La théorie des opérateurs monotones

Méthodes d’éclatement basées sur les distances de Bregman pour les inclusions monotones composites et l’optimisation

Inclusions monotones

La théorie des opérateurs monotones a émergé au début des années 1960 comme une branche bien structurée de l’analyse non linéaire  et elle reste très active . L’une des raisons principales du succès de la théorie est qu’un nombre considérable de problèmes dans divers domaines (par exemple, l’optimisation, l’économie, les inégalités variationnelles, les équations aux dérivées partielles, la mécanique, le traitement d’images et du signal, le transport optimal, l’apprentissage automatique, la théorie des jeux, et la théorie du trafic) peut être réduit à la résolution du problème d’inclusion monotone suivant. Problème 1.1 Soit X un espace de Banach réel réflexif, soit X ∗ le dual topologique de X , et soit M : X → 2 X∗ maximalement monotone. Le problème est de trouver x ∈ X tel que 0 ∈ Mx. (1.1) L ’ensemble des solution de (1.1) est noté zer M. Une spécialisation du Problème 1.1 est le problème de minimisation convexe suivant. Problème 1.2 Soit X un espace de Banach réel réflexif, soit X ∗ le dual topologique de X , et soit ϕ ∈ Γ0(X ). Le problème est de minimiser x∈X ϕ(x). (1.2) Un objectif de la théorie des opérateurs monotones et de l’optimisation est de concevoir des méthodes itératives qui engendrent des suites convergeant vers une solution du Problème 1.1 ou du Problème 1.2. 1 1.1.1 Méthode proximale Dans le cadre d’espaces hilbertiens, une méthode classique pour résoudre le Problème 1.1 est l’algorithme du point proximal. Théorème 1.3 [23] et [12, Theorem 23.41] Dans le Problème 1.1, supposons que X soit un espace hilbertien réel et que zer M 6= ∅. Soit x0 ∈ X et soit (γn)n∈N ∈ ]0, +∞[ N P telle que n∈N γ 2 n = +∞. Alors la suite (xn)n∈N engendrée par l’algorithme.

Méthodes d’éclatement d’opérateurs monotones

Le principal inconvénient de l’algorithme (1.12) est qu’en général les opérateurs (R f γnM)n∈N sont difficile, voire impossible, à évaluer. Par exemple lorsque M = A+L ∗BL où A: X → 2 X∗ et B : Y → 2 Y∗ sont monotones et L: X → Y est linéaire, une bonne méthode itérative devrait exploiter la structure de M et utiliser ces opérateurs séparément. Une telle méthode s’appelle une méthode d’éclatement d’opérateurs. Le problème générique est le suivant. Problème 1.7 Soient X et Y des espaces de Banach réels réflexifs, soient X ∗ et Y ∗ les duaux topologiques de X et Y, respectivement, soient A: X → 2 X∗ et B : Y → 2 Y∗ maximalement monotones, et soit L ∈ B (X , Y). Considérons l’inclusion primale trouver x ∈ X tel que 0 ∈ Ax + L ∗B(Lx), (1.15) et l’inclusion duale .Les ensembles des solutions du Problème (1.15) et du Problème (1.16) sont notés P et D, respectivement. De nombreuses méthodes d’éclatement existent dans le cadre des espaces hilbertiens où l’on compte deux types de méthodes : • Les méthodes classiques pour résoudre le problème primal sans composition 0 ∈ Ax + Bx : algorithme explicite-implicite [55], algorithme de Douglas-Rachford [50], algorithme de Peaceman-Rachford [50], algorithme doublement implicite [49, 55], le méthode de l’inverse partiel de Spingarn [61] ; voir aussi [12]. • Les méthodes dites «primales-duales» pour résoudre le Problème 1.7 : [1, 2, 3, 17, 18, 24, 34, 36, 62]. Dans la suite, nous rappelons des résultats récents concernant des méthodes d’éclatement dans des espaces hilbertiens qui vont servir de base à certains travaux de la thèse. Dans [38], les auteurs construisent une extension de l’algorithme explicite-implicite classique où la métrique est autorisée à varier à chaque itération.

Objectifs et motivations

Dans cette thèse, nous proposons des méthodes d’éclatement pour résoudre l’inclusion monotone composite primale-duale ci-après. Dans le cadre hilbertien, des algorithmes pour résoudre ce type de problème ont été introduits dans [24] et divers raffinements et extensions ont depuis été proposés [1, 2, 17, 36, 38]. Cependant, une inclusion monotone du type (1.1) est importante non seulement dans le cadre d’espaces hilbertiens mais aussi dans le cadre d’espaces de Banach réels. On trouve par exemple ce problème dans la théorie des équations aux dérivées partielles non-linéaires [25, 48, 26, 59, 66], dans le calcul des variations [27], en automatique [5], et en optimisation [16, 64] dans des espaces de Banach non-hilbertiens tels que les espaces de Lebesgue L p (R m), les espaces de Sobolev Wp (R m), les espaces de Besov Bs p,q(R m) [66]. La théorie des opérateurs monotones non-linéaires dans des espaces de Banach réels demeure très active [6, 15, 16, 41, 60, 66]. 

Organisation

Au Chapitre 2, nous proposons un algorithme pour résoudre le Problème 1.13 en trouvant dans Z la meilleure approximation pour une distance de Bregman d’un point de référence. Au Chapitre 3, nous étudions des variantes de l’algorithme du Chapitre 2 en utilisant les distances de Bregman en présence d’erreurs. Au Chapitre 4, nous présentons un algorithme pour résoudre le Problème 1.13 en trouvant un point dans Z par les approximations bregmaniennes successives. Au Chapitre 5, nous introduisons la notion de suites quasi-monotones au sens de Bregman et nous analysons leur comportement asymptotique. Nous appliquons ces résultats pour analyser le comportement asymptotique d’un algorithme du point proximal basé sur des distances de Bregman variables et d’un algorithme pour résoudre les problèmes d’admisibilité convexe dans des espaces de Banach réels réflexifs. Au Chapitre 6, nous proposons une version de l’algorithme explicite-implicite dans des espaces de Banach réels réflexifs pour résoudre le Problème 1.11 et présentons des applications du modèle en restauration d’images. Au Chapitre 7, nous étudions les notions de contractivité basées sur les distances de Bregman dans des espaces de Banach. Nous unifions et étudions une notion de cocoercivité en utilisant les distances de Bregman. Un algorithme d’approximations successives pour trouver un point fixe commun à une famille de contractions est aussi considéré. Nous présentons également une version particulière de l’algorithme explicite-implicite pour résoudre (1.23) lorsque B est le gradient d’une fonction convexe différentiable. Au Chapitre 8, nous présentons nos conclusions et des questions ouvertes..

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