Les outils d’algèbre multilinéaire

Définition d’un tenseur

Les outils d’algèbre linéaire et plus particulièrement les vecteurs et les matrices, permettent d’indexer des données à l’aide d’un ou deux indices. Lorsque le nombre de dimensions d’un système est supérieur à deux, il est naturel d’introduire un nouvel outil : le tenseur. Définition 1.1.1 A, un tenseur d’ordre P, est un tableau à P dimensions défini par : A = {ai1,…,iP }i1∈I1,…,iP ∈IP (1.1) où ai1,…,iP est un scalaire et I1, . . . , IP sont des sous-ensemble de N

. De plus, un tenseur possède aussi la propriété de multilinéarité [63, 23] lors d’un changement de coordonnées. On note C I1×…×IP l’ensemble des tenseurs d’ordre P de dimensions I1 × . . . × IP à valeurs complexes. Afin d’illustrer cette notion de multilinéarité, on considère A ∈ C I1×I2×I3 un tenseur d’ordre trois et E ∈ C I1×J1 , F ∈ C I2×J2 , G ∈ C I3×J3 trois matrices inversibles qui définissent un changement de coordonnées. Alors le tenseur A′ ∈ C J1×J2×J3 dans le nouveau système de coordonnées peut s’écrire en fonction de A : a ′ j1j2j3 = X i1,i2,i3 ei1j1 fi2j2 gi3j3 ai1i2i3 . (1.2) 23 Les outils d’algèbre multilinéaire CHAPITRE 1 : LES OUTILS D’ALGÈBRE MULTILINÉAIRE FIGURE 1.1 – Tenseur d’ordre trois, A ∈ C I1×I2×I3 .

On peut facilement définir deux premiers opérateurs sur les tenseurs : l’opérateur somme et la multiplication par un scalaire. La somme de deux tenseurs est définie comme la somme élément par élément. De même, la multiplication par un scalaire est définie comme la multiplication élément par élément. L’ensemble des tenseurs d’ordre P de dimensions I1 × . . . × IP , muni de ces deux opérateurs, forme un espace vectoriel. Cette définition englobe les outils d’algèbre linéaire : un scalaire est un tenseur d’ordre zéro, un vecteur un tenseur d’ordre un et une matrice un tenseur d’ordre deux.

La plupart des exemples proposés dans ce travail concerneront les tenseurs d’ordre trois qui permettent d’appréhender les caractéristiques propres aux tenseurs (contrairement aux vecteurs ou aux matrices) tout en étant faciles à représenter (sous forme de cube, voir figure 1.1). Enfin, de manière analogue au cas matriciel, il existe des structures particulières pour les tenseurs : diagonale, symétrique, hermitienne … Dans ce travail on n’utilisera que la notion de tenseur hermitien. 

Représentations vectorielles et matricielles

Afin de faciliter l’application de certains opérateurs, il peut être pertinent de réarranger les éléments d’un tenseur sous forme de matrice. On parle alors de dépliement et de matrice dépliante. On ne considère pas tous les dépliements matriciels possibles mais seulement ceux qui préservent les dimensions du tenseur. Définition 1.2.1 Soit A ∈ C I1×…×IP un tenseur d’ordre P, D = {1, . . . P} l’ensemble des indices des dimensions de A et Dl un sous ensemble de D. On note ID pour Y P p=1 Ip et de manière similaire IDl pour le produit des dimensions associées aux éléments de Dl : IDl = Y p∈Dl Ip. (1.4) 24 1.3 Opérateurs usuels Grâce à ces notations il est possible de réécrire simplement tous les dépliements considérés dans [48]

. On note [A]Dl , la matrice dépliante de taille IDl × ID\Dl . On note d1, . . . , dG les éléments de Dl et e1, . . . , eH les éléments de D\Dl . Grâce à ces notations, on peut décrire les éléments de la matrice dépliante [A]Dl en fonction du tenseur A : ([A]Dl )jk = ai1…iP (1.5) avec j = 1 +X G g=1  (idg−1) g Y−1 g ′=1 Ig ′   et k = 1 +X H h=1 (ieh−1) h Y−1 h′=1 Ih′ ! (1.6) Pour un tenseur d’ordre P, il existe 2 P −1 dépliements de ce type possibles.

La figure 1.2 représente les sept dépliements possibles pour un tenseur d’ordre trois. L’opérateur inverse existe toujours à condition de connaitre D et Dl . Pour des raisons de clarté, on donne un nom particulier aux dépliements suivants. Définition 1.2.2 Soit A ∈ CI1×…×IP . Le dépliement [A]D transforme le tenseur A en vecteur. Il est noté vec(A). L’opérateur inverse est noté vec−1 (A). Définition 1.2.3 Soit R ∈ C I1×I2…×IP ×I1×I2…×IP un tenseur d’ordre 2P et Dl = {1, . . . , P}. Le dépliement [A]Dl est une matrice carrée de taille I1 . . . IP × I1 . . . IP . Il est noté SqM at(R). 1 On note SqM at−1 l’opérateur inverse.