LES LOIS DE COMPOSITIONS

 Activité Préliminaire 

Plusieurs exemples nous montrent qu’on peut composer un peut n’importe quoi : prenons par exemple les opérations sur les ensembles comme l’intersection. Soit un ensemble E et P(E) l’ensemble de ses parties .Si A et B sont deux parties de E (c’est à dire en écriture mathématiques A, B ∈ P(E)), nous savons que l’intersection de A et B (notée A ∩ B) est une partie de E, élément de P(E). Figure 1: Intersection de A et B Ainsi, à deux éléments quelconque A et B de P(E), nous avons associée un élément C = A ∩ B de ce même ensemble P(E).C’est une loi de composition. Ici nous avons pris l’intersection de deux parties mais c’est aussi valable pour la réunion, la différence et la différence symétrique. Mais, par contre la notion d’appartenance n’à rien à voir avec la notion de loi de composition. Car une inclusion ou une appartenance est vraie ou fausse (c’est à dire si A∈ P(E), B∈P(E), A ⊂ B soit vraie soit fausse) alors qu’une loi de composition existe toujours pour une couple d’éléments .Et une loi de composition fournit une troisième élément, qui est en quelque sorte le « le résultat » tandis qu’une inclusion ou une appartenance ne peut fournir rien. Ce ne sont donc pas des outils de la même espèce 

 DEFINITIONS ET NOTATIONS

 Voici alors la définition et les notations de la loi de composition sur un ensemble E. L’image de (x, y) par f peut être notée en utilisant un signe opératoire quelconque. Exemple : d = c * f ; C = A ∩ B etc… D’une manière générale, nous pouvons écrire : z = x * y Le signe étoile (*) est le signe opératoire de la loi *. L’élément z est le composée de x suivi de y ; c’est l’image de (x, y) par f. Exemples : L’addition sur N est une loi de composition sur N f: N x N N (a, b) c = a + b La division sur N n’est pas une loi de composition sur N. Car il existe au moins un couple (a, b) ∈ N x N mais a\b n’est pas dans N Ex : (2,3) ∈ N x N mais 2\3 ∉ N Une loi de composition sur un ensemble E est une application f du produit cartésien E x E vers E. En écriture mathématiques f : E x E E (x, y) z 

DEFINTION DE LA COMMUTATIVITE 

Certaines lois présentent de l’intérêt du fait de leurs propriétés. Nous allons aborder maintenant l’une de ces propretés qui est la commutativité. 1- 2- 1 Activité préliminaire Sur un ensemble E = {a, b, c} voici une loi de composition notée (*) et définit par la table suivante. * a b c a a b c b b c a c c a b Figure 2 : Table de loi notée (*) Pour la case rouge à gauche de la diagonale b = b * a. Pour la case rouge à droite de la diagonale b = a * b. Donc b * a = a * b. De la même manière on trouve que quel que soit le couple (x, y) ∈E x E x * y = y * x. On dit que la loi * définit ci-dessus est commutative dans E = {a, b, c}. 1- 2- 2 DEFINITION : La loi de composition notée * sur un ensemble E est commutative signifie : Quel que soit le couple (x, y) ∈ E x E, x * y = y * x.