uit Γ est sphérique sans angle droit et |RΓ| = rΓ. 3)′′ Le 3- ir uit Γ est ane ave angle droit. Démonstration.  Soient s1, s2, s3 les fa es de P traversées par Γ. Soit s4 une fa e quel onque de P diérente de s1, s2, s3. On peut supposer que les fa es (si)i=1,…,4 sont dénies par les formes linéaires (−e ∗ i )i=1,…,4, où (ei)i=1,…,4 est une base de R 4 , ar P est un polyèdre onvexe. ΠΓ n’est pas un plan proje tif si et seulement si la matri e M = (−αj (vi))j=1…4, i=1…3 est de rang 2, don si et seulement si tous les mineurs de taille 3 extraits de la matri e M sont nuls. On a : M =   −2 v21 v31 v12 −2 v32 v13 v23 −2 v14 v24 v34   où, les vij désignent les oordonnées de (vi)i=1…3 dans la base (ej )j=1…4. Le mineur obtenu en rayant la dernière ligne donne le déterminant du lemme 1.3.29. Don , si ΠΓ n’est pas un plan, alors l’une des onditions 3), 3)′ ou 3)′′ est réalisée. Cal ulons à présent le mineur D1 obtenu en rayant la 1ère ligne : D1 = v12(v23v34 + 2v24) + v13(2v34 + v32v24) + v14(4 − µ23). Le lemme 1.3.22 montre que vij > 0 pour i 6= j ; de plus µ23 < 4 et don v14 = 0 quand D1 = 0. De la même façon, le al ul des mineurs obtenus en rayant la 2ème ou la 3ème ligne montre que v24 = v34 = 0. Le lemme 1.3.22 montre don que la fa e s4 est adja ente à s1, s2 et s3 . Les onditions 1) et 2) sont alors réalisées ar il y a au plus 2 fa es adja entes simultanément à s1, s2 et s3 . Lemme 1.3.35.  Soient P un polyèdre miroir et Γ un 3- ir uit qui entoure un sommet v. On suppose que P n’est pas un tétraèdre dont la fa e opposée à v ne possède que des arêtes d’ordre 2. On suppose aussi que ΠΓ est un plan proje tif et que Γ possède au plus un angle droit. On note P0 le polyèdre proje tif sous-ja ent à P .  1)Si Γ est hyperbolique alors ΠΓ oupe P0 le long de Γ. ane sans angle droit et RΓ 6= 0 sphérique sans angle droit et |RΓ| > rΓ 2) Si Γ est ane ave angle droit alors ΠΓ ∩ P0 = {v}. ane sans angle droit et RΓ = 0 sphérique sans angle droit et |RΓ| = rΓ 3) Si Γ est sphérique sans angle droit et |RΓ| < rΓ alors ΠΓ ∩ P0 = ∅. sphérique ave angle droit Remarque 1.3.36.  Pour alléger, l’énon é du lemme 1.3.35 nous apportons une pré ision au as 3) sous la forme d’une remarque. On numérote les fa es de Γ de 1 à 3. On note ei la i-ème arête fermée traversée par Γ et C le onvexe polyedral obtenu à partir de P0 en oubliant les fa es traversées par Γ. On note Mi le point d’interse tion du plan ΠΓ ave la droite Li engendrée par ei qui est in lus dans C , pour i = 1, …, 3. Il n’est pas évident que les points (Mi)i=1,…,3 sont bien dénis mais nous montrerons que ‘est le as. Enn, on note Di l’interse tion C ∩Li . Nous allons montrer que dans le as 3), les points Mi sont dans l’intérieur de Di \ ei . Remarque 1.3.37.  Avant de démontrer e lemme, on pourra remarquer que es onditions orrespondent aux onditions du lemme 1.3.29. Démonstration.  Soient (si)i=1,…,3 les fa es de P traversées par Γ et soit s4 une fa e quel onque de P . Soit ΠΓ le sous-espa e engendré par les points polaires [v1], [v2] et [v3]. On a supposé que ΠΓ est un plan proje tif. Comme on travaille dans le revêtement à deux feuillets de P(R 4 ) l’interse tions de trois plans en positions génériques est la réunion de deux points opposés. On dénit les six points M± 1 , M± 2 et M± 3 , de la façon suivante : {M+ 1 , M− 1 } = ΠΓ∩ {α2 = 0}∩ {α3 = 0}, {M+ 2 , M− 2 } = ΠΓ∩ {α3 = 0} ∩ {α1 = 0}, {M+ 3 , M− 3 } = ΠΓ ∩ {α1 = 0} ∩ {α2 = 0}. Commençons par vérier que les points M± 1 , M± 2 et M± 3 sont bien dénis. On ne traite que les points M± 1 . Il s’agit de montrer que l’ensemble des solutions des équations suivantes est un espa e ve toriel de dimension 1.  α2(xv1 + yv2 + zv3) = 0 α3(xv1 + yv2 + zv3) = 0 Le al ul expli ite de e système donne :  xα2(v1) + 2y + zα2(v3) = 0 xα3(v1) + yα3(v2) + 2z = 0 Ce système est de rang 2 puisque 4 −α2(v3)α3(v2) = 4 −µ23 > 0. Les points M± 1 , M± 2 et M± 3 sont don bien dénis. On peut supposer que les (si)i=1,…,4 sont dénies par αsi = −e ∗ i pour i = 1…4 dans une base (ei)i=1…4 de R 4 . Ainsi, le plan proje tif ΠΓ est déni par une équation de la forme {ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0}, où a, b, c, d ∈ R. Il faut prendre garde au fait que les quantités a, b, c, d sont bien dénis à une onstante non nul près. On peut don supposer que dans la base (e1, …, e4) on a : M+ 1 = [−d : 0 : 0 : a], M+ 2 = [0 : −d : 0 : b], M+ 3 = [0 : 0 : −d : c] et M− 1 = [d : 0 : 0 : −a], M− 2 = [0 : d : 0 : −b] et M− 3 = [0 : 0 : d : −c]. Introduisons la quantité : 1.3. RÉSULTAT 29 D =       −2 v21 v31 v12 −2 v32 v13 v23 −2       , où les vij désignent les oordonnées de (vi)i=1…3 dans la base (ej )j=1…4. La quantité D est le déterminant du lemme 1.3.29. Le plan ΠΓ d’équation ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0 est le plan engendré par les ve teurs v1 , v2 et v3 . Par onséquent, il existe un λ 6= 0 tel que pour tout x, y, z, t ∈ R on a :         −2 v21 v31 x v12 −2 v32 y v13 v23 −2 z v14 v24 v34 t         = λ(ax + by + cz + dt) Nous allons distinguer les as D > 0, D = 0 et D < 0. Commençons par supposer que D > 0. D’après le lemme 1.3.29, ette hypothèse revient à se pla er dans le as 1), on a alors D = λd 6= 0. Pour xer les idées, on suppose à présent que d = −1. Les formules de Cramer permettent de al uler a. On a aD = v14(4−µ23)+v24(2v12+v13v32)+ v34(v12v23 + 2v13). Par hypothèse Γ possède au plus un angle droit don au plus une seule des quantités v12, v13, v23 est nulle. De plus, on a supposé que P n’était pas un tétraèdre où la fa e opposée à v ne possédait que des arêtes d’ordre 2. Par onséquent, l’une des arêtes de la fa e 4 n’est pas d’ordre 2. Il vient don que v14 ou v24 ou v34 est stri tement positif. Il est don lair à présent que aD > 0. De la même façon, on obtient que b et c sont stri tement positif. En résumé αi(M+ i ) < 0 et α4(M− i ) < 0 pour i = 1, …, 3 . Ainsi, on obtient que le point M+ i est à l’intérieur de l’arête adja ente aux fa es i + 1 et i + 2 (les indi es sont al ulés modulo 3) du tétraèdre formé par les fa es 1,2,3 et 4. Mais la fa e s4 est une fa e quel onque de P . Par onséquent, le point M+ i est à l’intérieur de l’arête adja ente aux fa es i+ 1 et i+ 2 (les indi es sont al ulés modulo 3) du polyèdre P0. Ce qui entraîne que ΠΓ oupe P0 le long de Γ. À présent, si D < 0 alors le lemme 1.3.29 montre que l’on est dans le as 3). On suppose en ore que d = −1. On a en ore l’égalité aD = v14(4−µ23)+v24(2v12+v13v32)+v34(v12v23+2v13). Cette fois- i on obtient que α4(M− i ) < 0 pour i = 1, …, 3 et αi(M− i ) > 0 pour i = 1, …, 3. Ainsi, le point M− i n’appartient pas à l’arête adja ente aux fa es i+1 et i+2 (les indi es sont al ulés modulo 3) du tétraèdre formé par les fa es 1,2,3 et 4 mais le point M− i vérie α4(M− i ) < 0. Mais la fa e s4 est une fa e quel onque de P . Par onséquent, le point M− i n’appartient pas à l’arête adja ente aux fa es i + 1 et i + 2 (les indi es sont al ulés modulo 3) du polyèdre P0 mais il appartient au onvexe C = p({x ∈ R 4 | αs(x) 6 0, s 6= 1, 2, 3}). Ce qui entraîne que ΠΓ ∩ P0 = ∅ et la remarque 1.3.36. Enn, si D = 0 alors le lemme 1.3.29 montre que l’on est dans le as 2), mais dans e as, on a d = 0, et par suite les ensembles {M+ i , M− i } (pour i = 1, …, 3) sont onfondus et égaux à {±v}. Ce qui on lut la démonstration. Remarque 1.3.38.  Il est important de noter que ette étude est exhaustive 1.3.6.2. Lemme de non- hevau hement.  Lemme 1.3.39.  Soient P un polyèdre miroir, u, v deux sommets de P reliés par une arête e. Soit Γu (resp. Γv) un 3- ir uit qui entoure u (resp. v). On suppose que ΠΓu (resp. ΠΓv ) oupe P le long de Γu (resp. Γv). Si P0 désigne le polyèdre proje tif sous-ja ent à P , alors P0 ∩ ΠΓu ∩ ΠΓv = ∅. 30

ESPACES DES MODULES DE CERTAINS POLYÈDRES PROJECTIFS MIROIRS

Démonstration.  On peut supposer que l’arête e est adja ente aux fa es 1 et 2, et que u (resp. v) est le sommet partagé par les fa es 1, 2 et 3 (resp. 4). On peut supposer que la fa e i du polyèdre P est donné par la forme linéaire αi = −e ∗ i , pour i = 1, …, 4, où (ei)i=1…4 est une base de R 4 . Soit D = ΠΓu ∩ ΠΓv la droite proje tive de P +(R 4 ) qui ontient v1 et v2 . On peut la paramétrer par [x : y] ∈ P +(R 2 ) 7→ [xv1 + yv2] ∈ P +(R 4 ). On notera vij la quantité vij = −αj (vi), et on rappelle que si i 6= j alors vij > 0 (lemme 1.3.22). Supposons que P0 ∩ ΠΓu ∩ ΠΓv 6= ∅ ; alors il existe un ouple (x, y) ∈ R 2 \ {0, 0} tels que :    −α3([xv1 + yv2]) = xv13 + yv23 > 0 −α4([xv1 + yv2]) = xv14 + yv24 > 0 −α1([xv1 + yv2]) = −2x + yv21 > 0 −α2([xv1 + yv2]) = xv12 − 2y > 0 Nous allons montrer que e i est absurde. Pour ela ommençons par montrer que x ou y est positif ou nul. Supposons que x et y sont stri tement négatifs. Alors v13 = v23 = v14 = v24 = 0, e qui entraîne que θ13 = θ23 = θ14 = θ24 = π 2 , don Γu et Γv sont sphériques ave angle droit. Le lemme 1.3.35 montre qu’alors, les interse tions de ΠΓu et ΠΓv ave P sont vide, e qui est ontraire à notre hypothèse. Don x ou y est positif ou nul. Montrons à présent que x et y sont positifs ou nuls en distinguant les as θ12 6= π 2 et θ12 = π 2 . Si θ12 6= π 2 , alors les deux dernières inégalités montrent que x et y sont positifs ou nuls puisqu’alors v12 et v21 sont stri tement positifs. Si θ12 = π 2 , alors v12 = v21 = 0 et par suite, x et y sont négatifs ou nuls. Il vient que x ou y est nul. Supposons que x = 0. Alors y est stri tement négatif et par onséquent v23 = v24 = 0. Par suite, θ23 = θ24 = π 2 , don Γu et Γv sont sphériques ave angle droit. Le lemme 1.3.35 montre qu’alors, les interse tions de ΠΓu et ΠΓv ave P sont vide, e qui est ontraire à notre hypothèse. Il en est de même si on suppose que y = 0, don x et y sont positifs ou nuls. Dans tous les as, il vient que x ou y est stri tement positif, et don les deux dernières inégalités montrent que x, y, v12 et v21 sont stri tement positifs, et enn que v12v21 = µ12 > 4, e qui ontredit le fait que θ12 > 0. 1.3.6.3. Lemme de oupe le long d’un 3- ir uit prismatique essentiel.  Lemme 1.3.40.  Soient P un polyèdre miroir et Γ un 3- ir uit prismatique essentiel. Alors ΠΓ oupe P le long de Γ. Démonstration.  Comme P possède un 3- ir uit essentiel, P n’est ni un tétraèdre, ni un prisme et par onséquent, le lemme 1.3.34 permet d’armer que ΠΓ est un plan. On suppose que les fa es traversées par Γ sont numérotées de 1 à 3. On se donne une fa e adja ente à l’une des fa es 1, 2 ou 3, et on la numérote 4. On note ei l’arête adja ente aux fa es i + 1 et i + 2. On note Di l’interse tion entre la droite engendrée par ei et l’espa e ane p({x ∈ R 4 | α4(x) < 0}). On note Mi le point d’interse tion du plan ΠΓ ave Di (les indi es sont al ulés modulo 3). Le lemme 1.3.35 est exhaustif, ainsi en utilisant la remarque 1.3.36, on distingue trois as :  Le point Mi appartient à l’intérieur de ei , pour i = 1, …, 3.  Les points Mi sont égaux et égales à l’interse tion des arêtes (ei)i=1,…,3.  Les points Mi appartiennent à l’intérieur de Di \ ei , pour i = 1, …, 3. Comme Γ est prismatique essentiel et on peut hoisir la fa e 4 à gau he omme à droite du 3- ir uit Γ. Par onséquent, seul le premier as peut être réalisé, ΠΓ oupe P le long de Γ.

La forêt FG et son orientation

Classi ation des arêtes de AG

Nous somme à présent en mesure de dénir l’ensemble I G Γ des valeurs possibles à priori pour la quantité RΓ . 1. Γ est ane ou sphérique ave angle droit prismatique alors I G Γ := ∅ 2.  Γ est hyperbolique Γ est ane ou sphérique ave angle droit quel onque ave angle droit non prismatique alors I G Γ := {0} 3.  Γ est hyperbolique Γ est ane ou sphérique sans angle droit quel onque sans angle droit non prismatique alors I G Γ := R 4. Γ est ane ou sphérique sans angle droit prismatique alors I G Γ := R − [−rΓ, rΓ] Remarque 1.3.41.  On rappelle que lorsque le 3- ir uit Γ est ane sans angle droit on utilise la onvention rΓ = 0 (voir notations 3). Ces notations sont justiées par les propositions suivantes : Proposition 1.3.42.  Soient G un é imaèdre étiqueté et P un polyèdre miroir qui réalise G . Soit v un sommet de G , on note Γ le 3- ir uit orienté qui entoure le sommet v et tel que la oupe gau he G g Γ ne ontient pas le sommet v. Alors, ΠΓ oupe P le long de Γ si et seulement si RΓ(P) ∈ I G g Γ Γ . Démonstration.  Cette proposition est essentiellement une simple rele ture du lemme 1.3.35. Pour appliquer le lemme 1.3.35 il sut de vérier que ΠΓ est un plan dès que RΓ(P) ∈ I G g Γ Γ . Seul deux as pose problème d’après le lemme 1.3.34. 1. Si G est un tétraèdre alors le lemme 1.3.34 montre que ΠΓ est un plan dès que RΓ(P) ∈ I G g Γ Γ . 2. Si G est un prisme ex eptionnel alors pour tout sommet v de P , on a I G g Γ Γ = ∅. Proposition 1.3.43.  Soient G un é imaèdre étiqueté qui vérie m(G) = 0 et qui n’est pas un prisme ex eptionnel, P un polyèdre miroir qui réalise G et Γ un 3- ir uit orienté de G alors RΓ(P) ∈ I G Γ . Démonstration.  Il faut distinguer les 4 as de la dénition de I G Γ . Le as 1) ne peut pas apparaître puisque on a supposé m(G) = 0. Si Γ est du type 2 de la lassi ation alors on a la onvention RΓ(P) = 0 (notations 3). Si Γ est de type 3 alors il n’y a rien à montrer. Enn, si Γ est de type 4, dans e as un des deux polyèdres ombinatoires étiquetés G g Γ ou G d Γ n’est pas un tétraèdre ar Γ est prismatique. Supposons que G g Γ n’est pas un tétraèdre et notons Q le polyèdre ombinatoire étiqueté obtenu en ollant un tétraèdre sur la fa e triangulaire de G g Γ dont Γ fait le tour (autrement dit que Q est le polyèdre ombinatoire obtenu à partir de G g Γ en oubliant la fa e dont Γ fait le tour dans G g Γ ). On note Q le polyèdre obtenu à partir de P par le même pro édé. Si le 3- ir uit Γ de G est essentiel alors le lemme 1.3.40 montre que ΠΓ oupe P le long de Γ. En parti ulier, ΠΓ oupe Q le long de Γ. Si le 3- ir uit Γ de G n’est pas essentiel alors pour montrer que ΠΓ oupe Q le long de Γ. Il sut de montrer que ΠΓ est un plan. Le lemme 1.3.34 on lut ar Γ est prismatique et G n’est pas un prisme ex eptionnel. Ainsi, le lemme 1.3.35 appliqué à Q montre que RΓ(P) ∈ I G Γ .

ESPACES DES MODULES DE CERTAINS POLYÈDRES PROJECTIFS MIROIRS

Si G est un é imaèdre étiqueté, alors les arêtes de AG sont par dénition en bije tion ave les 3- ir uits de G . On a don une dénition naturelle d’arête ane, sphérique, hyperbolique, sans angle droit, ave angle droit, prismatique et enn, non prismatique. Remarque 1.3.44.  On rappelle que l’on suppose toujours, depuis le paragraphe 2.3.8, que tout é imaèdre étiqueté vérie m(G) = 0 ; il n’y a don pas d’arête du type 1 de la lassi ation que l’on vient de donner dans AG . Dénition 1.3.45.  Soit G un é imaèdre étiqueté. La forêt asso iée à G est la forêt obtenue en supprimant les arêtes ave angle droit de l’arbre AG (i.e. les arêtes de type 2 de la lassi ation). Les arêtes (resp. les 3- ir uits de G) de FG se séparent en deux familles via la lassi ation énon ée plus haut :  les arêtes (resp. les 3- ir uits) hyperboliques sans angle droit quel onques et les arêtes (resp. les 3- ir uits) anes ou sphériques sans angle droit non-prismatiques ;  les arêtes (resp. les 3- ir uits) anes ou sphériques sans angle droit prismatiques que nous désignerons dorénavant par le terme spé iales (resp. spé iaux ). 

Orientation de la forêt FG

Dénition 1.3.46.  Soit F une forêt orientée. On dira qu’un sommet s de F est un puits (resp. une sour e) lorsque toutes les arêtes in identes à s possèdent le même but (resp. la même sour e). Dénition 1.3.47.  Soient G un é imaèdre étiqueté, et FG la forêt asso iée.  Une orientation globale admissible de FG est une orientation de FG qui ne ontient au un sommet de valen e 4 qui soit un puits ou une sour e.  Une orientation partiel le de FG est une orientation de toutes les arêtes spé iales de FG .  Une orientation partiel le admissible de FG est une orientation partielle de FG telle qu’il existe une orientation globale admissible de FG qui la prolonge. Nous allons voir que si G est un é imaèdre étiqueté alors les omposantes onnexes de XG sont en bije tion ave les orientations partielles admissibles de la forêt FG . Cette bije tion est onstruite à l’aide du signe des quantités RΓ(P), où Γ est un 3- ir uit orienté spé ial de G et P un polyèdre proje tif miroir qui réalise G . Pour uniformiser la onstru tion de ette bije tion, il faut hoisir orre tement un système de 3- ir uits orientés. Nous appellerons es systèmes les systèmes puits-sour e de 3- ir uits et nous allons les dénir dès à présent. 

Système puits-sour e de AG 

Orientation d’une arête de AG induite par l’orientation d’un 3- ir uit de G 

 Chaque arête e de AG dénit une tripartition des arêtes de G : {e} et les deux omposantes onnexes de AG − {e}. Le hoix d’une orientation de l’arête e permet de distinguer les deux omposantes onnexes de AG − {e}. On a elle donnée par le but de l’arête orientée e et elle donnée par sa sour e. De même, haque 3- ir uit Γ de G dénit une tripartition des 3- ir uits de G . Le hoix d’une orientation du 3- ir uit Γ permet de les distinguer. On a le 3- ir uit Γ, les 3- ir uits de G à droite de Γ et les 3- ir uits de G à gau he de Γ. Il est évident que la bije tion entre les 3- ir uits de G et les arêtes de AG respe te ette tripartition. On a don une dénition naturelle d’orientation d’une arête de AG induite par l’orientation d’un 3- ir uit de G .  Dénition 1.3.48.  Soient G un graphe étiqueté, Γ un 3- ir uit orienté de G et e l’arête orrespondante de l’arbre AG . On dira que e est orienté dans le sens (resp. sens ontraire) de Γ lorsque l’orientation de e est telle que la omposante onnexe de AG − {e} donnée par le but (resp. la sour e) de l’arête orientée e orrespond aux 3- ir uits de G à droite de Γ.

Système puits-sour e de AG 

Dénition 1.3.49.  Soit G un é imaèdre étiqueté, un système puits-sour e de 3- ir uits de G est le hoix d’une orientation de haque 3- ir uit de G , de telle sorte que si toutes les arêtes de l’arbre AG sont orientées dans le sens des 3- ir uits orientés hoisis, alors tous les sommets de AG sont des puits ou des sour es. Remarque 1.3.50.  Puisque le graphe AG est un arbre, il est lair que tout é imaèdre étiqueté G possède exa tement deux systèmes puits-sour es inverses l’un de l’autre. 1.3.9. Orientation partielle et globale de FG induite par P ∈ XG via un système puits-sour e. 

 Orientation partiel le induite.

Dénition 1.3.51.  Soient G un é imaèdre étiqueté et P un polyèdre miroir qui réalise G . On suppose que l’on s’est donné un système puits-sour e de 3- ir uits de G . L’orientation partiel le de FG induite par P est l’orientation obtenue en orientant toute arête spé iale e de FG dans le sens de Γ (l’unique 3- ir uit orienté orrespondant à e via notre système puits-sour e), lorsque RΓ(P) > 0 et dans le sens ontraire lorsque RΓ(P) < 0. Remarque 1.3.52.  Il n’y a pas d’ambiguïté dans la dénition pré édente. En eet, si Γ est un 3- ir uit spé ial de G , alors RΓ(P) 6= 0.

Orientation globale induite

Soit G un é imaèdre étiqueté. On se donne un système puits-sour e de 3- ir uits orientés de G . Supposons à présent que pour tout 3- ir uit sans angle droit Γ de G , on ait RΓ(P) 6= 0. Alors on peut dénir de façon analogue une orientation globale de FG induite par P via notre système puits-source.

Obstruction

  Il faut bien faire attention au fait que toutes les orientations globales ou partielles de FG ne peuvent pas être induites par des polyèdres miroirs. En eet, si on note, pour haque sommet s de FG de valen e 4, (Γs i )i=1…4 les quatre 3- ir uits orientés via notre système puits-sour e, qui orrespondent aux arêtes de FG in identes à s, et si P est un polyèdre miroir qui réalise G , alors la dénition même des (RΓ s i (P))i=1…4 (voir notations 3) montrent qu’ils vérient la relation suivante : RΓ s 1 + RΓ s 2 + RΓ s 3 + RΓ s 4 = 0. (∗) Par onséquent, au une orientation induite partielle ou globale ne peut posséder de sommet de valen e 4 qui soit un puits ou une sour e, e qui explique la dénition d’orientation partielle ou globale admissible. Nous allons montrer que les omposantes onnexes de XG sont en bije tion ave les orientations partielles admissibles de FG .