Les lois fondamentales 

Loi de Hooke

Appliquée à une structure élastique homogène et isotrope, dans les conditions de petits déplacements, la loi de Hooke exprime que les composantes du tenseur de contrainte mécanique (𝜎) sont liées à celles de (𝜀) par une relation matricielle linéaire de la forme [39], [41]: {𝜎} = [𝐻]{𝜀} (IV.6) avec [𝐻] = [ 𝜆 + 2𝐺 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 + 2𝐺 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 + 2𝐺 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐺 0 0 0 𝐺 0 0 0 𝐺] (IV.7a) 𝜆 et 𝐺 étant les coefficients de Lamé En exprimant les coefficients 𝜆 et 𝐺 en fonction des paramètres d’élasticité E (module d’Young) et 𝜈 (coefficient de Poisson), selon les définitions [39], [42], [43]. 𝜆 = 𝜈𝐸 (1+𝜈)(1−2𝜈) ; 𝐺 = 𝐸 2(1+𝜈) On peut obtenir la variante d’expression de [𝐻] suivante : [𝐻] = 𝐸 (1−2𝜈)(1+𝜈) [ 1 − 𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1 − 𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1 − 𝜈 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 − 𝜈 0 0 0 1 2 − 𝜈 0 0 0 1 2 − 𝜈 ] (IV.7b) Développée en coordonnées cartésiennes, la relation (IV.6) conduit aux expressions suivantes : {𝜎} = { 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧} {𝜀} = { 𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑧𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧} 90 Laboratoire de Physique et Modélisation { 𝜎𝑥𝑥 = 𝑎(1 − 𝜈)𝜀𝑥𝑥 + 𝑎𝜈𝜀𝑦𝑦 + 𝑎𝜈𝜀𝑧𝑧 𝜎𝑦𝑦 = 𝑎𝜈𝜀𝑥𝑥 + 𝑎(1 − 𝜈)𝜀𝑦𝑦 + 𝑎𝜈𝜀𝑧𝑧 𝜎𝑧𝑧 = 𝑎𝜈𝜀𝑥𝑥 + 𝑎𝜈𝜀𝑦𝑦 + 𝑎(1 − 𝜈)𝜀𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 = 𝑎𝑏𝛾𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 = 𝑎𝑏𝛾𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧 = 𝑎𝑏𝛾𝑦𝑧 (IV.8) avec 𝑎 = 𝐸 (1+𝜈)(1−2𝜈) ; 𝑏 = (1−2𝜈) 2 En remplaçant les composantes de {𝜀} par les expressions définies en (IV.3), on obtient le système d’équations qui exprime {𝜎} en fonction de U (𝑢, 𝑣, 𝑤), soit : { 𝜎𝑥𝑥 = 𝑎(1 − 𝜈)𝑢,𝑥 + 𝑎𝜈𝑣,𝑦 + 𝑎𝜈𝑤,𝑧 𝜎𝑦𝑦 = 𝑎𝜈𝑢,𝑥 + 𝑎(1 − 𝜈)𝑣,𝑦 + 𝑎𝜈𝑤,𝑧 𝜎𝑧𝑧 = 𝑎𝜈𝑢,𝑥 + 𝑎𝜈𝑣,𝑦 + 𝑎(1 − 𝜈)𝑤,𝑧 𝜎𝑥𝑦 = 𝑎𝑏(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥) 𝜎𝑥𝑧 = 𝑎𝑏(𝑢,𝑧 + 𝑤,𝑥) 𝜎𝑦𝑧 = 𝑎𝑏(𝑣,𝑧 + 𝑤,𝑦) (IV.9) IV.1.3.2- Loi de comportement La loi de comportement établit la relation entre le vecteur déformation (𝜀) et l’ensemble des contraintes existantes, indépendamment de leur origine (mécanique, résiduelle ou thermique). Elle est traduite par l’égalité : {𝜎} − {𝜎0 } − {𝜎𝑡ℎ } = [𝐻]{𝜀} (IV.10) où {𝜎0 } représente les contraintes résiduelles liées à l’histoire de la structure considérée {𝜎𝑡ℎ } définit les contraintes thermiques dues à l’influence de la répartition de température qui modifie les propriétés physiques du matériau de la structure Le vecteur contrainte thermique {𝜎𝑡ℎ } a pour expression : {𝜎𝑡ℎ } = −[𝐻]{𝜀𝑡ℎ } où {𝜀𝑡ℎ } désigne le vecteur déformation thermique de composantes : 〈𝜀𝑡ℎ 〉 = 𝛼𝑇〈 1 1 1 0 0 0 〉 𝛼 étant le coefficient de dilatation thermique, et 𝑇 la variable température. 

Equations d’équilibre

La résolution d’un problème d’équilibre se rapportant à un solide déformable (Ω) de volume (V) et délimité par une surface frontière 𝑆 = 𝑆𝑈 𝑈 𝑆𝑓 consiste à traduire les effets des sollicitations (en contrainte) qu’il subit, par des modifications de son état mécanique global. Dans notre analyse, les variations de cet état sont décrites à partir de l’évolution de la répartition du vecteur déplacement 𝑈 en tout point du solide. Pour ce faire, on doit inventorier les différentes sollicitations à prendre en compte et, définir les conditions portant sur les grandeurs caractéristiques suivantes :  les forces de volume 𝑓𝑣 ∶ {𝑓𝑣𝑥, 𝑓𝑣𝑦, 𝑓𝑣𝑧},  les forces de surface 𝑓𝑠 ∶ {𝑓𝑠𝑥, 𝑓𝑠𝑦, 𝑓𝑠𝑧} appliquées à la surface frontière(𝑆𝑓),  les forces d’inertie 𝜌𝑈̈∶ {𝜌𝑢̈, 𝜌𝑣̈, 𝜌𝑤̈},  les contraintes initiales (ou résiduelles) {𝜎0 },  les sollicitations thermiques {𝜎𝑡ℎ },  les conditions cinématiques 𝑈0 ∶ {𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 } sur la surface frontière (𝑆𝑈). A partir de ces éléments de description, la théorie fonde la formulation des conditions d’équilibre sur les relations vectorielles suivantes : a. Equation d’équilibre en volume dans (V) {𝑑𝑖𝑣 〈𝜎〉} + {𝑓𝑣 } − 𝜌{𝑈̈} = {0} (IV.11) b. Equation d’équilibre en surface(𝑆𝑓) −(𝜎){𝑛} + {𝑓𝑠 } = {0} (IV.12) c. Loi de comportement {𝜎} − {𝜎0 } − {𝜎𝑡ℎ } = [𝐻]{𝜀} Le développement en expressions cartésiennes de ces relations de base conduit aux systèmes d’équations suivantes :  Equation d’équilibre en volume Suivant la direction 0x : 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑥𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑥𝑧 𝜕𝑧 + 𝑓𝑣𝑥 − 𝜌𝑢̈= 0 Suivant la direction 0y : 𝜕𝜎𝑦𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑦𝑧 𝜕𝑧 + 𝑓𝑣𝑦 − 𝜌𝑣̈= 0 (IV.13) Suivant la direction 0z : 𝜕𝜎𝑧𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑧𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑧𝑧 𝜕𝑧 + 𝑓𝑣𝑧 − 𝜌𝑤̈ = 0 92 Laboratoire de Physique et Modélisation  Equation d’équilibre en surface Suivant la direction 0x : 𝜎𝑥𝑥𝑛𝑥 + 𝜎𝑥𝑦𝑛𝑦 + 𝜎𝑥𝑧𝑛𝑧 = 𝑓𝑠𝑥 Suivant la direction 0y : 𝜎𝑥𝑦𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑦𝑛𝑧 = 𝑓𝑠𝑦 (IV.14) Suivant la direction 0z : 𝜎𝑥𝑧𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑧𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑛𝑧 = 𝑓𝑠𝑧  Loi de comportement { 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧} = 𝐸 (1−2𝜈)(1+𝜈) { (1 − 𝜈)𝜀𝑥𝑥 + 𝜈𝜀𝑦𝑦 + 𝜈𝜀𝑧𝑧 𝜈𝜀𝑥𝑥 + (1 − 𝜈)𝜀𝑦𝑦 + 𝜈𝜀𝑧𝑧 𝜈𝜀𝑥𝑥 + 𝜈𝜀𝑦𝑦 + (1 − 𝜈)𝜀𝑧𝑧 (1 − 2𝜈)𝜀𝑥𝑦 (1 − 2𝜈)𝜀𝑥𝑧 (1 − 2𝜈)𝜀𝑦𝑧 } + 𝐸𝛼𝑇 1−2𝜈 { 1 1 1 0 0 0} + { 𝜎𝑥𝑥0 𝜎𝑦𝑦0 𝜎𝑧𝑧0 𝜎𝑥𝑦0 𝜎𝑥𝑧0 𝜎𝑦𝑧0} (IV.15a) Pour ramener les solutions de ce système d’équations aux vecteurs déplacement 𝑈, on se sert de la relation déformation-déplacement, définie en (IV.3), qui une fois traduite dans la relation (IV.15a) conduit à l’expression de {𝜎} en fonction de {𝑈}, soit : { 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧} = 𝐸 (1−2𝜈)(1+𝜈) { (1 − 𝜈)𝑢,𝑥 + 𝜈𝑣,𝑦 + 𝜈𝑤,𝑧 𝜈𝑢,𝑥 + (1 − 𝜈)𝑣,𝑦 + 𝜈𝑤,𝑧 𝜈𝑢,𝑥 + 𝜈𝑣,𝑦 + (1 − 𝜈)𝑤,𝑧 (1 − 2𝜈)(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥) (1 − 2𝜈)(𝑢,𝑧 + 𝑤,𝑥) (1 − 2𝜈)(𝑣,𝑧 + 𝑤,𝑦) } + 𝐸𝛼𝑇 (1−2𝜈) { 1 1 1 0 0 0} + { 𝜎𝑥𝑥0 𝜎𝑦𝑦0 𝜎𝑧𝑧0 𝜎𝑥𝑦0 𝜎𝑥𝑧0 𝜎𝑦𝑧0} (IV.15b)

Traitement du problème par la Méthode des Eléments Finis

Principe général de la M.E.F

L’étape d’analyse dont ce paragraphe fait l’objet est la résolution numérique des systèmes d’équations qui décrivent le problème d’équilibre, en utilisant la M.E.F. De façon générale, le principe de mise en œuvre de la méthode nécessite deux opérations fondamentales de préparation qui sont d’une part, la définition d’un modèle discrétisé de la structure étudiée, d’autre part, la transcription des équations aux dérivées partielles (dite formulation forte ou brute) constituant le système d’équations d’équilibre, en équations intégrales (dite formulation faible). Le passage peut être réalisé par application du principe variationnel.

Modèle géométrique et conditions d’étude

Le modèle géométrique choisi pour l’étude est identique à celui que nous avons adopté dans la partie III de ce travail, lors de la détermination des charges hydro-thermiques, c’est-à-dire un bloc de géométrie parallélépipédique, discrétisé selon la figure IV.5a.   Il comporte 80 éléments et 150 nœuds de description. Les conditions d’étude appliquées à ce modèle comprennent (Figure IV.5b) : o les charges volumiques {𝑓𝑣 } composées de la contribution des succions {𝜓} et de celle des contraintes thermiques : 〈𝜎𝑡ℎ 〉 = − 𝛼𝐸𝑇 1 − 2𝜈 〈 1 1 1 0 0 0 〉 o les charges surfaciques {𝑓𝑠 } qui sont réduites à la pression atmosphérique{𝑃𝑎𝑡𝑚} appliquée à la face supérieure du modèle.