Le formalisme d’état modal

Le formalisme d’état modal que nous utilisons de manière presque exclusive dans cette thèse va être résumé dans ce chapitre. H s’agit surtout d’éclairer le lecteur pour lequel la méthode d’analyse modale n’est pas familière. En particulier, il n’est pas question de redémontrer les propriétés fondamentales sur lesquelles repose ce formalisme. Le lecteur soucieux de comprendre les preuves mathématiques des résultats peut se référer à plusieurs travaux antérieurs [60][58][41][39][7][8]. Quant au lecteur qui connaît déjà l’analyse modale, il peut passer directement au chapitre suivant où sont résumés les principales méthodes de réduction de modèles d’état. Notre travail dans cette thèse repose sur l’hypothèse de posséder un modèle d’état modal suffisamment détaillé. Par suffisamment détaillé, nous entendons une bonne représentativité du comportement thermique du système par le modèle modal. Cette hypothèse permet de nous affranchir de la manière dont a été construit initialement le modèle, notamment la méthode de discrétisation qui est le plus souvent nécessaire. Néanmoins, les systèmes ther­ miques auxquels s’appliquent nos résultats doivent vérifier trois conditions: la linéarité, l’invariance (ou la stationnarité structurelle) et la réciprocité. Aussi, nous donnons la signification de ces conditions:

Linéarité

Tout échange d’énergie à l’intérieur d’un domaine spatial V ou avec son milieu en­ vironnant, est supposé linéaire ou linéarisé. C’est une hypothèse raisonnable pour de nombreux systèmes qui ne sont pas le siège de gradients thermiques forts. Le bâtiment constitue un bon exemple où cette approximation est admise et donne des résultats satisfaisants. EUe est vraie pour la conduction et est admise pour la con­ vection et le rayonnement. En l’état actuel, cette hypothèse reste nécessaire pour l’exploitation du principe de superposition [30] utilisé également dans le formalisme d’état modal. Les paramètres thermophysiques intervenant dans les équations mathématiques sont supposés être indépendants du temps et donc a fortiori de la température. Cette restriction est largement acceptée. Un système thermique invariant tend vers un régime asymptotique lorsqu’il est soumis à des excitations constantes dans îe temps. Du point de vue formel, l’invariance permet d’obtenir un problème aux valeurs pro­ pres [18] dont la résolution ne dépend que de l’espace. On dit que les échanges thermiques sont réciproques [39] si à tout instant, l’inversion des températures entre deux points quelconques du système entraîne celle du flux transféré entre ces deux points, le flux gardant la même valeur absolue. On vérifie facilement que les transferts thermiques par conduction, convection (linéarisée au moyen d’un coefficient d’échange) et rayonnement sont réciproques. D n’en est pas ainsi pour le transport d’énergie par transfert de masse (enthalpie). C’est par exemple le cas des systèmes à caloporteurs où les forces de pression sont la cause du transport d’énergie. La réciprocité exige donc que les échanges d’énergie résultent d’un écart de température. Elle entraîne la symétrie des équations d’échange, conduisant à un problème aux valeurs propres [2][39] à solutions réelles.

En vérité, le formalisme d’état modal a été généralisé par El Klioury [39] aux systèmes thermiques non-réciproques. Les solutions du problème aux valeurs propres obtenues sont à valeurs complexes. Bien que les systèmes thermiques non-réciproques ne fassent pas vraiment partie du travail rédigé dans ce rapport, nous les évoquerons parmi nos perspectives visant à généraliser ultérieurement notre travail. On peut également citer quelques démaiches montrant la possibilité d’étendre le formal­ isme d’état modal pour résoudre des problèmes thermiques non-linéaires. L’idée admise repose sur le fait que les paramètres thermophysiques peuvent être considérés constants par pas de temps. On obtient alors un modèle d’état modal pour chaque pas de temps. Cependant, on montre [43] que dans le cas de faibles non-linéarités, les modèles modaux associés aux différents pas de temps ne sont pas très différents. Ceci permet de réduire le nombre de modèles modaux en considérant des pas de temps assez grands. Neveu [50] aboutit à un résultat similaire en montrant formellement qu’une faible perturbation (par variation des paramètres physiques) appliquée à un modèle modal, ne modifie pas no­ tablement le caractère découplé de ce dernier. Signalons aussi une autre démarche sur le domaine du non linéaire qui s’inspire des techniques dites d’approche systémique [32][33]. Elle consiste à subdiviser le système thermique en plusieurs composants pouvant être in­ dividuellement décrits par des modèles linéaires. Les composants sont ensuite assemblés par des équations de couplage où sont introduites les non-linéarités.