Le modèle de Coleman et Noll

Approche fonctionnelle

Dans cette catégorie, on regroupe les modèles basés sur une représentation fonctionnelle des contraintes, de l’énergie libre et de l’entropie (c’est à dire qu’elles dépendent de l’histoire des déformations et de la température [SidorofT, 1975a]) en partant des modèles linéaires (Coleman et Noll [Coleman & Noll, 1961a]) pour arriver aux modèles non linéaires (Lockett [Lockett, 1972]). Nous évoquerons en­ suite la notion de temps réduit introduite par Schapery [Schapery, 1969] avant de terminer par le modèle de Christensen [Christensen, 1980] qui est une extension de l’hyperélasticité à la viscoélasticité. Pour supprimer la difficulté issue des grandes déformations, Green et Rivlin [Green & Rivlin, 1957], [Pipkin, 1964] ont superposé ces grandes déformations à de petites déformations, de telle sorte que la réponse globale du matériau puisse être considérée comme linéaire. Si les déformations sont suffisamment petites, le comportement peut être considéré comme linéaire, même si elles sont superposées à de grandes défor­ mations. Notons A cette grande déformation. Green et Rivlin expriment alors la loi de comportement, écrite en contrainte de Cauchy, en fonction de trois tenseurs, relatifs à la déformation A , qu’ils définissent ainsi:  En termes de A°(r) et B°(r), la relation développée à l’ordre 1 (1.2), écrite en contrainte de Cauchy, pour des petites déformations superposées à de grandes déformations dans un matériau initialement isotrope, prend la forme [Pipkin k Rivlin, 1961]: Toutefois, cette vision est limitée par le fait que la déformation doit être petite. Pour pallier à cet inconvénient, Coleman et Noll ont considéré la configuration actuelle comme étant la configuration de référence (approche eulérienne) pour décrire l’histoire de la déformation car, souvent, soit on ne connaît pas la confi guration de référence naturelle du matériau, soit il y a plusieurs états d’équilibre possibles sous contrainte nulle, soit la configuration naturelle n’est pas celle que l’on veut privilégier.

o Le modèle de Coleman et Noll

Au lieu d’introduire un gradient de transformation et un tenseur <ICgrandes déformations» définis par rapport à une grande déformation, Coleman et Noll [Coleman & Noll, 1961a] définissent une nouvelle mesure de déformation à partir du gradient relatif. Ils remplacent donc les relations (1.3) par: Lorsque l’on applique le modèle de Coleman et Noll aux matériaux isotropes, il est plus pratique de prendre la configuration de référence comme étant non déformée [Noll, 1958], [Truesdell h Noll, 1965]. La contrainte est alors détermi­ née par l’histoire de la déformation et par la déformation actuelle seulement, à condition que Ton choisisse comme mesure de déformation actuelle le tenseur B (ou V). Dans ce cas, les résultats issus de [Noll, 1958], [Truesdell k. Noll, 1965] montrent que les équations constitutives (1.8) et (1.9) se réduisent respectivement à: Dans la théorie de Green et Rivlin, la déformation stabilisée A peut être choisie de telle sorte que A(r) — A soit petite dans un intervalle de temps T suffisamment long précédent l’instant t où la contrainte est mesurée. Dans ce cas, la relation (1.5) est toujours applicable, que le matériau soit dans l’état stabilisé ou pas. En particulier, pour toute valeur de t, on peut choisir A_^ comme étant la valeur de A(T) à l’instant t, c’est à dire A = A_(f). Par conséquent, D_{T) = A(T) — A. est la différence entre l’histoire de déformation actuelle A(r) et l’histoire fictive d’une déformation stabilisée dans laquelle la déformation a toujours la valeur A(i). Avec ce choix de A. D_(r) dépend paramétriquement de t (à travers le choix A^ = A_(i)). On peut alors l’écrire D_(r; t), avec, par définition, D_(t;t) = 0. D_(r\t) peut être petit dans un long intervalle (en r) précédant t. C’est en particulier le cas lorsque la déformation varie suffisamment lentement. Si on choisit x®(Xp) comme étant les coordonnées des particules Xp à l’instant de t, mais ne sont pas des fonctions de r. Avec ce choix de :r°, la déformation relative A°(r) de la relation (1.3) doit être notée A°(r; f) et est égale au tenseur de Green-Lagrange A(T; t) et le tenseur des dilatations gauche relatif B_° de la relation (1.3) doit être noté B(i), tenseur des dilatations gauche (non relatif).