Le cas PUNQ (Production forecasting with UNcertainty Quantification)

Description des deux modèles de réservoir

Le cas PUNQ

Le cas PUNQ (Production forecasting with UNcertainty Quantification) est issu d’une étude de terrain réalisée par les partenaires industriels du projet PUNQ. Il est considéré comme un model de réservoir industriel de petite taille représentatif de la réalité du terrain. Le modèle est constitué de 19x25x5 mailles dont 1761 sont actives. Le réservoir modélisé est borné par une faille à l’est et au sud et par un aquifère au nord et à l’ouest. Six puits producteurs (PRO-1 à PRO-6) ainsi que sept puits injecteurs (INJ-1 à INJ-7) ont été forés. La carte de perméabilités de la couche supérieure du modèle de réservoir contenant les emplacements des puits est présentée en figure 3.1. Les cartes de perméabilités et porosités ont été générées à l’aide du code FFTSIM 1 qui applique la méthode géostatistique “Fast Fourier Transform Moving Average”..

Ces cartes ont été générées indépendamment pour chacune des 5 couches du réservoir, les paramètres géostatistiques tels que la moyenne, la variance et les variogrammes sont choisis de façon à respecter au mieux le modèle géologique. Avec une réalisation de ce modèle géostatistique, un historique synthétique de production est généré sur 12 années à l’aide du simulateur PUMA-flow 2 . On définit la fonction objectif comme les sommes aux moindres carrés des historiques d’écart de production avec la réalisation de référence sur chaque puits producteur des données BHFP (Bottom Hole Flowing Pressure), WC (Water Cut) et GOR (Gas-Oil Ratio) et sur chaque puits injecteur des données BHFP. Dans une optique de calage d’historique, on va chercher à minimiser cette fonction objectif. 

Le cas Brugge 

Le cas Brugge est un modèle de réservoir synthétique construit en 2008 pour la conférence “Applied Technology Workshop” [81, 82]. Le modèle original possède 20 millions de mailles de taille moyenne 50m x 50m x 0.25m. On travaille dans ces tests sur une version mise à l’échelle (“upscaled”) du modèle avec 60 000 mailles. Il comprend 30 puits sur le réservoir, 10 injecteurs et 20 producteurs. L’historique de production a été généré grâce au simulateur d’écoulement PUMA-flow sur des cartes de perméabilité et de porosité de référence. La figure 3.2 montre la carte de perméabilité de la première couche de la réalisation du modèle de référence. Nous disposons des données de production sur 10 ans. La fonction objectif d’écart avec la réalisation de référence est définie comme l’écart au sens des moindres carrés des historiques de production sur chaque puits producteur des données BHFP (Bottom Hole Flowing Pressure) et WC (Water Cut) et sur chaque puits injecteur des données BHFP.

Résultats numériques sur les méthodes de paramétrisation 

Rappel de la méthodologie 

On rappelle la méthodologie utilisée pour générer la réalisation de modèle initiale et définir les paramètres du problème de calage d’historique (voir chapitre 1). La méthode de patchwork améliorée est décrite comme suit : 1. Générer N + 1 réalisations de modèle (Z0, …, ZN ). 2. Appeler Z0 le bruit blanc Gaussien associé à la réalisation de modèle présentant la plus faible valeur de fonction objectif. 3. Pour chaque puits i : — trier les valeurs des fonctions objectifs locales fi(Zj ). Soit Zji le bruit blanc Gaussien tel que fi(Zji ) soit minimale, — si fi(Z0) > αF(Z0) et fi(Zji ) < fi(Z0), avec 0 < α < 1 une constante fixée au préalable, définir un zone paramétrée centrée autour du puits i et appliquer Zji à l’intérieur. La zone peut par exemple être circulaire et paramétrée par son seul rayon r. 4.

Effectuer une optimisation simple avec un unique paramètre contrôlant la taille de toutes les zones. Dans le cas de zones circulaires, on peut optimiser la taille des zones avec un unique paramètre de rayon. Avec les zones ainsi créées, on peut tester plusieurs variantes de la méthode de déformation graduelle locale généralisée. (i) Dans la première, on introduit pour chaque zone un paramètre de déformation graduelle locale et un paramètre contrôlant la forme de la zone. (ii) Dans la seconde, on introduit toujours un paramètre de déformation graduelle locale pour chaque zone mais on n’introduit qu’un unique paramètre contrôlant simultanément la forme de toutes les zones. (iii) Dans la troisième, les zones gardent leur forme initiale.

Les seuls paramètres introduits sont alors ceux introduits par la méthode de déformation graduelle locale (un par zone).Sur les deux cas testés, les zones créées sont des cercles de centre fixe et sont donc paramétrées par leur seul rayon. Dans le cas Brugge, les longueurs de corrélation de toutes les couches du réservoir sont isotropes (1000m dans les directions x et y), des zones circulaires sont donc bien adaptées au problème.

Une certaine anisotropie est présente dans le cas PUNQ, mais chaque couche du réservoir présente un axe d’anisotropie différent : les azimuts sont respectivement de 30, 0, 45, -30 et 60 degrés par rapport à l’axe principal pour les cinq couches du réservoir. Il semble donc difficile de prendre en compte de façon efficace cette anisotropie à travers la forme des zones, c’est pourquoi des zones circulaires semblent aussi pouvoir convenir dans ce cas. Les longueurs de corrélations dans la direction principale d’anisotropie pour le cas PUNQ sont respectivement de 1001m, 750m, 1500m, 750m et 1250m dans les cinq couches du réservoir. Ces différences peuvent amener à penser que pour une zone donnée, considérer un unique rayon pour les cinq couches du réservoir pourrait poser problème. Cependant, les résultats numériques présentés ultérieurement montrent que ce n’est pas le cas.

 Le cas PUNQ 

Initialisation

 Pour pouvoir appliquer la méthodologie de patchwork améliorée, nous avons généré 11 réalisations aléatoires et indépendantes du modèle de réservoir. Les valeurs des fonctions objectif locales peuvent être trouvées dans le tableau 3.1. L’application de la méthodologie de patchwork améliorée nous fait choisir Z0 en réalisation de base (fonction objectif à 649.92). De même, 9 zones circulaires sont créées autour des puits PRO-1, PRO-3, PRO-4, PRO-5, PRO-6, INJ-2, INJ-3, INJ-5 et INJ-7 (voir figure 3.3).On montre en figure 3.4 les variations de la fonction objectif en fonction de la taille des zones. On peut voir sur cette figure que choisir arbitrairement un rayon peut dégrader fortement la fonction objectif par rapport à la réalisation de base. Le choix d’un rayon de 720m pour toutes les zones ferait par exemple passer la fonction objectif de 649.92 à 828.20 alors que des rayons de 450m diminueraient la fonction objectif jusqu’à 572.58.

Cependant, comme la fonction objectif varie de façon régulière avec le rayon des zones, on peut facilement trouver la valeur optimale du rayon avec un algorithme d’optimisation quelconque. La méthode d’optimisation SQPAL [33, 34] avec l’option Gauss-Newton donne pour optimum R = 365.4m en sept évaluations de la fonction objectifs. Pour cette valeur de R la fonction objectif est égale à 502.032. Dans ce cas, il est donc possible de réduire la fonction objectif de plus de 22% pendant le processus de paramétrisation du problème. Pour comparer la méthode de patchwork améliorée avec la méthode de patchwork classique utilisée en ingénierie de réservoir, un découpage du réservoir en zones délimitées par les mailles a été effectué (le découpage est présenté en figure 3.5).

La réalisation de modèle correspondant au patchwork classique a alors été générée en considérant la même répartition des réalisations que précédemment : on associe la réalisation associée à Z0 à l’extérieur des zones et la meilleure réalisation locale à l’intérieur des zones. Après simulation de l’historique de production sur ce modèle, il s’avère que cette méthode détériore la fonction objectif. La fonction objectif passe en effet de 649.92 pour la réalisation associée à Z0 à 851.12 pour la réalisation correspondant au patchwork classique. Ce résultat souligne l’importance de l’optimisation préliminaire de la forme des zones (étape 5 de la méthodologie de patchwork améliorée). Lorsque les zones ne sont pas parfaitement choisies, la fonction objectif dépend fortement de la taille des zones. Il est donc fréquent de choisir un mauvais point initial si on ignore toute considération sur la forme des zones.

Déformation graduelle généralisée 

On commence par comparer la méthode de déformation graduelle généralisée avec la méthode de déformation graduelle locale classique. Pour cela, la réalisation de modèle obtenue par patchwork classique sur le découpage présenté en figure 3.5 étant moins bonne que la réalisation de base, on choisit comme réalisation initiale la réalisation de base et on introduit un paramètre de déformation graduelle pour chacune des zones créées précédemment. On présente en figure 3.6 le résultat des optimisations réalisées avec l’algorithme sans dérivées SQA [63] (algorithme dans dérivées proche de la méthode NEWUOA de Powell décrite dans l’algorithme 6 au chapitre 2). En bleu se trouve l’optimisation réalisée par déformation graduelle classique et en rouge celle réalisée par déformation graduelle généralisée.

Dans ce cas, on a utilisé la variante de la déformation graduelle généralisée avec un unique paramètre de rayon. L’optimisation débute pour les deux méthodes avec le modèle correspondant à la réalisation de base (meilleure parmi les dix générées initialement). La première marche qu’on peut observer sur la courbe de déformation graduelle généralisée correspond à l’optimisation initiale de la taille des zones et illustre le fait qu’on a besoin de sept évaluations de la fonction objectif pour trouver un meilleur point de départ. La méthode de déformation graduelle généralisée donne un bien meilleur résultat que la méthode classique : la valeur de la fonction objectif du modèle obtenu par déformation graduelle généralisée présente un gain relatif de plus de 48% sur la méthode de déformation graduelle classique.