Les objets fractals caractérisés par des dimensions non entières

CONTRIBUTIONS THÉORIQUES CONCERNANT LES MÉTHODES DE DÉTERMINATION DE LA DIMENSION FRACTALE DANS LE CAS DES PROFILS DE RUPTURE OBTENUS PAR DES SOLLICITATIONS DYNAMIQUES

Puisqu’ils présentent des rapports de contraction différents selon la direction, les profils de rupture des éprouvettes Charpy possèdent donc la propriété d’auto affinité. Toutefois, ils peuvent être auto affines à l’échelle de petites observations, et auto similaires à une échelle plus grande. Deux illustrations de telles fractales sont fournies par la fonction de Weierstrass (chapitre 3.7.2.) et le mouvement brownien fractionnaire. Ce sous-chapitre qui se rapporte essentiellement aux caractères auto affine et auto similaire des surfaces de rupture, a fait l’objet d’une publication présentée lors de la Conférence Chaos 2008, qui s’est tenue du 3 au 6 Juin 2008, en Grèce: Secrieru C. Bigerelle M. and Iost A., Self similar versus self-affine in fractal fracture [Secrieru C. Bigerelle M. and Iost A, 2008] Premièrement, nous répertorions les résultats de la littérature sur les conditions, les matériaux, les méthodes et les sollicitations mécaniques contribuant à la détermination du caractère auto similaire ou auto affine des surfaces de rupture. Nous établissons ensuite, selon la mesure de rugosité du profil, les conditions effectives d’auto similarité ou d’auto affinité d’une surface rugueuse. Différents matériaux ont été utilisés, afin d’en analyser l’influence sur le caractère auto affine de leurs surfaces de rupture. Nous nous sommes, par ailleurs, particulièrement intéressés au fait de savoir, si nous mesurions effectivement, pour une surface de rupture, l’auto similarité existante ou l’auto affinité.

Les objets fractals sont invariants au changement de l’échelle de représentation et sont caractérisés par des dimensions non entières. Il apparaît cependant, que certaines données ou conditions expérimentales peuvent exercer une influence sur la valeur de la dimension fractale. C’est ainsi que l’on peut observer des propriétés de changement de l’échelle de représentation sur une amplitude de plus de cinq décades de grandeurs d’échelle, lorsqu’on utilise simultanément un microscope électronique à balayage (SEM) et un microscope à force atomique (AFM). La dimension fractale d’une surface de rupture en représente la complexité géométrique, indépendamment de l’échelle de représentation. Par ailleurs, il est bien connu que la dimension fractale des surfaces de rupture est associée au mécanisme de rupture et est généralement affectée par des microstructures telles que les microfissures. Cependant, nous ne pouvons corréler une valeur donnée de la dimension fractale avec une microstructure spécifique, parce que les surfaces de rupture ne sont « fractales » qu’au sens statistique, et que par conséquent, leurs profils ne correspondent pas mathématiquement, à des figures rigoureusement fractales. Il se pose alors la question d’une estimation par intervalles de confiance, de la dimension fractale des surfaces de rupture.

Une fractale auto affine est, quant à elle, seulement auto similaire lorsque qu’elle est plus étirée dans une direction que dans une autre [Whitenton E.P., 1992]: la taille verticale augmente, alors que la taille latérale reste constante. L’autosimilarité est ainsi obtenue, par compression de l’échelle verticale. Les figures 4.1 et 4.2 en sont une illustration. La notion d’auto affinité a été utilisée, pour la première fois, pour caractériser le relief fractionnaire brownien, présenté par Mandelbrot. Elle est caractérisée par la transformation anisotropique suivante: où b est le facteur d’échelle, x et y les coordonnées d’un point quelconque du plan perpendiculaire à la direction portée par la hauteur z ; et  , l’indice de rugosité local, encore dit, exposant de Hurst. Ce dernier est lié aux dimensions fractale et topologique de la surface, respectivement notées Δ et d, par la relation: Selon la méthode de la bande de largeur variable, par exemple, la rugosité peut représenter l’écart type des fluctuations de la hauteur d’un échantillon du profil, prélevé à travers une fenêtre de largeur donnée. Ainsi, pour un comportement fractal auto affine, cette largeur de bande est négligeable par rapport à la taille du motif fractal; et lorsqu’il n’en est pas le cas, la mesure de la rugosité de l’échantillon, se ramène alors, à celle d’un certain nombre de motifs similaires; on dit alors que la rugosité sature.