LES I-ANNEAUX COMMUTATIFS DE GOLDIE

ANNEAUX et MODULES

1.1 Anneaux Définition 1.1.1. 1. Un groupe commutatif (additif ) est un ensemble G muni d’une loi de composition interne + vérifiant les axiomes a) Il existe OG ∈ G tel que ∀g ∈ G on ait : OG + g = g + OG = g b) ∀g ∈ G, il existe (−g) ∈ G tel que g + (−g) = (−g) + g = OG c) (associativité) ∀a, b, c ∈ G on a : (a + b) + c = a + (b + c) d) (Commutativité) ∀a, b ∈ G on a : a + b = b + a. 2. Soit G un groupe (additif ). On appelle sous groupe de G tout sousensemble H de G vérifiant les axiomes : a) H 6= φ b) ∀a, b ∈ H on a : a + (−b) ∈ H 3. Soient A et B deux groupes (additifs). On appelle homomorphisme de 10 groupes de A dans B une application f : A → B compatible avec la structure des groupes c’est à dire telle que : a) ∀x, y ∈ A on ait : f(x + y) = f(x) + f(y) b) f(−x) = −f(x). Définition 1.1.2. Un anneau A est un groupe additif muni d’une seconde loi de composition interne  vérifiant les axiomes : a) (distributivité à gauche et à droite de la multiplication par rapport à l’addition) : ∀a, b, c ∈ A on a : (a + b)  c = (a  c) + (b  c) et a  (b + c) = (a  b) + (a  c) b) (associativité multiplicative) : ∀a, b, c ∈ A on a : a  (b  c) = (a  b)  c c) Existence d’un neutre multiplicatif ) : Il existe 1A tel que ∀a ∈ A on a : 1A  a = a  1A = a. On dira que l ’anneau (A, +, ) est commutatif si pour tout a, b ∈ A on a : a  b = b  a. Exemples : (Z, +, ) et (Q, +, ) sont des anneaux commutatifs. Définition 1.1.3. Soient A et B deux anneaux. On appelle homomorphisme d’anneaux une application f : A → B vérifiant a) f est un morphisme de groupes : ∀x, y ∈ A : f(x + y) = f(x) + f(y) 11 b) f est compatible avec la multiplication : ∀x, y ∈ A : f(x  y) = f(x)  f(y) c) f est un morphisme unitaire : f(1A) = 1B). Définition 1.1.4. 1. f : A → B un homomorphisme d’anneaux. On dit que f est un isomorphisme si f est bijectif 2. Soit f : A → B un isomorphisme d’anneaux alors sa bijectiion réciproque f −1 est aussi un isomorphisme 3. Deux anneaux A et B sont dits isomorphes et on note A ∼= B s’il existe un isomorphisme de A sur B. 4. Un homomorphisme d’un anneau A dans lui – même est appelé endomorphisme de A. Un endomorphisme bijectif de A est appelé automorphisme de A. Définition 1.1.5. Soit A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal à gauche (respectivement à droite) de A si les deux conditions suivantes sont satisfaites : a) (I, +) est un sous-groupe de (A, +) b) ∀a ∈ A et ∀i ∈ I on a a × i ∈ I (respectivement i × a ∈ I). Définition 1.1.6. Soit A un anneau et B un sous-groupe additif de A. On dit que B est un sous anneau de A lorsqu’il satisfait aux axiomes a) 1A ∈ B. b) ∀x, y ∈ B on a : x × y ∈ B. Exemples Si A = Z alors les idéaux de Z sont de la forme nZ où n ∈ N. 12 Définition 1.1.7. Soit A un anneau. I est un idéal bilatère de A s’il est à la fois idéal à gauche et un idéal à droite. Proposition 1.1.8. Soient A un anneau et I un idéal bilatère de A. On définit sur A une relation R de la manière suivante : ∀x, y ∈ A : xRy ⇔ x − y ∈ I a) R est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence d’un élément x de A est notée x¯ ou x + I. L’ensemble des classes d’équivalence est notée A/I. b) Sur A/I on définit les deux lois suivantes • A/I × A/I −→ A/I (a + I; b + I) 7−→ (a + b) + I • A/I × A/I −→ A/I (a + I; b + I) 7−→ ab + I A/I muni de ces deux lois est un anneau appelé anneau quotient de A par l’idéal bilatère I. Preuve a) Montrons que R est une relation d’équivalence – Soit x ∈ A on a : x − x = 0 ∈ I car (I, +) est un sous-groupe de (A, +) donc xRx d’où R est réflexive. – Soit x, y ∈ A tel que xRy. On a xRy ⇔ x − y ∈ I ⇔ −(x − y) ∈ I ⇔ y − x ∈ I ⇔ yRx. donc R est symétrique. 13 – Soient x, y, z ∈ A tels que xRy et yRz ⇔ x − y ∈ I et y − z ∈ I ⇔ (x − y) + (y − z) ∈ I ⇔ (x − z) ∈ I ⇔ xRz donc R est transitive. Finallement R est une relation d’équivalence. Montrons que 00+00 et 00  00 sont bien définies. – Soient (x, y); (x 0 y 0 ) ∈ A2 tels que xRy et x 0Ry 0 . Montrons que (x + x 0 )R(y + y 0 ) xRy ⇔ x ∈ y + I ⇔ il existe z ∈ I tel que x = y + z x 0Ry 0 ⇔ x 0 ∈ y 0 + I ⇔ il existe z 0 ∈ I tel que x 0 = y 0 + z 0 . On a x + x 0 = (y + z) + (y 0 + z 0 ) = (y + y 0 ) + (z + z 0 ) ∈ (y + y 0 ) + I x + x 0 ∈ (y + y 0 ) + I ⇔ (x + x 0 )R(y + y 0 ) donc 00+00 est bien définie. – Soient (x, y); (x 0 , y0 ) ∈ A2 tels que xRy et x 0Ry 0 il existe z et z 0 ∈ I tels que x = y + z et x = y 0 + z 0 . On a xx0 = (y + z)(y 0 + z 0 ) = yy0 + (yz0 + zy0 + zz0 ). Puisque yz0 + zy0 + zz0 ∈ I alors xx0 ∈ yy0 + I ⇔ xx0Ryy0 donc la loi 00  00 est bien définie. b) Montrons que (A/I, +, ) est un anneau. Soient x, y, z ∈ A on a 14 • [(x + I)(y + I)]  (z + I) = (xy + I)(z + I) = (xy)z + I = x(yz) + I = (x + I)(yz + I) [(x + I)(y + I)]  (z + I) = (x + I)[(y + I)(z + I)] • (x + I)[(g + I) + (z + I)] = (x + I)((y + z) + I) = [x(y + z) + I] = [xy + xz + I] • (x + I)[(y + I) + (z + I)] = [(x + I)(y + I)] + [(x + I)(z + I)] • On a [(x + I) + (y + I)](z + I) = [x + y) + I](z + I) = (xz + yz + I] = (xz + I)(yz + I) (x + I)[(y + I)(z + I)] = (x + I)(z + I) + (y + I)(z + I) • (x + I)(1A + I) = x  1A + I = x + I donc (A/I, +, ×) est un anneau. Si de plus A est un anneau commutatif alors A/I est commutatif. Proposition 1.1.9. Soient A1, A2, …, An des anneaux d’éléments neutres 01, 02, …, 0n et d’éléments unités respectivement 1A1 , 1A2 , …, 1An . Considérons l’ensemble produit cartésien : A = A1 × A2 × …. × An et définissons dans A les opérations suivantes : (x1, x2, …, xn) + (y1 + y2 + … + yn) = (x1 + y1; x2 + y2, …, xn + yn) (x1, x2, …, xn) × (y1, y2, …, yn) = (x1y1; x2y2; …; xnyn) ∀ (x1, x2, …, xn); (y1, y2, …, yn) ∈ A. L’ensemble A noté Yn i=1 Ai muni de ces deux opérations est un anneau. Cette structure d’anneau sur A est appelé anneau produit des anneaux A1, A2, …, An.