Le formalisme de la géométrie non commutative

Introduction L’introduction des coordonnées non commutatives peut conduire ‡ des modifications importantes ‡ la mécanique quantique. Dans ce chapitre nous nous intéressons ‡ la formulation et ‡ l’interprétation de la théorie quantique non commutative. Nous commençons d’abord par la présentation de la quantification de Weyl et le produit de Moyal pour réduire le formalisme des opérateurs non commutatifs au formalisme ordinaire. Ensuite nous exposons les deux formulations de la théorie quantique non commutative. Il s’agit du décalage de Bopp et les cartes de de Seiberg-Witten. Notre intention est avant tout d’examiner la distinction entre ces formulations mathématiques et de discuter brièvement ensuite de l’incidence que cela peut avoir sur les interprétations conceptuelles. 4.2 L’opérateur de Weyl Nous définissons un espace non commutatif comme décrit dans l’introduction en remplaçant les coordonnées locales x  de R D par des opérateurs hermitiens x^  obéissant aux relations de commutation .Les x^  génèrent alors une algèbre non commutative d’opérateurs. La quantification sous l’hypothèse d’une géométrie non commutative peut ‘tre étendue des coordonnées elles-m’mes ‡ l’algèbre des fonctions f(x) en utilisant la quantification de Weyl. La quantification de Weyl fournit une correspondance entre l’algèbre des champs sur R D et cet algèbre d’opérateurs. Considérons l’algèbre commutative des fonctions définies sur l’espace euclidien R D de dimension D, avec un produit défini par la multiplication habituelle des fonctions. Ce que l’on recherche est une application W qui assigne ‡ chaque élément f(x) dans l’algèbre des fonctions A un opérateur hermitien W^ [f] dans l’algèbre des opérateurs A^. On fait cela en choisissant une base appropriée pour les éléments de chaque algèbre et ensuite les identifie les uns avec les autres. Le choix le plus courant consiste ‡ utiliser une décomposition de Fourier de la fonction f(x) 

 Le produit « ? » de Moyal

Le produit star est un moyen particulièrement utile pour gérer les géométries non commutatives, car on peut continuer ‡ travailler avec des fonctions ordinaires, il su¢ t de garder ‡ l’esprit qu’elles obéissent ‡ une règle de produit modifiée dans l’algèbre. Avec cela, on peut construire des théories quantiques non commutatives des champs en remplaçant les produits normaux des champs dans le Lagrangien par les produits star. Nous pouvons étendre cet isomorphisme entre les espaces vectoriels ‡ un isomorphisme entre les algèbe en construisant un nouveau produit, noté ?, qui respecte l’application W,

Transformations de Seiberg-Witten

Les cartes de Seiberg-Witten ont été découvertes pour la première fois par Nathan Seiberg et Edward Witten dans le contexte de la théorie des cordes et la géométrie non commutative. Ils ont considéré que la théorie de jauge ordinaire devrait ‘tre équivalente ‡ une théorie de champ de Yang-Mills non commutative. Ils ont introduit une correspondance entre une théorie de jauge non commutative et une théorie de jauge ordinaire. De plus, ils ont montré que la carte de Seiberg-Witten pouvait ‘tre interprétée comme un développement du champ de jauge non commutative en . Dans ce paragraphe, nous rappelons brièvement la méthode de Seiberg-Witten, les détails étant donnés dans [44]. Prenons un espace plat Minkowski, sur lequel les coordonnées sont 4.5 Transformations de Seiberg-Witten 44 considérées comme des opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, satisfaisant l’algèbre (4.28) Partons de la transformation de jauge ordinaire.

Création des particules dans un espace non commutatif 

Le décalage de Bopp 5.1 Introduction Le but principal de ce chapitre est d’étudier la création des particules ‡ partir du vide par un champ électrique dans un espace non commutatif en considérant la méthode canonique basées sur les transformations de Bogoliubov reliant les états « in » et « out ». Cette méthode consiste d’abord ‡ déterminer les états « in » et « out » solutions ‡ l’équation de Klein Gordon (ou de Dirac pour les particules de spin 1 2 ) et d’e§ectuer ensuite la transformation de Bogoliubov pour extraire de ses coe¢ cients la probabilité de création des particules et le nombre des particules crées. Pour écrire la version non commutative de l’équation (d’onde), nous utilisons le décalage de Bopp. Comme il a été mentionné dans le premier chapitre le problème de la création de particules de Dirac est déj‡ étudié dans la référence [16]. Nous allons donc reproduire ses résultat afin de les confirmer. Avant de considérer le problème de la création des particules nous considérons d’abord l’équation de Klein Gordon en présence d’un champ magnétique résultante de l’application du décalage de Bopp. Ce problème peut se réduire en mécanique quantique ordinaire ‡ l’équation de Schrˆdinger pour un oscillateur harmonique. Ensuite, nous nous intéressons ‡ la création des particules scalaires en présence d’un champ électromagnétique. En dernière étape, nous considérons l’équation de Dirac non commutative pour étudier la création des particules de spin 1 2 .