Les mathématiques en Chine ancienne

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La floraison des mathématiques sous les Song et les Yuan

Le développement des affaires nationales et le commerce extérieur a favorisé le développement des mathématiques pendant l’époque Song du Nord et Song du Sud. Les sciences et les techniques se développent dans un cadre déterminé par les conditions de l’époque, en réponse aux demandes de la société. Les mathématiques ne font pas exception. En Chine, la période Song-Yuan fut cruciale pour leur développement.

Méthode de l’équation des réalisations numériques

D’après Li (1984), Jia Xian (贾 ) de l’époque Song du Nord, était connu à la fois comme l’élève d’un calendériste célèbre Chu Yan (楚 ) et comme auteur d’un ouvrage qui n’est pas parvenu jusqu’à nous, le Huangdi Jiuzhang Suanfa Xicao (黄帝九章算法草),
selon du nom Jiuzhang, il y avait des solutions détaillées des méthodes de calcul en neuf chapitres de l’Empereur Jaune. Il conviendrait d’attribuer à Jia Xian deux méthodes mathématiquement distinctes destinées à extraire des racines : Li cheng shi suo Kaifangfa (立
释锁开方法) et Zeng-cheng Kaifangfa (增乘开方法).
Quant à Liu Yi ( 益), à part qu’il aurait écrit un certain Yigu genyuan ( 源
Discours sur les origines anciennes), il y avait deux cents questions mathématiques dont la plupart sont destinées à extraire des racines, les équations de Liu Yi sont illimitées, ainsi que le premier coefficient peut être positif ou négatif.

Quatre mathématiciens exceptionnels

Quatre mathématiciens exceptionnels ( 元数学四大家) marquent les dynasties Song et Yuan, en particulier aux XIIe et XIIIe siècles : Qin Jiushao (秦九韶, 1202–1261), Li Ye (李 , 1192-1279), Yang Hui (杨辉, 1238-1298) et Zhu Shijie (朱世杰, 1270-1330).
Qin Jiushao fut le premier à introduire un symbole pour le zéro dans les mathématiques chinoises. Le Shùshū Jiǔzhāng (数书九章, Traité mathématique en neuf sections), fut écrit par Qin Jiushao en 1247 ; sa découverte d’une méthode de résolution de systèmes de congruences en fait le point culminant de l’analyse diophantienne chinoise.
Le Cèyuán Hǎijìng ( 測圓海鏡, Miroir de la mer mesurant le cercle), est une collection de 692 formules et 170 problèmes concernant l’inscription d’un cercle dans un triangle. Écrit par Li Ye en 1248, il utilise le Tian yuan shu ( 元术, méthode de l’élément céleste) pour convertir des problèmes de géométrie en des questions purement algébriques.
Siyüan yüjian (四元玉鑒, Miroir de Jade des quatre éléments), fut écrit par Zhu Shijie en 1303, et constitue le point culminant de l’algèbre chinoise. Les quatre éléments (le ciel, la terre, l’homme et la matière), représentent quatre quantités inconnues dans des équations algébriques.
Yang Hui, mathématicien représentatif de l’époque des Song du Sud, fut actif dans la seconde moitié du XIIIe siècle. Sa production fut importante. Il écrivit les Ri yong suan fa (日用算, Méthodes mathématiques d’usage quotidien,1262), d’après son titre, ce livre était centré sur les quatre opérations, en véritable initiation aux mathématiques à usage populaire. Nous disposons de plusieurs livres connus globalement sous le nom de Méthodes mathématiques de Yang Hui. L’Explication détaillée des Neuf chapitres sur les méthodes mathématiques ( 解九章算法, 1261) traite de l’« extraction de la racine multipliée trois fois », c’est-à-dire de la recherche d’une racine quatrième, et mentionne la méthode de Jia Xian. Dans les Méthodes pratiques pour calculer la surface des champs ( 亩类乘除捷法, 1275) est présentée une méthode tout à fait semblable à celle de Horner8, qui est donnée comme étant tirée du Discours sur les origines anciennes de Liu Yi. Il est remarquable que dans ces deux cas, Yang Hui présente les travaux de ses prédécesseurs dans le domaine des équations numériques. Ses ouvrages contiennent aussi de nombreux problèmes concernant la sommation des séries.

La fusion des mathématiques antiques chinoises et occidentales

Pendant la onzième année du règne de l’empereur Hongzhi des Ming, le navigateur portugais Vasco de Gama doubla le Cap de Bonne-Espérance et atteignit Calicut en Inde en 1498, six ans après la découverte de l’Amérique par Christophe Colomb, et après, au début du XVIème siècle, les Portugais sillonnèrent la Mer de Chine méridionale depuis Goa, et firent de Macao leur base pour le commerce avec la Chine et le Japon. Ce fut la première entrée des Européens en Chine dans l’histoire chinoise.
8 En mathématiques et algorithmique, la méthode de Ruffini-Horner, connue aussi sous les noms de méthode de Horner, Elle permet de calculer la valeur d’un polynôme en x0. (https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner ) Matteo Ricci fut le premier, en 1582, à pouvoir entrer en Chine où il parvint à établir une mission et apporter des objets produits par la culture européenne dans ses bagages, ainsi qu’il introduisit aussi des connaissances mathématiques et scientifiques, tout cela afin de gagner le respect des Chinois de cette époque. Dans la jeunesse de ce jésuite italien, Matteo Ricci avait étudié au célèbre Collège Romain, où son professeur Clavius lui enseignait les connaissances d’astronomie et de mathématiques qui étaient fort utiles dans sa tâche de missionnaire en Chine. Grâce à l’observation d’éclipses de Lune, Ricci parvint à déterminer la longitude de la Chine et il publia par la suite une mappemonde intitulée Carte complète de tous les pays de la Terre, et enseigna la théorie de la sphéricité de la Terre (Yabuuti, 2000). Il a ainsi établi sa réputation auprès des savants chinois. Avec leur aide, il traduisit quelques ouvrages de Clavius en chinois, qui sont connu sous le nom de Maître Ding en Chine.
À partir de 1601, Ricci fut autorisé à s’installer et créer une mission à Beijing ; des savants chinois qui ont l’esprit ouvert se rassemblèrent autour de lui. Avec l’aide de XU Guangqi, haut fonctionnaire de cette époque, il traduisit les six premiers livres des Éléments de géométrie, qui furent publiés en 1607 et après Ji he, qui figure dans le titre chinois (Ji he yuan ben 何原本), est la transcription phonétique de géo (Yabuuti, 2000).

Les commentaires sur les mathématiques antiques de la Chine

Dans l’ouvrage Reconnaissance des mathématiques traditionnelles chinoises, nous pouvons récupérer l’idée du mathématicien Wu Wenjun (1987) :
“要真
了解中的传统数学首
撇开西方数学的
入之
直接依据目前们所能掌握的
固数学原
始资料设法析复原
时所用的思方式和方法
才可能认识它的真实面目 ” (p.60). (Cité par Luo, 1993).
Cela veut dire qu’il faut évider la préconception des mathématiques occidentales, et faire des recherches d’après les documents originaux et analyser les idées et les méthodes des chinois anciens, ainsi nous pouvons comprendre le noyau des mathématiques traditionnelles chinoises.
Il y a beaucoup de chercheurs qui s’intéressent sur les mathématiques antiques de la Chine, et ils ont leurs points de vue propres, dans ce sous-chapitre, nous allons faire une brève présentation des commentaires sur les caractères et les significations des mathématiques traditionnelles chinois.

Les caractères des mathématiques antiques de la Chine

Dans la partie de conclusion de Les mathématiques antiques de la Chine (1997), l’auteur Guo Shuchun considère que les mathématiques sont une science qui fait des études sur la forme d’espace et la quantité des objets, mais sans aucune restriction de temps et de l’espace. Il a conclu les caractères des mathématiques traditionnelles chinoises dans les aspects suivants :
La forme des présentations des œuvres mathématiques : différent des mathématiques grecques antiques qui utilisent souvent des axiomes abstraits, les mathématiques traditionnelles chinoises combinent les formules ou les processus de calcul abstrait et les problèmes mathématiques dans la vie quotidienne.
Les recherche sur les théories mathématiques : en utilisant le raisonnement déductif, les mathématiques grecques ont formé un système axiomatique rigoureux des connaissances mathématiques ; à la différence des mathématiques qui sont reliés étroitement à la philosophie, mais au centre de calcul, les mathématiques chinoises combinent bien des méthodes géométriques et algorithmiques.
La relation entre les théories et les pratiques : le but de la plupart des œuvres mathématiques antiques de la Chine est de mettre en utilisation dans les pratiques de la vie et de la production. Les caractères de développement : les mathématiques grecques ont une bonne continuité et succession à cause de l’attention des dominateurs, en revanche, la plupart des empereurs chinois antiques ne font pas attention aux mathématiques, ainsi, le développement des mathématiques éprouve souvent des hauts et des bas. Ce qui nous intéresse, c’est que les hauts de développement se font des années combattantes et les bas se font des années de paix.

La place et la signification des mathématiques antiques de la Chine

Yu (1992) a mis en avant l’idée que la « mathématique » de l’époque n’est pas une science pure mais une complexité liée à la dévotion religieuse et d’autres caractéristiques culturelles.
Guo (1997) a mis en avant l’idée que des méthodes de résolutions des problèmes s’avèrent plus avancées ou efficace que celles proposées dans les manuels mathématiques d’aujourd’hui. Le fait d’intégrer les pensées des ouvrage Jiu zhang suan shu et Guan yu lv dans les manuels actuels favoriserait l’apprentissage et l’enseignement.
Qiu (2014) a prolongé l’idées de Yu, il a conclu que les mathématiques traditionnelles chinoises est une partie importante de 5000 ans de culture traditionnelle chinoise, dont le développement et les caractéristiques, la prospérité et le déclin, sont étroitement liés aux aspects socio-culturels, économiques et politiques en vigueur.
Aujourd’hui, les mathématiques chinoises sont intégrées dans la tendance du développement mondial, ont apporté une contribution importante au développement des mathématiques mondiales, mais en comparaison avec les pays occidentaux, il y a encore un écart évident, qui est manifesté principalement par le manque des théories mathématiques originales. Pour résoudre ce problème, il faut mettre accent sur les caractères culturels chinois, et réfléchir les inconvénients et les limites dans l’éducation des sciences d’aujourd’hui.

Le concept de fraction d’un point de vue étymologique et historique en Chine

Cette partie aborde des questions sur l’aspect historique du concept de fraction. L’objectif de celui-ci est, d’une part, d’offrir un simple aperçu du concept de fraction en Chine ancienne, afin de savoir comment la fraction a été́représentée. D’autre part, d’effectuer d’une analyse étymologique de la notion des fractions, ainsi que le nombre et le système de numération en Chine au fil du temps, afin de récupérer et extraire des différents systèmes de numération et la culture présentée.

L’apparition et le développement du concept de fraction en Chine ancienne

Dans ce sous-chapitre, nous allons présenter l’origine des fractions en Chine ancienne, dont comment se présentent les expressions des notions de fraction en langue chinoise. Selon Qi (1996), très tôt, les mathématiciens chinois ont eu àtravailler avec des fractions surtout dans les domaines de métallurgie, de calendrier astronomique, de féodalisme (distribuer la terre) etc. Elles se sont développées avec la production sociale.

Le nombre et le système de numération en Chine au fil du temps

Selon les travaux de Waminya (2011), « un système de numération est un ensemble de règles d’utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d’écrire, d’énoncer ou de mimer des nombres ». Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l’écriture, de la nécessité d’organiser les récoltes, le commerce et la datation.
L’écriture qui est en fait un système de représentation graphique d’une langue, au moyen de signes inscrits ou dessinés sur un support. L’invention de l’écriture par l’homme correspond au passage de la préhistoire à l’histoire en une transition de plusieurs millénaires. Ainsi, pour compter, on ajoute successivement des unités, et on les groupe par paquets chaque fois qu’on atteint une certaine valeur. De même, au bout d’un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets en paquets plus grands, et ainsi de suite. Idéalement, le nombre d’éléments de chaque paquet, qui donne le caractère de la numération, est identique. Dans la pratique, ce n’est pas toujours le cas.

La première forme : Numération archaïque

Dans le premier chapitre, nous avons mentionné que les caractères chinois, dont ceux représentant les chiffres, voient le jour vers le milieu de la dynastie Shang (environ 1400 avant notre ère). Un haut fonctionnaire Wang Yirong et un expert en bronzes et inscriptions sur pierres les découvrent par hasard en 1899. Ils comprennent que ces signes constituent une écriture et prouvent que les inscriptions découvertes sur des carapaces de tortues et sur des os étaient liées à des pratiques divinatoires. D’où son appellation par les Chinois d’écriture jiǎgǔwén ( 骨文), littéralement « écriture ossécaille » (Ifrah, 1981).
Le système numérique utilisé alors pour exprimer les nombres est basé sur un système décimal et est à la fois additif et multiplicatif. Ce n’est pas encore un système de numération de position et il ne nécessite pas de zéro.

La deuxième forme : Système positionnel

Nous avons présenté dans la première partie que l’autre système commencent à être utilisés avec l’apparition de baguettes servant aux calculs à l’époque des Printemps et Automnes (de −722 à −481), selon Gazagnes (2005), même si elles sont utilisées comme instrument de calcul(算筹, suan chou) sur la période commençant à la dynastie des Han et finissant à celle des Yuan (de 1279 à 1368), et seront alors remplacées par le boulier, elles servent à représenter des nombres jusqu’au début du 20ème siècle.
Ces calculateurs créent un système spécifiquement adapté au maniement scientifique des nombres. Cette notation n’utilise plus que neuf symboles – pour les chiffres de 1 à 9 – et représente le 0 par l’absence ou la place vide. Les chiffres sont représentés par des baguettes posées horizontalement ou verticalement, déplacées pendant les calculs.
Ce système de numération est basé sur deux principes : la position et le rang des chiffres et l’alternance. Les symboles de la première série sont utilisés pour noter les unités, les centaines et, de façon plus générale, les puissances paires de 10, tandis que les symboles de la seconde le sont pour les dizaines, les milliers et, plus généralement, les puissances impaires de 10. L’alternance des orientations a été mise au point probablement pour éviter la confusion lorsque plusieurs chiffres sont accolés.
Pour écrire le nombre 6 572, on écrit d’après la figure 3, en commençant par la droite, 2 (chiffre des unités) vertical, 7 horizontal (dizaines), 5 vertical (centaine) et 6 horizontal (millier) :

L’apparition du zéro

Dans l’écriture avec des baguettes de 201, on notera la place « vide » du chiffre des dizaines ; celle-ci est rapidement repérée par le fait que les baguettes des centaines et des unités sont toutes les deux verticales.
Rien ne laisse supposer qu’à l’époque existait une marque spéciale pour un « zéro » qu’une place vide. L’alternance des positions des baguettes (verticales ou horizontales) permet de lever dans certains cas cet équivoque (et de marquer sans ambiguïté possible un « zéro ») : il suffit en effet de trouver deux chiffres successifs avec la même position pour en déduire qu’il y a une place vide entre les deux. De même, lorsque le dernier chiffre du nombre a une position verticale montre que le nombre n’a pas de chiffre pour les unités. Du coup, cette absence de zéro à la fin du nombre ne permet pas de distinguer 1, 100 ou 10 000 dans l’écriture « | ». Le lecteur d’alors, en fonction du contexte, déterminait la valeur.
L’origine du zéro, faute de documents, doit être traitée avec beaucoup de précautions.
En Chine comme dans tout autre pays. De plus, il peut y avoir plusieurs thèmes derrière lui :
Un nombre qui a exactement le même statut que n’importe quel autre nombre ;
Un symbole positionnel spécifique qui montre l’absence de certains ordres d’unités ; Un symbole opérationnel écrit après la dernière unité d’un nombre pour le multiplier par la base.
Si toutefois le zéro avait été connu en Chine ancienne, il n’aurait pas le premier sens. Aucun des textes mathématiques n’admet 0 comme solution et aucun n’utilise un nombre « zéro » dans ses calculs comme les autres nombres. Peut-être en raison de la nature des problèmes posés.
Après l’époque mongole, les Chinois emploient progressivement le zéro comme un chiffre ordinaire. C’est seulement à partir des Ming que le zéro se voit attribué d’un caractère (encore d’actualité), que l’on lit ling, dont l’écriture en chinois 零.

Le système de numération d’aujourd’hui

La numération des jiuguwen s’est développée dans les temps. L’étape suivante, qui remonte à environ 2 500 ans (pendant la dynastie des Zhou occidentaux), voit apparaître des inscriptions sur bronze. Les caractères changent de forme (à part 1, 2 et 3). Dans le même temps, le « et » additif disparaît, les nombres sont écrits en une suite linéaire de caractères et un nouveau caractère, yi, apparaît (tantôt pour dix mille tantôt pour cent millions, suivant que le nombre est inférieur ou supérieur à cent millions) et, du coup, de plus grands nombres sont écrits. En chinois, les nombres sont décomposés toutes les quatre puissances de 10, et non toutes les trois, comme dans les langues occidentales. Il y a aussi une nouvelle forme de lecture des nombres.
Aujourd’hui, les nombres peuvent s’écrire dans la langue chinoise courante comme en toutes lettres pour nous, en utilisant les caractères ci-dessous. Les traités font état de 13 caractères numériques fondamentaux :
Pour écrire un nombre, on énumère les dizaines de mille, les milliers, les centaines, les dizaines et les unités qu’il contient. Ces nombres n’apparaissent qu’exceptionnellement dans les traités et nécessitent le recours à des unités particulières pour éviter une trop grande répétition du caractère wan. Un caractère spécial apparaît donc pour 100 000 000 (= 10 0002). On décompose en centaines de millions, centaines de mille, dizaines de mille, milliers, centaines, dizaines et unités.
Voici un exemple : le nombre de la population chinoise en 2016 : 13 8133 6300= (10 + 3) × 100 000 000 + (8000 + 100 + 30 + 3) × 10 000 + 6 000 + 300
En caractères chinois, il s’écrit : 十千一十千

La notion de fraction et les différentes expressions en langue chinoise

Le mot « 数 » porte avec lui de diverses idées comme partages, division, rapports, proportionnalité, nombres rationnels, etc. Dans les mathématiques chinoises, le plus commun est celui qui consiste àdiviser une entité́en un nombre de parts égales. En mathématiques chinoises, la notion de fraction qui est de loin de la plus répandue est celle qui provient de la notion de partage d’un tout en un certain nombre de parties égales.

Table des matières

Introduction
PARTIE 1 : Approches historique et contextuelle du concept de fraction et de son enseignement
1. Retour sur les travaux d’Alahmadati par rapport au concept de fraction à l’école primaire en France et poursuite du travail dans le contexte chinois
1.1. Rappel succinct sur l’origine du concept de fraction en dehors de la Chine
1.1.1. Les fractions en Mésopotamie
1.1.2. Les fractions en Égypte
1.1.3. Les fractions en Grèce
1.1.4. Les fractions en Inde
1.1.5. Les fractions au Moyen-Orient
1.1.6. Les fractions en Occident
1.2. Enseignement des fractions à l’école élémentaire en France
2. Les mathématiques en Chine ancienne
2.1. Cinq étapes du développement des mathématiques en Chine ancienne
2.1.1. L’origine des mathématiques antiques
2.1.1.1. Apparition du concept de nombres
2.1.1.2. Apparition du système de numération
2.1.1.3. Les mathématiques de l’époque Zhou
2.1.1.4. Les mathématiques sous la dynastie Qin
2.1.2. La formation du système des mathématiques antiques de la Chine
2.1.2.1. Les baguettes à calculer et leur utilisation
2.1.2.2. Les neuf chapitres sur l’art mathématique
2.1.3. Le développement des mathématiques des Trois Royaumes aux Tang
2.1.3.1. Les travaux de Liu Hui
2.1.3.2. Les travaux de He Chengtian et Zu Chongzhi
2.1.3.3. Le Sun Zi Suanjing et Zhang Qiujian Suanjing
2.1.3.4. Les mathématiques de l’époque Sui au Tang
2.1.4. La floraison des mathématiques sous les Song et les Yuan
2.1.4.1. Méthode de l’équation des réalisations numériques
2.1.4.2. Quatre mathématiciens exceptionnels
2.1.5. La fusion des mathématiques antiques chinoises et occidentales
2.2. Les commentaires sur les mathématiques antiques de la Chine
2.2.1. Les caractères des mathématiques antiques de la Chine
2.2.2. La place et la signification des mathématiques antiques de la Chine
3. Le concept de fraction d’un point de vue étymologique et historique en Chine
3.1. L’apparition et le développement du concept de fraction en Chine ancienne
3.1.1. Le nombre et le système de numération en Chine au fil du temps
3.1.1.1. La première forme : Numération archaïque
3.1.1.2. La deuxième forme : Système positionnel
3.1.1.3. L’apparition du zéro
3.1.1.4. Le système de numération d’aujourd’hui
3.1.2. La notion de fraction et les différentes expressions en langue chinoise
3.1.3. Quelques procédures de calcul fractionnaire dans le Jiu Zhang Suan Shu
3.1.3.1. Procédure de simplification des parts (yuefen shu)
3.1.3.2. Procédure d’addition des fractions (hefen shu)
3.1.3.3. Les autres procédures dans le chapitre Fang Tian
3.1.4. Le concept de fraction dans le Mo Zi, Guan Zi et Shang Jun Shu
3.1.5. Le concept de fraction dans l’Art de la guerre
3.1.6. Le concept de fraction dans le Qin Jian
4. Le concept de fraction d’un point de vue mathématique
4.1. Définitions mathématiques de la fraction
4.1.1. Définition selon la notion de partie d’un tout
4.1.2. Définition selon la notion de quotient
4.1.3. Définition selon la notion de rapport
4.1.4. Définition axiomatique
4.2. Apports de la notion de fractions qui aident les élèves à mieux comprendre le concept de la fraction
4.2.1. Les recherches sur la notion d’Unité 1
4.2.2. Les représentations des notions de fraction
4.2.3. La transformation des représentations des notions de fraction
5. Questions autour de l’enseignement des fractions en Chine
5.1. La langue de scolarisation en Chine
5.2. Le système éducatif en Chine
5.2.1. Présentation générale du système éducatif chinois
5.2.2. La scolarité obligatoire
5.2.3. La gratuité de la scolarité
5.3. L’évolution des programmes de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire(小学数学教学大􃓢) en Chine de 1949 à 2000
5.3.1. L’imitation les programmes soviétiques de 1949 à 1957
5.3.2. L’exploration et la création d’un système d’éducation chinoise en mathématiques de 1958 à 1965
5.3.3. La révolution culturelle en Chine de 1966 à 1976
5.3.4. La récupération et le réajustement des programmes de 1977 à 1985
5.3.5. L’instruction obligatoire de 1986 à 2000
5.4. Les programmes de l’enseignement (教学大􃓢) et le Standard du curriculum (课程标准)
5.5. Les manuels scolaires des cours de mathématiques en Chine
5.5.1. Le manuel scolaire (教科书) : sa place et son rôle
5.5.2. Trois étapes de développement des manuels scolaires en Chine
5.5.2.1. La récupération du système de manuel scolaire à l’école primaire (1978-1985) 60
5.5.2.2. Le tâtonnement d’une variété des versions de manuel scolaire (1986-2000)
5.5.2.3. La diversité des manuels scolaires de mathématiques(2001-aujourd’hui)
5.5.3. Les suggestions dans le standard de curriculum 2011 pour la rédaction des manuels scolaires
5.6. Enseignement des fractions à l’école primaire
PARTIE 2 : Approche théorique autour des questions de l’enseignement des fractions dans une perspective multiculturelle
1. Recherche sur les approches ethnomathématiques
1.1. Ethnomathématiques au sens de D’Ambrosio
1.1.1. Ethnomathématiques : les aspects culturels des mathématiques
1.1.2. Le programme ethnomathématique
1.2. Les recherches sur l’approche ethnomathématique en Chine
1.2.1. La culture ethnomathématique et l’éducation mathématique
1.2.1.1. La culture mathématique et la culture ethnomathématique
1.2.1.2. La culture ethnomathématique et l’éducation mathématique
1.2.2. Remarques sur l’ethnomathématique pour les réformes des cours mathématiques
2. Registres sémiotiques de représentation en mathématiques selon Duval
2.1. Les représentations internes et externes
2.2. La notion de registres sémiotiques de représentation dans notre recherche
2.3. Les trois registres de représentations sémiotiques possibles pour les fractions
3. Autour des apports de la théorie de champs conceptuels selon Vergnaud
3.1. La théorie des champs conceptuels pour analyser la construction des connaissances
3.2. Le manuel scolaire à la lumière des champs conceptuels
4. Retour sur quelques concepts de la didactique des mathématiques
4.1. La transposition didactique
4.1.1. La transposition externe dans les manuels scolaires de mathématique
La première étape de cette transformation
4.1.2. La transposition interne
4.1.3. Les fractions : transposition didactique du savoir en jeu
4.2. Une approche systémique par le triangle didactique
4.3. La théorie des situations didactiques de Brousseau
4.3.1. Situation didactique et situation adidactique
4.3.2. Le contrat didactique
5. Les recherches sur les pratiques enseignantes
5.1. Différentes approches sur les pratiques enseignantes
5.2. La vidéo comme outil d’analyse des pratiques en salle de class
5.2.1. Avantages des données vidéographiques
5.2.2. Limitations des données vidéographiques
6. La pédagogie des mathématiques en Chine
6.1. Les suggestions d’enseignement du cours de mathématiques sous le nouveau Standard du curriculum chinois 2011
6.2. Méthode pédagogique d’enseignement par la conduite de l’enseignant ( 导学式教学法) dans l’enseignement du concept de fraction
7. Problématique et hypothèses de notre recherche
7.1. Problématisation
7.2. Hypothèses
PARTIE 3 Approches méthodologiques de la construction et des traitements
et analyses des données et de leurs interprétations
1. Méthodes de construction et traitements des données
1.1. Réflexion sur la méthodologie de notre recherche
1.2. Les manuels scolaires choisis
1.2.1. Le contexte du choix des manuels scolaires
1.2.2. Les deux éditions de manuels scolaires choisies
1.3. Construction de la grille d’analyse
1.4. Construction des données par les observations vidéographiques
1.4.1. Choix de la vidéographie du cours de mathématiques enregistré sur le terrain
1.4.1.1. Le contexte d’observation
1.4.1.2. Les enregistrements vidéographiques
1.4.2. Choix de vidéographies du cours mathématiques enregistré par la maison d’édition
1.5. Transana : logiciel de traitement des données vidéographiques
1.5.1. Description de l’interface
1.5.2. Analyse des intérêts de traitement
2. Analyses des données construites sur les manuels scolaires
2.1. L’analyse des arrangements des contenus concernant la fraction dans les manuels de Classe Niveau 3 et Classe Niveau 5
2.1.1. La structure de l’unité de Fraction dans les manuels
2.1.1.1. La structure de l’unité de Fraction dans les deux éditions de manuels scolaires de Classe Niveau 3
2.1.1.2. La structure de l’unité de Fraction dans les deux éditions de manuels scolaires de Classe Niveau 5
2.1.2. La place réservée à l’unité de Fraction dans les manuels
2.1.2.1. La place réservée à l’unité de Fraction dans les manuels de Classe Niveau 3
2.1.2.2. La place réservée à l’unité de Fraction dans les manuels de Classe Niveau 5
2.1.3. Répartition des savoirs de fraction dans l’unité de Fraction
2.1.3.1. Répartition des savoirs de fraction dans les manuels de Classe Niveau 3
2.1.3.1. Répartition des savoirs de fraction dans les manuels de Classe Niveau 5
2.2. Présentation des activités par rapport au concept de fraction
2.2.1. Répartition des significations de fractions dans les manuels
2.2.2. Type des modèles utilisé dans les activités pour présenter le concept de fraction
2.2.3. Type des illustrations utilisé pour la description des activités
2.2.4. Degré d’ouverture des activités d’exemple
2.2.5. La présentation des cultures ethnomathématiques
2.3. Interprétations et mise à l’épreuve des hypothèses
2.3.1. Les caractéristiques d’arrangement des savoirs concernant le concept de fraction dans les deux éditions de manuels scolaires
2.3.2. Mise à l’épreuve des hypothèses 01 et 02
3. Analyse des données vidéographiques des cours sur les fractions à l’école primaire en Chine
3.1. L’analyse des vidéos du cours de fraction à l’école primaire
3.1.1. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 3 ‘‘Le partage (􀠶一􀠶)’’
3.1.1.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel
3.1.1.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.1.3. Le déroulement du cours
3.1.2. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 5 ‘‘ La notion de fraction revisitée (􀠶数的􀞽认识一)’’
3.1.2.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel
3.1.2.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.2.3. Le déroulement du cours
3.1.3. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 5 ‘‘ La notion de fraction revisitée (􀠶数的􀞽认识 􀒼)’’
3.1.3.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel
3.1.3.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.3.3. Le déroulement du cours
3.1.4. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 5 ‘‘ La division du gâteau(􀠶 饼)’’ 142
3.1.4.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel
3.1.4.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.4.3. Le déroulement du cours
3.1.5. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 5 ‘‘ La fraction et la division (􀠶数􀐾除法一)’’
3.1.5.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel
3.1.5.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.5.3. Le déroulement du cours
3.1.6. L’analyse du cours de fraction de Classe Niveau 5 ‘‘ La fraction et la division (􀠶数􀐾除法 􀒼)’’
3.1.6.1. L’analyse des contenus de cette séance dans le manuel scolaire
3.1.6.2. L’objectif pédagogique de cette séance
3.1.6.3. Le déroulement du cours
3.2. Mise à l’épreuve des hypothèses
Conclusion
Bibliographie
Sitographie
Documents vidéographiques
Index Auteurs
Index Mots clé
Index des figures et des graphiques
Index Tableaux
Annexes
1. Annexe 1 Les Neuf Chapitres : Fang Tian (九章算术􀋖方􂭠)
2. Annexe 2 Le standard du curriculum de mathématiques pour l’instruction obligatoire 2011 (extrait des suggestions sur la conception pédagogique et la rédaction des manuels scolaires)
3. Annexe 3 Le plan d’enseignement du cours de fraction de Classe Niveau
5 : Fen Bing (􀠶饼)