Le problème mathématique des trois corps, abordé simultanément

Le problème mathématique des trois corps, abordé
simultanément

Les outils de la diffusion des mathématiques

L’objectif des prochains paragraphes est de présenter quelques réflexions sur la communication bien particulière qu’est la diffusion des mathématiques, en s’interrogeant sur les outils avec lesquels pourraient ou devraient travailler ceux et celles qui y participent. Il y a bien sûr tous les outils pédagogiques ou didactiques permettant d’expliquer un concept, de simplifier une idée, de baliser un raisonnement. Il y a aussi des outils qui ne relèvent pas des mathématiques, mais peuvent être utiles à la diffusion des mathématiques, à condition de les adapter aux problématiques spécifiques qu’elle rencontre. Parmi ces possibles outils : ceux qui façonnent les émotions qui sous-tendent – et conditionnent! – la communication avec le public, et ceux qui visent à incorporer les mathématiques à des œuvres d’une autre nature, qui ont leur propre format et leurs propres standards. Si les émotions commencent a être étudiées par les didacticiens des mathématiques pour leur rôle dans l’apprentissage des mathématiques – on pourra consulter les travaux de Markkus Hannula, par exemple [28], ou l’ouvrage [25] qui propose un aperçu des recherches sur le sujet – elles sont encore peu intégrées de façon consciente à la pratique des diffuseurs. Nous allons décrire certains de ces outils, les avantages qu’auraient les mathématiciens à les utiliser, et la manière dont ils pourraient le faire. Ces réflexions ne sont pas issues d’une étude théorique, mais d’un ensemble d’expériences personnelles concrètes et variées autour de la diffusion des mathématiques, menées tout au long de ces quatre années de thèse avec une volonté d’interroger les pratiques existantes et d’en explorer de nouvelles. Leur valeur est celle d’un point de vue, dont j’espère qu’il puisse éclairer ceux qui s’interrogent sur la diffusion des mathématiques et motiver des études plus systématiques. Parmi tous les termes qui s’offrent à nous – diffusion, divulgation, médiation, popularisation, vulgarisation – nous choisissons le terme de diffusion, qui connote moins que vulgarisation, popularisation ou divulgation l’idée d’une transmission verticale. Le terme de médiation est intéressant, mais le dérivé médiateur désigne une profession assez spécifique, à laquelle nous ne voulons pas nous restreindre. Nous emploierons également les dérivés certes inhabituels mais néanmoins naturels diffuser, diffuseur, diffuseuse. 

Qu’est-ce que la diffusion ?

On appellera diffusion des mathématiques une communication entre, d’une part, un ou plusieurs mathématiciens et, d’autre part, un public, ayant pour objet des éléments de compréhension des mathématiques ou de ressentis liés aux mathématiques, et qui soit motivée par un ou plusieurs objectifs parmi ceux énumérés ci-dessous. En nous inspirant de la définition des mathématiques et des mathématiciens donnée par William Thurston dans son article On proof and progress in mathematics, nous dirons que les mathématiciens sont les personnes qui œuvrent à une meilleure compréhension humaine des mathématiques. Cette définition volontairement large comprend bien sûr les chercheurs, mais aussi les enseignants, les médiateurs, et les personnes qui ne sont pas mathématiciennes de profession mais de par les activités qu’elles réalisent. Pour ne pas enfermer la diffusion dans des considérations a priori sur les formes qu’elle peut prendre, nous allons la définir par les objectifs auxquels elle répond. Les trois objectifs choisis sont des variations concrètes autour d’un même idéal d’une société où chacun comprenne et puisse apprécier la science. D’autres variations pourraient sans doute s’y ajouter, mais prenons cette liste comme point de départ. 1. Que les gens sachent ce que font les mathématiciens et, plus généralement, les scientifiques. Cet objectif est celui qui nous vient le plus naturellement à l’esprit ; c’est d’ailleurs la définition de la diffusion des mathématiques que choisissent Geoffrey Howson, Jean-Pierre Kahane et Henry Pollak dans leur article The popularization of mathematics [32], et dont voici une traduction libre : La diffusion des sciences comprend tous les efforts qui sont faits, ou pourraient être faits, en vue de combler le fossé entre les avancées scientifiques et la connaissance qu’en a le public, exceptés ceux qui relèvent du système scolaire ou de l’éducation supérieure a . 2. Pour exprimer l’objectif suivant, nous emprunterons la formulation qu’en donne Étienne Ghys dans son article The internet and the popularization of mathematics [23] : Que les gens considèrent les mathématiques comme une activité utile et respectable, voire comme une possibilité pour eux, ou pour leurs enfants. D’une certaine manière, l’objectif principal de la diffusion n’est pas nécessairement de transmettre un contenu mathématique spécifique, mais de convaincre le public que les maths/la science pourraient être une réelle possibilité pour eux, ou pour leurs enfants, ou au moins qu’il s’agit d’une activité respectable, utile à la société dans son ensemble.

 Que les gens puissent s’approprier les mathématiques comme une activité culturelle qu’ils puissent apprécier à leur manière

Là encore, citons ce même article d’Étienne Ghys : Nous devons expliquer pourquoi il est important pour « l’homme de la rue » d’avoir quelque goût aux mathématiques (et à la science en général), de la même manière qu’il est, par exemple, important d’apprécier l’art. Un tel goût n’est pas nécessairement lié à « l’utilité » des mathématiques, disons pour l’économie ou les sciences de l’ingénieur, et ne nécessite pas une compréhension profonde des détails techniques. On devrait montrer clairement que les mathématiques peuvent être intéressantes et amusantes pour chacun, de même que la littérature peut être appréciée à différents niveaux c . a. The popularization of science involves all efforts made, or which might be made, to bridge the gap between scientific advances and public knowledge and information, apart from those who take part within school systems and higher education. b. Somehow, the most important goal of popularization is not necessarily to convey a specific mathematical content, but to convince the audience that maths/science could be a real option for themselves, or for their kids, or at least to show that it is a respectable activity, useful for society at large. c. We have to explain that it is important for the “man on the street” to have some taste for mathematics (or science in general) in a similar way as, for instance, it is important to enjoy the arts. Such a taste is not necessarily related to the “usefulness” of mathematics, say for economics or engineering sciences, and does not require a deep understanding of technical details. One should make clear that mathematics can be fun and interesting to everybody, in the same way as literature can be enjoyed at many levels.

QU’EST-CE QUE LA DIFFUSION ? 

Ces trois objectifs permettent immédiatement de définir (mais non pas d’évaluer !) ce qu’est une expérience de diffusion réussie : c’est une expérience qui a permis de progresser sur au moins un de ces aspects. Enfin, nous distinguerons la diffusion de l’enseignement ou de la collaboration professionnelle, en la plaçant sous le signe d’une certaine gratuité : le public n’attend pas des informations précises dont il aurait besoin dans son parcours scolaire, académique ou professionnel ; le mathématicien n’attend pas une évolution ou des progrès précis de la part du public, qu’il pourrait évaluer. Cette restriction exclut la collaboration professionnelle entre mathématiciens, mais aussi entre les mathématiques et les autres sciences. Ce choix est discutable ; en effet il est intéressant de se demander comment expliquer des mathématiques à des médecins, des sociologues, etc. Mais une telle collaboration est assez proche de l’enseignement supérieur en cela qu’elle peut se contenter des outils purement mathématiques et pédagogiques évoqués plus haut, et ne nécessite pas les outils spécifiques dont nous parlerons ici. En contrepartie, cette condition de gratuité exprimée comme telle autorise à envisager la diffusion mathématique dans le cadre scolaire, ce qui est une idée potentiellement féconde : les mathématiques gagneraient probablement à exister aussi à l’école sous forme de « lectures plaisir », de projets créatifs ou de jeux dissociés de toute nécessité d’apprentissage, de toute évaluation, et même de tout programme. Je développerai ce point plus en détails dans un chapitre ultérieur, lorsque j’exposerai mes travaux sur les contes mathématiques. Avant de discuter de la manière de les atteindre, une remarque sur ces trois objectifs. Ils sont tous orientés vers le public, mais chacun d’eux a un dual, orienté vers les mathématiciens et mettant en jeu les mêmes ressorts. Ces trois objectifs duaux apparaissent, sous une forme analogue, en première réponse à la question Why popularization ? de l’article d’Étienne Ghys. 1 ′ . Mieux comprendre ses propres connaissances en les expliquant clairement. En effet, l’exigence de clarté qu’implique une explication à un public non spécialiste oblige à une meilleure compréhension. Pour reprendre les mots de David Hilbert [31] : Une théorie mathématique ne peut être considérée complète que lorsque vous l’avez rendue assez claire pour pouvoir l’expliquer à l’homme de la rue. Car ce qui est clair et facile à comprendre nous attire et ce qui est compliqué nous repousse d . 2 ′ . Obtenir une reconnaissance de son activité professionnelle comme d’une activité utile et respectable. En effet, il y a parfois un décalage important entre la manière dont la plupart des mathématiciens voient leur métier et son utilité, et l’image que leur en renvoient parfois les gens qu’ils croisent : « Ah bon, il y a encore des choses à découvrir en mathématiques, on n’a pas déjà tout découvert depuis les Grecs anciens ? » 3 ′ . Enrichir sa vision du monde et sa pratique des mathématiques en profitant de ce que peuvent apporter les autres domaines de l’activité humaine. Par exemple, les sciences expérimentales fournissent aux mathématiciens une manière de comprendre le monde, les sciences humaines apportent des problèmes mathématiques pertinents, l’art offre aux mathématiciens un autre regard sur leur domaine, et leur donne également du matériel pour communiquer, etc. d. Ein alter französischer Mathematiker hat gesagt : Eine mathematische Theorie ist nicht eher als vollkommen anzusehen, als bis du sie so klar gemacht hast, daß du sie dem ersten Manne erklären könntest, den du auf der Straße triffst. Diese Klarheit und leichte Faßlichkeit, wie sie hier so drastisch für eine mathematische Theorie verlangt wird, möchte ich viel mehr von einem mathematischen Problem fordern, wenn dasselbe vollkommen sein soll; denn das Klare und leicht Faßliche zieht uns an, das Ver- wickelte schreckt uns ab. 

Les outils de la diffusion

Tout le monde s’accorde sur l’idée que, pour diffuser, il faut savoir expliquer, baliser, trouver les bons exemples, les bonnes images pour que le message soit clair et compréhensible. Tous ces savoirfaire constituent des outils très importants, et bien documentés – notamment par la didactique mais aussi par les nombreuses expériences et retours d’expériences de tous ceux qui y ont réfléchi et les ont mis en œuvre. Je n’ajouterai rien sur le sujet. Si l’importance de ces outils est indiscutable, leur maîtrise ne suffit pas à garantir une expérience de diffusion réussie. Il est assez évident que les trois objectifs énoncés plus haut mettent en jeu des émotions, tendent à faire sortir les mathématiques de leurs formats habituels (la conférence, le cours, l’atelier de résolution de problèmes), et qu’il est illusoire d’espérer atteindre n’importe lequel de ces objectifs sans utiliser ces deux outils e que sont : les émotionsf et les formats étrangers aux mathématiques. Avant d’examiner cela un peu plus en détail, nous souhaiterions ouvrir ici une petite parenthèse pour signaler d’autres approches de la diffusion des mathématiques qui s’intéressent également aux éléments non-mathématiques qui la constituent. Ici, nous parlerons principalement d’émotions et d’adaptation à d’autres formats – notamment artistiques – et n’aborderons pas, par exemple, l’approche « citoyenne » qu’on retrouve dans la plupart des travaux de François Sauvageot ou dans les Cafés de la statistique, approche qui invite chacun à se saisir des outils que proposent les mathématiques pour penser des questions de société. Ce texte n’est pas non plus une réflexion politique sur la diffusion scientifique, mais nous invitons le lecteur à consulter le manifeste (non spécifique aux mathématiques) porté en 2010 par le collectif Révoluscience [52], dont l’objectif est de « remettre en permanence en discussion les principes, parfois implicites, qui fondent la communication et la médiation scientifiques : comprendre les implications de ces principes et des discours portés, pour pouvoir ensuite choisir ». Fermons maintenant la parenthèse, et revenons au rôle nécessaire des émotions ou des formats étrangers aux mathématiques dans chacun des trois objectifs. Le troisième objectif, qui est de mettre en lien les mathématiques avec le reste de la culture, nécessite assez clairement de travailler avec des matériaux non-mathématiques, d’utiliser des langages et des standards propres au cinéma, à la littérature, au jeu, au débat citoyen, ou à un des mille autres champs de l’activité humaine. Passons au deuxième objectif : faire que les gens considèrent la science comme une activité utile et un choix d’orientation possible pour eux-mêmes. La meilleure manière d’atteindre cet objectif est de susciter du désir, ou au moins un sentiment d’inclusion, d’appartenance. Ceci nécessite évidemment de manipuler, consciemment ou non, un langage émotionnel. Enfin, et même si ce n’est pas apparent de prime abord, le premier objectif n’est lui non plus pas dénué de toute composante émotionnelle. Il est unanimement reconnu que la diffusion des mathématiques se heurte souvent à des blocages de la part du public qui sont de l’ordre émotionnel, et qui sont, pour beaucoup, issus du vécu scolaire. Pour citer encore une fois Jean-Pierre Kahane, Geoffrey Howson et Henry Pollak : Pour beaucoup de personnes, la relation aux mathématiques est régie par ce qui leur est arrivé à l’école. Les conséquences émotionnelles sont souvent considérables : de l’amour, de l’intérêt, de l’aversion, de la haine et, trop souvent, de la peur. (…) Étant donnée l’importance de la relation affective que les individus entretiennent avec les mathématiques, pouvons-nous convenir qu’un des objectifs de la diffusion doit être de créer une association mentale avec les mathématiques qui soit positive, chaque fois que la situation s’y prête g ? e. Nous utilisons dans ce texte le terme « outil » dans son acception figurée, qui ne suppose pas une fabrication humaine : Moyen ; ce qui permet d’obtenir un résultat, d’agir sur quelque chose. f. Nous adopterons une acception très large du terme « émotion », qui comprend les sentiments. g. Many people’s relationship to mathematics is governed by what happened to them in school. The affective consequences 

LES RÉTICENCES 

Ainsi, mêmes ceux qui ne s’intéresseraient qu’à ce premier objectif et souhaiteraient se concentrer exclusivement sur les mathématiques ne peuvent pas faire l’économie d’une compréhension minimale de quelques réalités émotionnelles, de la part du public, mais aussi les concernant, eux. Pour ne donner que quelques exemples dont nous reparlerons plus bas : comment s’adresser à des gens qui ont peur, si on ne prend pas en compte cette peur ? Comment être en phase avec son public, si on est soi-même préoccupé par la peur ne pas paraître assez intelligent ? En conclusion, participer à la diffusion mathématique, c’est certes expliquer simplement et clairement des idées mathématiques, par exemple lors d’une conférence, transmettre un savoir-faire, par exemple au moyen d’un atelier de fabrication d’un objet mathématique, ou proposer une expérience de la recherche, comme le fait par exemple Math.en.Jeans. Mais c’est aussi, nécessairement, susciter des émotions, et trouver d’autres langages pour parler des mathématiques.

 Les réticences

La reconnaissance du rôle de l’émotion dans la diffusion et de l’intérêt d’adapter des contenus mathématiques à d’autres standards que ceux des mathématiques se heurte à un certain nombre de réticences au sein de la communauté mathématique, que nous tenterons d’identifier. Le manque d’habitude et de formation. Il n’est pas dans les habitudes des mathématiciens de communiquer (et même considérer ?) leurs émotions dans le cadre de leur profession, d’où un manque d’aisance et un sentiment d’incongruité lorsqu’il s’agit de le faire, qui provoquent des réticences bien compréhensibles. Et lorsque le blocage ne se situe pas au niveau de l’envie ou de la pudeur, force est de constater que les mathématiciens ne sont pas équipés pour analyser les dynamiques émotionnelles qui sous-tendent leurs relations avec différents publics, ni pour les objectiver, ou les intégrer dans une quelconque méthodologie de la diffusion des mathématiques, et peut-être ne se sentent-ils pas la légitimité pour le faire. De même, travailler avec d’autres formats, faisant appel à d’autres types de sensibilités – par exemple, la sensibilité artistique – pour transmettre des mathématiques est a priori hors de leur domaine de compétence. Heureusement, ils ne sont pas seuls : ils peuvent profiter des travaux des sociologues, des psychologues, des neurologues, collaborer avec des professionnels de la communication, des artistes, et toutes les autres professions disposant des savoir-faire qui leur manquent. Mais ils ne peuvent pas se retirer complètement de ces chantiers : leur présence et leur contribution est nécessaire. « C’est pas des maths, c’est pas sérieux. » Une deuxième réticence, et probablement la plus grande, provient de la rigidité des standards qui façonnent notre vision de ce que sont les mathématiques, de comment on les pratique et de comment on en parle. En particulier, la place de choix qu’occupe dans ces standards la fameuse excellence tend à valoriser la complexité, la difficulté, la technicité des problèmes abordés, au détriment d’autres manières de pratiquer et de présenter les mathématiques qui seraient profitables à la diffusion des mathématiques – et sans doute aussi à la recherche mathématique, mais ça, c’est un autre débat ! La communauté mathématique ne rejette pas la diffusion dans son ensemble ; ses standards sont par exemple généralement en accord avec le premier des objectifs énoncés plus haut, qui sert même souvent de définition à la diffusion : faire de la diffusion, c’est expliquer ce qu’on fait, permettre au plus grand nombre d’accéder aux connaissances et à la compréhension qui sont les nôtres. Mais were often considerable : love, interest, dislike, hatred and, all too often, fear. (…) Given the importance of the affective relation of individuals with mathematics, can we agree that one purpose of popularization must be to create a favorable mental association with mathematics whenever and wherever it might arise ?  avec une définition aussi restreinte, on obtient une approche très technique de la diffusion, pour un résultat très vertical : nous vous transmettons nos connaissances, vous apprenez de nous. De même, une émotion évidente et assez bien acceptée est le plaisir : les mathématiciens ressentent du plaisir à faire ou apprendre des maths, et il est admis, et même valorisé, de transmettre, partager, faire ressentir ce plaisir. C’est bien, mais c’est limité, d’une part parce que l’activité mathématique peut apporter d’autres choses que du plaisir, et d’autre part parce que certaines personnes ne peuvent pas avoir accès à ce plaisir, notamment à cause de blocages, de préjugés sur leur propre capacité à faire des mathématiques qui les excluent d’emblée de l’activité mathématique et du plaisir qu’elle procure. Le mathématicien qui s’intéresse à la diffusion se trouve confronté à un dilemme : d’un côté il voit bien que ses pratiques ne lui permettent pas toujours d’atteindre ses objectifs, et qu’il doit radicalement changer son type de discours – à la fois sur la forme et le contenu – pour pouvoir s’adresser à toute une partie de la société, mais d’un autre côté il a du mal à accepter ce qui sort des standards de sa communauté, et tend à rejeter les approches de la diffusion qui prennent beaucoup de liberté vis-à-vis des formes ou du contenu mathématique h , en y objectant un récurrent « ce n’est pas des maths, ce n’est pas sérieux ». D’ailleurs, ce rejet est probablement plus souvent intériorisé sous forme d’auto-censure qu’exprimé contre le travail d’un autre. Cette réticence est puissante, contre-productive et difficile à contrer autrement qu’en prenant individuellement sa liberté, au prix peut-être d’une certaine perte de reconnaissance de la part de la communauté. Au sujet des standards de la communauté mathématique, nous ne résistons pas à l’envie de citer un extrait de la très tonifiante thèse de Piper Harron, thèse hautement non-standard dans laquelle elle défend le droit, notamment pour des personnes issues comme elle de minorités peu représentées dans le monde académique, de faire des mathématiques librement, sans discrimination et sans oppression de la part d’une culture et de standards dominés principalement par des hommes blancs cisgenres. Ces revendications ne sont pas notre propos ici, mais sa réflexion sur les standards qui structurent les mathématiques et la liberté qu’on peut, pourrait, devrait, doit parfois prendre vis-à-vis de ces standards résonne avec les questions qui nous occupent actuellement.A