L’équation de DKP dans l’espace Minkowski

Introduction

Dans le milieu des années 1930, le succès de l’équation de Dirac dans la description des particules relativistes de spin 1/2 a motivé les scientifiques pour la recherche d’une équation du premier ordre similaire pour les particules de spin 0 et les particules de spin 1. Ce nouveau formalisme était pressenti pour remplacer les formalismes existant donnés par l’équation de Schrödinger de second ordre ou l’équation de Klein-Gordon (KG), connues aujourd’hui pour les particules de spin 0, et l’équation de Proca de second ordre pour les particules de spin 1. La première avancée majeure dans cette direction était initiée par De Broglie en 1934. Ce dernier a, depuis 1934, émis l’hypothèse d’un photo massif en état de repos. De Broglie a basé ses recherches sur une équation d’onde de premier ordre avec des matrices 16×16 résultant de produits dans des espaces de matrices de Dirac. Il espérait que la combinaison de deux leptons conduirait à la définition des photons massifs. L’un des étudiants de De Broglie, Petiau [27], a proposé une modification de l’algèbre de De Broglie qui a abouti à l’algèbre DKP 16×16. Il imposa sur ces matrices la relation suivante  a  b  c +  c  b  a =  a  bc +  c  ba (2.1) équations de DKP dans l’espace de Minkowsk  Par la suite, Géhéniau a décomposé l’algèbre DKP 16×16 en une représentation de cinq, dix et une dimension triviale..

Cependant, les travaux de Pétiau en 1936 sont restés méconnus pour la plupart des chercheurs. Particulièrement, Kemmer a consulté les travaux de Pétiau après la fin de la deuxième guerre mondiale. Kemmer [29] et Du¢ n [30] étaient inspirés par les travaux de Proca. Kemmer conclut que l’équation de Proca peut ‘tre décrite par un ensemble d’équations couplées du premier ordre et écrite de manière analogue au cas du spin 0. Kemmer réussit à formuler l’équation de Proca explicitement sous formes matricielles 5×5 et 10×10 sans avoir aucune connaissance de la propriété de commutation vérifiée par ces matrices. Juste après les travaux de Kemmer, Du¢ n a assisté à une discussion autour des équations de Proca animée par Kemmer dans un séminaire de physique. Lors de cette discussion Du¢ n voulait savoir comment conclure que cette nouvelle théorie était de spin 1. La réponse donnée par Kemmer à cette question n’a pas satisfait la curiosité de Du¢ n. Comme suite, ce dernier, très attaché au formalisme de Dirac du premier ordre, réussit à formuler les équations du spin 0 et spin 1 par des-matrices. Dans sa démarche, Du¢ n a exploité trois des quatre relations de commutation constituantes représentées dans l’équation (2.1) (non pas pour c = b 6= a). A la lecture des travaux de Du¢ n, Kemmer écrivit à Du¢ n pour l’informer qu’il savait comment étendre sa théorie et qu’il attendait de lui de publier d’avantage sur cette théorie. Du¢ n, à l’époque très impliqué avec A.C. Schae§er sur la théorie des fonctions, donna son approbation à Kemmer pour publier sur cette théorie. Suite à cela, Kemmer rassemble ses travaux sur le sujet et publie son papier classique de 1939 sur la théorie de méson. Son article est devenue une référence principale dans l’étude des particules bosoniques [30, 31]. Finalement, Le formalisme DKP devenait intéressant du fait qu’il contient des composantes pseudoscalaires et vectorielles présente dans la description des interactions produisant des forces nucléaires basses énergies.

Les matrices  

Nous savons que les mésons sont des particules possédant une masse m et une chargée. 

Le nombre des représentations irréductibles

Nous savons que dans le cas de l’équation de Dirac, les matrices admettent une seule représentation irréductible. Pour le cas de l’équation de DKP (2.2), nous avons des matrices  vérifiant une certaine relation plus compliquée que celle relative aux matrices . Pour trouver les différentes représentations irréductibles, il faut d’abord chercher le nombre de quantités linéairement indépendantes qui, dans le cas de l’équation de Dirac, le nombre est de 16.

Solutions exactes des équation de Dirac et de DKP dans le cas libre à (1+1) dimensions 

Le but principal de cette partie est de montrer que la fonction d’onde de l’équation DKP peut être obtenue à partir du produit direct de deux fonctions d’onde de Dirac. Lorsque nous passons de (3 + 1) dimensions à (1 + 1) dimensions, nous perdons la dynamique de spin et l’écriture des solutions sous la forme spinorielle devient un problème difficile. Bien que les solutions de l’équation de Dirac à (1 + 1) dimensions peut être écrit sous une forme des ondes similaire de type U ou de type V , il n’est pas facile de le faire pour l’équation DKP. Une autre façon est que, puisque l’équation DKP est écrite comme le produit direct de deux fonctions d’onde de Dirac, on peut tester si les produits directs des fonctions d’onde de Dirac donnent les solutions de l’équation de DKP à (1 + 1) ou non au moins dans le cas libre.

Solution de l’équation de DKP dans un espace-temps courbe à (1+1) dimensions pour le spin 

L’équation des bosons massifs DKP est une équation relativiste qu’a été d’abord proposée par Du¢ nñKemmerñ Petiau à la fin des années 1930. Elle définit le mouvement d’une particule vectorielle de spin 1. Elle est similaire à l’équation de Dirac o˘ les matrices de Dirac ont été remplacées par les matrices  avec une algèbre plus compliquée que celle relative aux . Dans le cas de (1 + 3) dimensions, la fonction d’onde de la particule admet seize composantes k (k = 1; :::16), et à (1 + 1) dimensions, le système est réduit à quatre composantes seulement trois composantes sont linéairement indépendantes: Dans ce chapitre, nous commençons d’abord par une brève description de l’univers de Friedman-Robertson-Walker(FRW). Ensuite, nous passons à la résolution de l’équation de DKP à deux dimensions dans un espace -temps courbe. Comme nous allons voir, nous proposons au premier lieu des différentes formes du facteur d’échelle et nous essayons de déduire les fonctions d’onde correspondantes pour chaque cas en remplaçons les matrices de Kemmer par les matrices de Dirac et le spineur de Kemmer k par le produit tensoriel de deux spineur de 3.2 L’univers de Friedmann-Robertson-Walker(FRW) 19 Dirac k = D D. 3.2 L’univers de Friedmann-Robertson-Walker(FRW) La théorie quantique des champs dans l’univers de Friedman-Robertson-Walker est une théorie approximative de la gravitation quantique dans laquelle les champs de la matière sont quantifiés et le champ gravitationnel généré par la courbure de l’espace est traité classiquement. Dans notre travail nous nous intéressons au modèle cosmologique standard qui se repose essentiellement sur l’hypothèse suivante ; l’univers est localement homogène, isotrope et en expansion lorsqu’on le décrit dans le système des cordonnées comobiles (principe cosmologique).