Les opérateurs de base de la morphologie mathématique

La Morphologie Mathématique

La morphologie mathématique est une théorie de traitement non linéaire de l’information apparue en France dans les années 60 (Georges Matheron & Jean Serra, Ecole des Mines de Paris), et qui est aujourd’hui très largement utilisée en analyse d’images [1]. Par les transformations qu’elle propose, elle se situe à différents niveaux du traitement d’images (filtrage, segmentation, mesures, analyse de texture) et fournit ainsi des outils pour la reconnaissance des formes. La morphologie mathématique, développée à l’origine pour l’étude des matériaux poreux, trouve maintenant ses applications dans de nombreux domaines du traitement d’images, aussi bien 2D que 3D, en biologie et cytologie quantitative, en imagerie médicale, en imagerie aérienne et satellitaire, en robotique et vision par ordinateur, en contrôle industriel, études sur les documents et oeuvres d’art, Analyse de données [2].

La morphologie mathématique est technique mathématique et informatique d’analyse de structures qui est liée avec l’algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités [3]. En effet, l’idée de base de la morphologie mathématique est de comparer les objets que l’on veut analyser a un autre objet de forme connue appelé élément structurant, les relations sont de type ensembliste (union, intersection, etc.). Cet élément structurant est caractérisé par leur taille et leur forme, en quelque sorte chaque élément structurant fait apparaitre l’objet sous un jour nouveau [4]. Le filtrage morphologique est très répandu dans le domaine de traitement de signal et le traitement d’image du fait de sa robustesse et de son calcul simple et rapide. Le filtre morphologique, de part sa structure, se base sur des opérateurs mathématique appelés opérateurs de morphologie d’ouverture et de fermeture. Ces opérateurs constituent l’étape fondamontale du filtrage morphologique, en les modifiant ont abouti a une version modifiée de filtre morphologiques, qui sera ajustée pour filtrer le signal ECG. L’idée fondamentale de notre approche est d’adapter les concepts de la morphologie mathématique aux fonction définies dans un espace unidimensionnel et particulièrement aux signaux temporels. En effet le traitement morphologique sur les images constitue une approche naturelle, ce qui l’est moins sur les signaux temporels. Bien évidemment le traitement morphologique des signaux temporels est une étude de la structure du signal et de ses variations en fonction du temps [5].

Les ondelettes : La transformation de Fourier (TF) est une transformation mathématique qui permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel. On peut l’appliquer aux signaux non stationnaires comme les signaux bioélectriques (ECG, EEG, EMG …etc.), mais elle est idéale juste pour des signaux stationnaires dont les propriétés fréquentielles ne varient pas au cours du temps. Les transformations en ondelettes sont des méthodes qui permettent d’analyser le contenu d’un signal par rapport à leur fréquence. Ce sont des approches temps-échelle permettant la décomposition d’un signal et son étude dans les différentes bandes de fréquence. Dans ce cas une fenêtre, appelé ondelette mère , dont la largeur est variable. Leurs but est d’obtenir plus de précisions dans les résultats en fonction du type de fréquences (hautes ou basses) [2] : Avec ∫ et √ (III.1) Les coefficients d’ondelettes To (a,b) dépendent de deux paramètres a et b ou a est le facteur d’échelle et b le facteur de translation. Les fonctions sont obtenues à partir de la dilatation et de la translation de la fonction ondelettes mère . Nous n’allons pas rentrer dans les fondements théoriques et mathématiques de la construction des ondelettes car leurs détails sont très approfondis.

Les transformations en ondelettes sont divisées on deux catégories : La transformée en ondelette continue (Continuous Wavelet Transform (CWT)) et La transformée en ondelette discrète (Discrete Wavelet Transform (DWT)) La différence principale entre ces deux catégories est que la CWT fonctionne sur toutes les valeurs continues de la fréquence et du temps tandis que la DWT fonctionne sur un sous-ensemble spécifique défini sur l’ensemble de toutes les valeurs discrètes de la fréquence et du temps [3]. Ci-dessous des exemples d’ondelettes : l’ondelette de Haar, dérivée seconde de gaussienne, et l’ondelette de Morlet (figure III-1) : Figure III-1 : Différents types d’ondelettes : de gauche à droite : ondelette de Haar, dérivée seconde de gaussienne, et l’ondelette de Morlet. L’un des avantages des ondelettes est leur grande aptitude à prendre en charge plusieurs traitements numériques du signal de façons quasi simultanée (fenêtrage – débruitage – détection – filtrage et reconstitution du signal) [4]. Et d’après [5] voici l’effet de la transformation en ondelettes montrant que le filtrage par cette dernière permet de réduire la dérivée de la ligne de base de signal ECG. L’idée de cette approche est de faire une nouvelle méthode d’annulation battement à battement du QRS-T dans le but de faciliter la détection de l’onde P. La phase de cette annulation s’appuie sur une décomposition en ondelettes du signal ECG, observé sur deux dérivations (ECG1 et ECG2), afin de fournir un signal résiduel ne devant contenir que le train d’ondes P après reconstruction par les ondelettes (figure III-2).

Le filtrage numérique : Un filtre numérique est un élément qui effectue un filtrage à l’aide d’une succession d’opérations mathématiques sur un signal, c’est-à-dire qu’il modifie le contenu spectral du signal d’entrée en atténuant ou éliminant certaines composantes spectrales indésirées. Contrairement aux filtres analogiques, qui sont réalisés à l’aide d’un agencement de composantes physiques (résistance, condensateur, etc.), les filtres numériques sont réalisés soit par des circuits intégrés dédiés, des processeurs programmables (microprocesseur, microcontrôleur, etc.), soit par logiciel dans un ordinateur. Il y a deux grandes familles de filtres numériques linéaires : filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII). Ce filtre est caractérisé par une réponse basée sur les valeurs du signal d’entrée ainsi que les valeurs antérieures de cette même réponse. Il est nommé ainsi parce que la réponse impulsionnelle de ce type de filtre est de durée théoriquement infinie. Il est aussi désigné par l’appellation de filtre récursif. L’autre type est le filtre à Réponse Impulsionelle Finie (filtre RIF). Contrairement au filtre RII la réponse du filtre RIF ne dépend que des valeurs du signal d’entrée. Par conséquent, la réponse impulsionnelle d’un filtre RIF est toujours de durée finie. Ce filtrage numérique permet d’éliminer les signaux de hautes fréquences secondaires à l’activité musculaire autre que cardiaque et aux interférences des appareils électriques [7]. Dans notre travail, le type de filtre utilisé est à réponse impulsionnelle infinie (RII), type Butterworth.

Discussions des résultats obtenus :

Après implémentation des différentes étapes du filtre récursif, différents signaux ECG de la base de données MIT-BIH sont appliqués. Sur les figures III-11(a) et (b), III-12 (a) et (b), et III-13(a) et (b) sont illustrés respectivement les signaux ECG bruités, les signaux ECG après correction de la ligne de base. Ces figures illustrent la performance de l’algorithme proposé pour la correction de la ligne de base. Afin d’illustrer le traitement de la ligne de base par l’algorithme ci-dessus, on a choisis plusieurs types du signal ECG [15] dans la base MIT qui contient des cas normaux et des cas pathologies, par exemple l’enregistrement 115 (figure III-11-a), 122 (figures III-12-a) qui sont des cas normaux et l’enregistrement 232 (figures III-13-a) est un cas pathologique correspond à une bradycardie, syndrome du noeud sinusal. Ces trois cas contiennent des différents bruits ainsi que la dérivée de la ligne de base. D’abord, on généré un signal ECG avec une ligne de base correcte, les étapes de traitement réalisées par notre algorithme se résument comme suit. Tout d’abord, on a acquis le signal original ECG de la base MIT, après on a choisie une fréquence de coupure convenable =0.64 [14] pour ne dégradé pas l’information du signal ECG qui est supérieur à la fréquence d’ondulation de la ligne de base (0,1-0,2 Hz). Pour la fréquence d’échantillonnage on a respecté le théorème de Shannon ( ), et puis on a calculé les coefficients du filtre [ ] et [ ] qui sont appliquées au signal original, concernant la détection de la ligne de base. Cette dérivé de la ligne de base est soustraite du signal original ECG, on obtient alors une correction de la ligne de base et générer à la fin le signal ECG correcte et isoélectrique. Les figures (III-11-b), (III-12-b) et (III-13-b) montrent les résultats de l’application de l’algorithme de l’élimination des ondulations de la ligne de base aux signaux ECG. Les trois figures représentent, respectivement, le segment du fichier ‘MIT115’, le segment du fichier ‘MIT122’ et le segment du fichier ‘MIT232’, de la base de données MIT-BIH Arrhythmia.