LA THÉORIE DE NEVANLINNA

Théorie de Wagner

 Le but de ce premier paragraphe est de présenter les hypothèses du modèle de Wagner. Le lecteur peut se référer à Faltinsen (2005) pour une introduction particulièrement pédagogique à ce modèle et à Oliver (2002) pour une étude plus approfondie sur ses bases théoriques. La formulation du problème aux limites non linéaire vérifié par l’écoulement est tout d’abord rappelée. Le problème de Wagner bidimensionnel (2D) et axisymétrique (axi) est ensuite présenté et quelques aspects du problème sont abordés. Enfin la formulation du problème de Wagner tridimensionnel (3D) en potentiel des déplacements est présentée. 

Ecoulement potentiel non linéarisé au cours d’un impact 

En négligeant les phénomènes physiques autres que l’inertie du fluide, il est possible de décrire l’écoulement autour d’un corps impactant une surface de fluide à une vitesse V = (Vx, Vy, Vz) à l’aide de la théorie du potentiel des vitesses. Les hypothèses les plus importantes sont les suivantes : 1) il existe une zone du solide en contact avec l’eau dont la taille augmente au cours du temps, 2) le fluide est non visqueux et incompressible, 3) l’écoulement est irrotationnel, 4) la gravité est négligée. 15 Résolution du problème de Chapitre 2. Résolution du problème de Wagner tridimensionnel A partir de ces hypothèses, on peut établir le problème aux limites régissant le potentiel des vitesses ϕ défini ci-dessous :    ∆ϕ = 0 , dans le domaine fluide ∂ϕ ∂t + 1 2 |∇ϕ| 2 = 0 , (x, y, z) ∈ SL ∇ϕ.n = V.n , (x, y, z) ∈ SM ϕ → 0 , x2 + y 2 + z 2 → ∞ , (2.1) où SL désigne la surface libre et SM la surface mouillée du corps, n est la normale à la surface du solide. La déformation de la surface libre est régie par l’équation suivante : DX Dt = ∇ϕ, (2.2) où X est un vecteur décrivant la position d’un point de la surface libre et D Dt désigne la dérivée particulaire. Ce problème est très complexe à résoudre. Zhao et Faltinsen (1993) proposent toutefois un modèle éléments de frontière non linéaire dédié aux problèmes 2D. Cette approche a été améliorée et étendue aux problèmes axisymétriques par Battistin et Iafrati (2003). A notre connaissance, aucune méthode 3D n’a été développée pour traiter le problème aux limites non linéaire complet. 

Problèmes de Wagner bidimensionnel et axisymétrique 

Dans le cas 2D (et axi), la surface mouillée est définie par sa demi-largeur (et son rayon) c(t). L’hypothèse majeure de Wagner consiste à considérer que, pour des corps aplatis, la géométrie de la surface du fluide demeure proche de sa position initiale (z = 0). De ce fait, il est possible d’appliquer les conditions aux limites de la surface du fluide au niveau de la surface libre initiale (voir figure 2.1). On parle également de « projection » des conditions aux limites sur la surface initiale du liquide. z x 2c(t) U z = V z V U.n = V.n divU = 0 Figure 2.1 – Simplification du corps impactant en plaque plane. U représente la vitesse au sein du domaine fluide 16 2.1. Théorie de Wagner L’écoulement instantané peut être résolu en termes de potentiel des vitesses. De plus, la condition aux limites dynamique au niveau de la surface libre est linéarisée, ce qui conduit à l’écoulement instantané idéalisé décrit par la figure 2.2. z x c(t) ∂ϕ (w) ∂z = V z ϕ (w) = 0 Δϕ (w) = 0 ( x,t) Figure 2.2 – Ecoulement instantané idéalisé selon la théorie de Wagner Le potentiel des vitesses ϕ (w) est solution du système suivant :    ∆ϕ (w) = 0 , z < 0 ∂ϕ(w) ∂z = Vz , (|x| 6 c(t), z = 0) ϕ (w) = 0 , (|x| > c(t), z = 0) ϕ (w) → 0 , x2 + z 2 → ∞ . (2.3) On peut remarquer que cet écoulement est identique à celui autour d’une plaque (2D) ou d’un disque (axi) de demi-largeur largeur ou de rayon c(t). Il est important de noter que la demi-largeur mouillée c(t) est également une inconnue du problème. L’évolution de cette grandeur est régie par une équation dans laquelle interviennent la forme du corps, la profondeur de pénétration et l’élévation de la surface libre appelée condition de Wagner. Cette équation traduit la coïncidence géométrique entre la surface libre et le corps impactant au point de contact (voir figure 2.3) et s’écrit : f(c(t)) − h(t) = η(c(t), t) = Z t 0 Uz(c(t), 0, τ )dτ, (2.4) où f(x) et η(x, t) sont respectivement les fonctions décrivant la forme du corps et l’élévation de la surface libre. Ces fonctions vérifient les conditions suivantes : f(0) = 0 et η(x, 0) = 0. La profondeur de pénétration h(t) s’obtient en intégrant la vitesse d’impact au cours du temps (h(t) = Z t 0 |Vz|dt) et l’élévation de la surface libre η(x, t) s’obtient en intégrant la vitesse instantanée au niveau de la surface libre au cours du temps. Cette vitesse U = ∇ϕ (w) s’obtient à partir de la solution analytique du problème 17 Chapitre 2. Résolution du problème de Wagner tridimensionnel c(t) h(t) x z f(x) η( x,t) Figure 2.3 – Géométrie de la surface du fluide idéalisée selon la théorie de Wagner 2.3 en fonction de la largeur mouillée instantanée : Uz(x, 0, t) = ∂ϕ(w) ∂z (x, 0, t). (2.5) Il faut donc résoudre le problème suivant : f(c(t)) − h(t) = η(c(t), t) = Z t 0 ∂ϕ(w) ∂z (c(t), 0, τ )dτ. (2.6) Ce problème peut également être formulé en introduisant le potentiel des déplacements ψ qui est défini comme l’intégrale du potentiel des vitesses ϕ (w) au cours du temps (Korobkin (1982), Howison et al. (1991)) : ψ(x, z, t) = Z t 0 ϕ (w) (x, z, τ )dτ. (2.7) De la même manière que le gradient du potentiel des vitesses représente le vecteur vitesse, le gradient du potentiel des déplacements représente le vecteur déplacement. Le potentiel des déplacements est alors solution du système suivant :    ∆ψ = 0 , z < 0 ∂ψ ∂z = f(x) − h(t) , (|x| ≤ c(t), z = 0) ψ = 0 , (|x| ≥ c(t), z = 0) ψ → 0 , x2 + z 2 → ∞ . (2.8) Ainsi, le problème de Wagner 2D ou axi consiste à trouver c(t) tel que le déplacement vérifiant 2.8 soit continu entre la surface libre et la surface mouillée : lim |x|→c(t)+ ∂ψ ∂z (x, 0) = f(c(t)) − h(t). (2.9) Notons que l’introduction du potentiel des déplacements est possible du fait que la géométrie du domaine fluide dans le cadre de la théorie de Wagner ne change pas 18 2.1. Théorie de Wagner au cours du temps. La formulation du problème de Wagner en termes de potentiel des déplacements présente plusieurs avantages. D’une part, elle permet de déterminer la surface mouillée à chaque instant indépendamment des instants précédents. D’autre part, le potentiel des déplacements (solution de 2.8) présente de meilleures propriétés de régularité que le potentiel des vitesses (solution de 2.3) lorsque la surface mouillée est exacte. Le déplacement vertical est continu en c(t) alors que la vitesse verticale est infinie en |x| = c(t) +.

 Remarque : Discontinuité du déplacement induite par une « erreur » sur la géométrie de la surface mouillée

 Le système 2.8 peut être résolu pour une valeur c(t) ne vérifiant pas la condition de Wagner (2.9). Dans ce cas, la solution obtenue est discontinue. Ce phénomène est illustré par la figure 2.4. Les différentes déformées de la surface libre, obtenues pour différentes valeurs du rayon de la surface mouillée, montrent que le déplacement de la surface libre est bien continu lorsque le rayon c(t) considéré est égal à la valeur théorique cth(t) (courbe rouge). En revanche, lorsque la valeur du rayon est différente de la valeur théorique (courbes bleues), le déplacement de la surface libre est discontinu au niveau de c(t). Nous observons de plus que cette discontinuité est d’autant plus importante que la différence entre la valeur de c(t) utilisée pour le calcul et sa valeur théorique (pour laquelle la condition de Wagner est vérifiée) est grande. Ainsi, cette discontinuité apparait comme une mesure de l’erreur effectuée sur l’estimation du rayon de la surface mouillée. Cette propriété est à la base du fonctionnement de l’algorithme que nous avons développé pour résoudre le problème de Wagner 3D et qui est présenté plus loin dans ce chapitre. Il est également important de noter que si les profils de surface libre tracés sur la figure 2.4 présentent une élévation finie en |x| = c(t), cela vient du fait que le problème aux limites 2.8 a été résolu numériquement (voir modèle éléments de frontière présenté au paragraphe 2.2.2). En effet, la solution exacte du problème aux limites 2.8 présente en réalité un déplacement infini en |x| = c(t) lorsque c(t) 6= cth(t). Cette singularité est une conséquence de la singularité de la vitesse en |x| = c(t). Dans le cas d’un cône ou d’une surface axisymétrique, nous allons examiner l’effet d’une sous-estimation du rayon de la surface mouillée sur le déplacement. Soient c(t) le rayon considéré de la surface mouillée à l’instant t et cth(t) la solution théorique à ce même instant. Dans le cas où la surface mouillée est sous-estimée (c(t) < cth(t)), du fait que la fonction c(t) est strictement croissante, on peut trouver un instant t0 antérieur à t (t0 < t), tel que c(t) = cth(t0). D’après la définition du potentiel des déplacements, on peut décomposer le déplacement issu de la résolution du problèm