Le maillage

Le maillage n’a pas seulement un intérêt en calcul scientifique. Le maillage est un « support » de représentation tridimensionnel utilisé par exemple dans les jeux vidéo ainsi que dans les animations 3D. Dans ce dernier cas, on s’intéresse à la qualité du maillage en lien avec la qualité de rendu de l’image générée lorsque l’on applique une texture sur le maillage. On s’intéresse également à comment « faire bouger » le maillage pour qu’un personnage n’apparaissent pas distordu pendant une animation… L’opération de maillage peut se faire à partir de plusieurs données : — soit à partir de données à utiliser pour la discrétisation : sommets, arêtes… — soit à partir de données de type CAO décrivant uniquement les entités géométriques. Nous nous contenterons de présenter quelques outils de maillage relatifs au premier cas, i.e. lorsque nous disposons de points, arêtes… mais le second cas n’est pas vraiment plus compliqué. Les méthodes de construction de maillage sont essentiellement : — Maillage par triangles/tétraèdres : — Méthodes utilisant le critère de Delaunay : les bases de la méthode seront exposées au paragraphe 14.1 ; — Méthodes par avancement de fronts : le principe en sera détaillé au paragraphe 14.2 ; — Méthodes par décomposition spatiale ; — Maillage par quadrangles/hexaèdres : quelques remarques seront faites au paragraphe 14.4 — Maillage par avancement de fronts ; — Maillage par décomposition en domaines. Parfois, il ne s’agit pas de mailler un domaine, mais de le remailler. Les méthodes d’adaptation de maillage les plus connues sont : — Raffinement ; — Transformation des éléments ; — Déplacements de nœuds ; — Simplification de maillage. L’utilisation de différentes méthodes est illustré à la figure 14.1 issue de [https://www.clicours.com/]

Maillage de Delaunay

Maillage simplexial

L’opération de maillage consiste à discrétiser un domaine (i.e. un milieu continu ou plutôt sa modélisation géométrique) par des éléments (éléments finis nous concernant), si possible bien proportionnés : au paragraphe 10.3, nous avons déjà présenté les dimensions géométriques représentatives d’un maillage que sont le diamètre maximum des éléments h et le facteur de forme du maillage , ainsi que le diamètre hK d’un élément K et sa rondeur K. Ces deux derniers paramètres sont représentés sur la figure 10.2. Dans ce chapitre, nous traiterons du cas bidimensionnel. Nous expliquerons les bases théoriques, mais ne rentrerons pas dans les détails pratiques de la programmation d’algorithmes de maillage (il y a de très bons cours disponibles sur le sujet). Dans la suite nous aurons besoin des notions suivantes : — un segment fermé (resp. ouvert) d’extrémités a et b de R d est noté Œa; b (resp. a; bŒ) ; — un convexe E est un ensemble tel que : 8.a I b/ 2 E2 ; Œa; b  E ; — le convexifié d’un ensemble E de points de R d , noté C.E/ est le plus petit convexe contenent E. — un domaine  (i.e. un ouvert de R d ) est dit polygonal si son bord € D @ est formé d’un nombre fini de segments ; — un n-simplex .x0; :::; xn/ est le convexifié des n C 1 points de R d affine indépendant. Cela implique que n 6 d. Les sommets sont des 0-simplex, un segment est un 1-simplex, un triangle un 2-simplex, un tétraèdre est un 3-simplex. Définition 64 — Maillage simplexial. Un maillage simplexial Td;h d’un ouvert polygonal h de R d est un ensemble de d-simplex Kk de R d pour k D 1:::Nt , tel que l’intersection de deux d-simplex distincts K i et K j de Td;h soit l’ensemble vide ou le p-simplex commun à K i et K j avec p 6 d. En termes plus simples : le maillage Td;h est constitué de Nt éléments Kk (k D 1:::Nt) appelés d-simplex (qui sont des triangles pour d D 2 et des tétraèdres pour d D 3) tels que l’intersection (de l’adhérence) de deux éléments K i et K j soit soit nulles (éléments parfaitement séparés), soit un point, une arête ou une face (i.e. un p-simplex avec p 6 d) commun aux deux éléments. On notera T0;h l’ensemble des sommets de Td;h, T1;h l’ensemble de ses arêtes et Td. Les sommets de ce maillage sont les points anguleux du bord @h. Malheureusement ce théorème n’est plus vrai en dimension plus grande que 2, car il existe des configurations d’ouvert polyédrique non-convexe qu’il est impossible de mailler sans point interne.

Maillage de Delaunay-Voronoï

Dans le cas général, la construction d’un maillage nécessite de connaître : — un ensemble de points S ; — un ensemble d’arêtes A définissant le maillage de la frontière des sous-domaines. — un ensemble, qui peut être vide, de sous-domaines D à mailler. Bien que les diagrammes de Voronoï existent en dimension quelconque, nous ne les présentons qu’en dimension 2.