Le caractère Fredholm de l’opérateur Lα,s,r

On est maintenant en mesure de prouver le résultat essentiel de ce chapitre : Lα,s,r est un opérateur de Fredholm d’indice zéro. Nous calculerons une base du noyau de cet opérateur (aux valeurs critiques des paramètres (α, s, r) = (αc, sc, rc)), ce qui nous permettra d’utiliser par la suite la réduction de Liapunov-Schmidt pour l’équation (2.5) (forme opérationnelle du problème stationnaire). Théorème 2.7.1: L’opérateur Lαc,sc,rc est un opérateur de Fredholm d’indice zéro. Preuve Rappelons que Lα,s,r = −∆sr(∆sr + αI). Puisque ∆sr et (∆sr+αI) sont des opérateurs de Fredholm d’indice zéro d’après la proposition 2.6.4, le résultat du théorème découle immédiatement de la proposition 1.2.5 (voir [18, Th. 2.5, p.264]). 

Le noyau de Lαc,sc,rc

Puisque Lαc,sc,rc est un opérateur de Fredholm (d’indice zéro), il possède un noyau de dimension finie. Pour effectuer les calculs nécessaires dans notre 2. Formulation opérationnelle du problème 45 analyse, issue de la décomposition de Liapunov-Schmidt, on a besoin d’une base du noyau de Lαc,sc,rc . Pour déterminer une telle base, on procèdera en utilisant des développements en modes de Fourier dans H. Proposition 2.7.2: L’opérateur Lαc,sc,rc possède dans H, un noyau engendré par les vecteurs w1, w2, w3, w4, définis par w1 = cos(X + Y ), w2 = sin(X + Y ), w3 = cos(X − Y ), w4 = sin(X − Y ). Preuve Le calcul de Ker(Lαc,sc,rc ) noyau de Lαc,sc,rc se fera directement par la résolution de l’équation linéaire Lαc,sc,rc (U) = 0, (2.18) en utilisant un développement de U en série de Fourier. Rappelons que (αc, sc, rc) = (2, 1, 1), donc Lαc,sc,rc (U) = − 

REDUCTION DU PROBLEME  STATIONNAIRE

Dans l’analyse fonctionnelle non linéaire, il existe plusieurs méthodes pour étudier l’existence des solutions de problèmes stationnaires. Parmi les plus importante, on peut citer la théorie du degré topologique [32, 34, 49], la théorie du point fixe [26, 33, 39], et la théorie de la bifurcation, dans laquelle on dispose de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt, voir [2, 30, 20, 35, 44]. Nous étudions l’existence de solutions stationnaires spatialement périodiques du problème (1.1), lequel est reformulé dans le chapitre précédent, comme équation opérationnelle (2.5), dans le cadre fonctionnel défini précédemment. Dans ce chapitre nous allons montrer, que ce problème se réduit `a une équation algébrique en dimension finie, qu’on déterminera. Nous commen¸cons par une brève déscription de cette méthode d’analyse locale, voir [1, 20]. Cet outil de la théorie de la bifurcation, est essentiel dans ce chapitre, aussi bien du point de vue théorique pour montrer l’existence des structures stationnaires, que du point de vue pratique pour le calcul de ces structures.

Réduction du problème stationnaire 

Déscription de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt Considérons le problème suivant : L(U) + Nµ(U) = 0 (3.1) o`u L est un opérateur linéaire (non borné) fermé défini sur un domaine D(L) dense dans un espace de Hilbert H, µ un paramètre dans R m, et Nµ une application non linéaire assez régulière de D(L) vers H, telle que kNµ(U)k = O(kUkD(L) (kµk + kUkD(L) )) avec N0(0) = 0. Supposons aussi, que L est un opérateur de Fredholm d’indice zéro selon la définition 1.2.1. Un tel opérateur L possède un noyau X = ker(L) de dimension (supposons par exemple) égale `a n ∈ N et une image Y = R(L) fermée dans H de codimension égale aussi `a n. Ainsi il existe deux projections continues P : H −→ H avec P(H) = X , et Q : H −→ H avec Q(H) = Y. De plus, en posant Z = (I − P)(X ) o`u I est l’application identité sur H, la restriction de l’opérateur linéaire L au sous-espace Z ∩ D(L), réalise une bijection entre Z ∩ D(L) et Y. Lorsque l’opérateur L est auto-adjoint (ce qui est notre cas dans la suite), P est la projection orthogonale sur ker(L) parallèlement `a R(L). Ainsi, en prenant 3. Réduction du problème stationnaire 50 Q = (I − P), l’espace H se décompose en une somme directe comme suit H = ker(L) ⊕ R(L). Donc toute solution U du problème (3.1) dans H, peut ˆetre étudiée selon la décomposition suivante U = U0 + U1 avec U0 = P(U) ∈ ker(L) et U1 = (I − P)(U) ∈ R(L). Ainsi le problème (3.1) est équivalent `a    P(Nµ(U0 + U1)) = 0 (a) L(U1) + (I − P)(Nµ(U0 + U1)) = 0 (b) (3.2) L’inverse de la restriction de l’opérateur L au sous-espace Z ∩ D(L) étant un opérateur borné de Y sur Z ∩D(L), grace au théorème de la fonction implicite, la seconde équation dans (3.2) peut ˆetre résolue localement (au voisinage de (µ, U0) = (0, 0)) pour U1 = U(µ, U0). En introduisant U1 = U dans la première équation de (3.2), on obtient ce qu’on appelle (en théorie de la bifurcation), l’équation de bifurcation, qui caractérise les éléments U0 de ker(L) correspondant `a une solution de (3.1