Les Opérades

Les opérades furent introduites dans les années 1970 à peu de choses près au même moment par May [May72] et par Boardman et Vogt [BV73] dans le contexte de la topologie algébrique et l’étude des espaces de lacets. Cette nouvelle notion tombait progressivement dans l’oubli lorsque, à partir des années 1990, elle trouva des applications dans d’autres domaines [Lod95], [Sta99b], [MSS02], notamment en algèbre, en physique et en combinatoire. Quelques références à la fois générales et introductives sur les opérades sont [GK94], [Mar06], ainsi que [LV10].

De manière simplifiée, une opérade est une structure algébrique qui contient des opérateurs abstraits pouvant se composer pour en former de plus gros. Par exemple, composer un opérateur x d’arité n avec un autre opérateur y d’arité m donne un opérateur d’arité n + m − 1 car l’opérateur obtenu dispose des entrées de y ainsi que celles de x excepté de l’une d’entre elles — celle utilisée pour réaliser la composition. Une algèbre sur une opérade est un espace vectoriel sur lequel ces opérateurs agissent, c’est-à-dire qu’ils permettent de calculer un élément en sortie sur l’entrée de plusieurs éléments de l’espace vectoriel.

Le point fondamental est que les relations qui existent entre les opérateurs de l’opérade impliquent des relations entre les éléments de l’algèbre. Par exemple, toute algèbre sur l’opérade associative (voir [AL07]) possède un opérateur, un produit, qui est associatif. De même, toute algèbre sur l’opérade de Lie possède un crochet de Lie qui vérifie la relation de Jacobi et est antisymétrique. Ainsi, chaque type d’algèbre est gouverné par une opérade. L’un des points forts de cette théorie est qu’il devient alors possible de comparer différents types d’algèbres en passant par les opérades, ce qui se fait par l’intermédiaire de morphismes d’opérade. Citons à ce propos [Zin10] qui répertorie une vaste gamme de types d’algèbres ainsi que leurs opérades correspondantes. 

Citons par exemple l’opérade dendriforme [Lod01] de Loday et l’opérade dupliciale [BF03] de Brouder et Frabetti toutes deux sur les arbres binaires. Ou encore, l’opérade pré-Lie [CL01] de Chapoton et Livernet et l’opérade non associative permutative [Liv06] de Livernet toutes deux définies sur les arbres enracinés. Citons également des opérades sur des objets combinatoires plus exotiques comme l’opérade des plantes et des arbres non croisés [Cha06b], des forêts d’arbres binaires dont les feuilles sont étiquetées [Cha04], et des arbustes [Cha10], toutes construites par Chapoton.

Un point remarquable dans ces exemples est que la substitution partielle s’exprime par des algorithmes combinatoires et met en évidence certaines propriétés des objets mis en jeu. Dans ce chapitre, nous posons les concepts de base sur les opérades que nous utiliserons dans les chapitres 6 et 7. Nous définissons ainsi dans le paragraphe 3.1 les opérades dans la catégorie des espaces vectoriels, les notions de morphismes d’opérade, d’idéaux et de quotient. Nous donnons également une description de l’opérade libre sur un ensemble de générateurs et de la présentation d’une opérade comme un quotient de cette dernière.

De plus, nous rappelons ce qu’est une algèbre sur une opérade. Nous donnons dans le paragraphe 3.2, quatre exemples d’opérades qui nous paraissent fondamentales : l’opérade commutative et associative, l’opérade associative, l’opérade de Lie et l’opérade dendriforme. Nous terminons par le paragraphe 3.3 en rappelant une construction classique qui, à une opérade ensembliste, associe un groupe, puis deux algèbres de Hopf, l’une commutative et l’autre non.