La théorie de Mie 

La théorie de Mie 

L’ensemble des développement faits ci-dessous sont monochromatiques. Néanmoins par souci de simplification des notations, l’indice λ sera volontairement omis et sous-entendu. 

Formules générales du problème électromagnétique de Mie 

Étant donnée une particule sphérique et homogène de rayon rp et d’indice optique complexe mp plongée dans un milieu hôte infini non absorbant donc d’indice mh réel (mh = nh), la théorie de Mie [Mie08, vdH57, BH83, Mod93] s’intéresse à l’interaction entre cette particule et une onde électromagnétique plane et monochromatique de longueur d’onde λ dans le vide et donc λh = λ nh dans le milieu hôte. Soit x le paramètre de taille défini par x = 2πrp λh . Les quantités d’énergie absorbée et diffusée par la particule s’expriment : – Soit en termes de sections efficaces d’absorption (Cabs) et de diffusion (Csca). Par définition, la section efficace d’absorption est égale au rapport de la puissance absorbée par la particule à la puissance surfacique de l’éclairement incident ; la section efficace d’absorption a donc la dimension d’une surface. La définition de la section efficace d’absorption s’étend à la section efficace de diffusion. – Soit en termes d’efficacités d’absorption et de diffusion, sachant que la relation qui lie les efficacités aux sections efficaces est : Qx = Cx πr 2 p , où x représente l’absorption ou la diffusion. Les efficacités sont donc des nombres sans dimension. La somme des puissances diffusée et absorbée s’appelle puissance éteinte ou puissance d’extinction ; elle s’exprime aussi en terme de section efficace : Cext = Csca +Cabs, ou d’efficacité : Qext = Qsca +Qabs = Cext πr 2 p . La théorie de Mie permet d’exprimer les efficacités de diffusion Qsca et d’extinction Qext en séries infinies : Qsca = 2 x 2 +∞ ∑ n=1 (2n+1) ¡ |an| 2 +|bn| 2 ¢ (3.1) Qext = 2 x 2 +∞ ∑ n=1 (2n+1)ℜe{an +bn} (3.2) où les an et bn sont les coefficients de Mie qui s’expriment comme suit : an = ψ 0 n (mx)ψn (x)−mψn (mx)ψ 0 n (x) ψ0 n (mx)ζn (x)−mψn (mx)ζ 0 n (x) (3.3) bn = mψ 0 n (mx)ψn (x)−ψn (mx)ψ 0 n (x) mψ0 n (mx)ζn (x)−ψn (mx)ζ 0 n (x) (3.4) 66 Les coefficients an et bn sont donc uniquement fonctions du paramètre de taille x et du contraste d’indice optique m = mp nh . Dans les expressions (3.3) et (3.4) des coefficients an et bn, les ψn (z) et ζn (z) sont les fonctions de Riccati-Bessel et les ψ 0 n (z) et ζ 0 n (z) leurs dérivées. Ces fonctions sont des solutions particulières de l’équation aux dérivées partielles [AS65] : z 2 w 00 + £ z 2 −n(n+1) ¤ w = 0 n = 0, ±1, ±2… (3.5) Ces fonctions de Riccati-Bessel s’expriment facilement à partir des fonctions de Bessel sphériques de première espèce jn (z) et de deuxième espèce yn (z) : ψn (z) = z· jn (z) (3.6) χn (z) = z· yn (z) (3.7) ζn (z) = ψn (z) +i χn (z) (3.8) Les fonctions de Bessel sont elles-mêmes solutions de l’équation aux dérivées partielles suivante [AS65] : z 2 w 00 +2 z w 0 + £ z 2 −n(n+1) ¤ w = 0 n = 0, ±1, ±2… (3.9) Connaissant les deux premières fonctions j0 (z) = sin(z) z et j1 (z) = sin(z) z 2 − cos(z) z 2 , et y0 (z) = − cos(z) z et y1 (z) = − cos(z) z 2 − sin(z) z , on calcule les suivantes à l’aide de la relation de récurrence suivante [AS65] : fn+1 (z) = (2n+1) z −1 fn (z)− fn−1 (z) (3.10) où f représente la fonction de Bessel de première ou de seconde espèce. 

Expression de la fonction de phase de diffusion

 Le rayonnement entrant en interaction avec la particule sphérique peut être dévié de sa direction originale d’un angle θ. Les caractéristiques angulaires de la diffusion sont contenues dans la notion de fonction de phase, qui dans le cadre de la théorie de Mie a l’expression : P (θ) = 2 |S1 (θ)|+|S2 (θ)| x 2Qsca (3.11) S1 (θ) et S2 (θ) ont les expressions suivantes : S1 (θ) = +∞ ∑ n=1 2n+1 n(n+1) [anπn (cosθ) +bnτn (cosθ)] (3.12) S2 (θ) = +∞ ∑ n=1 2n+1 n(n+1) [bnπn (cosθ) +anτn (cosθ)] (3.13) 67 où les fonctions πn (cosθ) et τn (cosθ) sont des fonctions angulaires qui s’expriment à l’aide des polynômes de Legendre notés Pn : πn (cosθ) = dPn (cosθ) d cosθ (3.14) τn (cosθ) = cosθ πn (cosθ)−sin2 θ dπn (cosθ) d cosθ (3.15) Pour faciliter les calculs, Wiscombe [Wis80] propose des relations de récurrence qui permettent de calculer aisément ces deux suites de fonctions πn (cosθ) et τn (cosθ) par récurrence ascendante. L’initialisation de cette récurrence est π0 = 0, π1 = 1 et τ0 = 0 ; et les relations permettant de passer du triplet (πn−1 (cosθ), πn (cosθ), τn (cosθ)) au couple (πn+1 (cosθ), τn+1 (cosθ)) sont : s = cosθ πn (cosθ) (3.16) t = s−πn−1 (cosθ) (3.17) πn+1 (cosθ) = s+t +t/n (3.18) τn+1 (cosθ) = (n+1)t −πn (cosθ) (3.19) La fonction de phase de diffusion indique les directions préférentielles de diffusion qui, suivant les milieux en présence et la longueur d’onde, est souvent d’allure complexe. Pour simplifier l’analyse du caractère directionnel de la diffusion, on définit le facteur d’asymétrie g qui est la valeur moyenne de la fonction de phase pondérée par le cosinus de l’angle de diffusion (équation (2.30)). Dans le cas d’une particule sphérique, la théorie de Mie aboutit à l’expression suivante : g = hcosθi = 4 x 2Qsca +∞ ∑ n=1 · n(n+2) n+1 ℜe{ana ∗ n+1 +bnb ∗ n+1}+ 2n+1 n(n+1) ℜe{anb ∗ n} ¸ (3.20)

Nombre de termes à considérer dans les séries infinies

Le nombre de termes à considérer dans les séries de Mie est fonction du paramètre de taille x = 2πrp/λh. Dave [Dav69] propose le critère de convergence de la série suivant : |an| 2 +|bn| 2 < 10−14. Mais une telle méthode pose des problèmes de mise en oeuvre puisqu’on ne connaît pas le nombre de termes qu’il y aura à prendre en compte au début du calcul ; on ne peut donc pas optimiser la dimension des vecteurs que l’on aura à manipuler. C’est pourquoi les deux critères les plus souvent rencontrés sont le critère de Deimerdjian et al. N = 1.2x + 9, et le critère de Wiscombe [Wis80] : N = x+4x 1/3 +1. Le tracé de ces deux fonctions figure 3.1 nous montre que quel que soit le critère considéré, le nombre de termes à prendre en compte dans les série infinies est quasiment le même. La formulation de Wiscombe étant plus récente et plus économe en termes de temps de calcul et de place mémoire, nous utiliserons cette formulation pour la suite de l’étude.

Difficultés associées au calcul numérique des séries de Mie 

La relation de récurrence (3.10) marche très bien tant que mx est réel ou que ℑm{mx} est petit devant ℜe{mx}. Néanmoins, lorsque ℑm{mx} est grand devant ℜe{mx}, c’est-à-dire lorsque la particule est fortement absorbante, il devient difficile de calculer correctement les fonctions ψn (mx), les calculs de ces fonctions pouvant diverger. Pour remédier à ce problème, nous avons choisi de nous baser sur les travaux de Hong Du [Du04] qui propose d’introduire les rapports rn (mx) = ψn−1 (mx)/ψn (mx). La série rn (mx) se calcule alors par récurrence ascendante ou descendante suivant la précision souhaitée. L’avantage de la récurrence ascendante est incontestablement sa facilité de mise en oeuvre, et la possibilité de calculer exactement le nombre N de termes nécessaires au calcul de Mie. La limitation de ce type de récurrence provient du fait que lorsque le module de ψn (mx) est l ordres de grandeur inférieur au module de ψ0 (mx), l chiffres significatifs sont perdus. La relation issue de l’inégalité de Kapteyn permet de déterminer l’ordre de grandeur de ψn (mx). – Dans le cas d’une récurrence montante, Hong Du propose d’utiliser r0 (mx) = cot(mx) pour initier celle-ci. – Dans le cas d’une récurrence descendante, elle est initiée avec rN∗ (mx) = (2N ∗ +1)/(mx) où N ∗ est le point de départ de la récurrence, choisi de telle sorte qu’on ait convergence à l’ordre N (N étant le nombre de termes de la série de Mie à considérer). Une fois la récurrence initiée (ascendante ou descendante), la relation liant rn+1 (mx) à rn (mx) est : rn+1 (mx) = · 2n+1 mx −rn (mx) ¸−1 (3.24) Avec cette nouvelle expression des coefficients de la série de Mie ((3.21), (3.22)), on n’a plus qu’à calculer les fonctions de Riccati-Bessel ψn (x) et ζn (x) pour des valeurs réelles à l’aide de la relation de récurrence (3.10) [AS65]. Cette relation de récurrence étant toujours stable lorsque z est réel, on ne se heurte plus à des problèmes de convergence lors des calculs des différents termes nécessaires aux calculs des an et bn. 

Cas d’une sphère enrobée 

 Au lieu de partir d’une sphère homogène composée d’un seul constituant, on suppose maintenant une sphère composée de deux constituants. Une première sphère de rayon ra et d’indice optique complexe ma est enrobée par une sphère creuse de rayon extérieur rb (et de rayon intérieur ra) et d’indice de réfraction complexe mb. Cette sphère enrobée étant plongée dans un milieu hôte non absorbant d’indice nh, on introduit les contrastes d’indice m1 = ma nh et m2 = mb nh . Mises à part les équations (3.3) à (3.22), l’ensemble des autres relations reste valable.  . On peut faire plusieurs remarques concernant ces formules : – Si m1 = m2 (i.e. la sphère et la sphère creuse sont constituées du même matériau), alors An = Bn = 0, et les coefficients de Mie se réduisent aux expressions fournies pour le cas de la sphère. – Lorsque le rayon ra tend vers 0, on a lim ra→0 An = lim ra→0 Bn = 0, et donc on retrouve la formulation de Mie pour une sphère homogène de rayon rb et d’indice optique complexe m2. – Enfin, si m2 = 1 (i.e. mb = nh : la sphère creuse est constituée du même matériau que le milieu hôte), on retrouve la formulation pour une sphère homogène de rayon ra et d’indice optique complexe m1. 

Extension de la théorie de Mie au calcul des propriétés radiatives d’un nuage de particules sphériques

 Dans le cas d’un nuage de particules toutes identiques, la fraction de puissance diffusée par unité de longueur suivant la direction du faisceau incident est appelé le coefficient de diffusion σ. Si le nuage est suffisamment peu dense on démontre que : σ = Np Csca = π r 2 p Np Qsca (3.29) Np désignant le nombre de particules par unité de volume. Cette expression se généralise aux coefficients d’absorption κ et d’extinction β : κ = Np Cabs = π r 2 p Np Qabs (3.30) β = κ+σ = Np Cext = πr 2 p Np Qext (3.31) Quant à la fonction de phase du nuage de particules, les particules étant supposées toutes identiques, elle sera égale à celle d’une particule isolée. Il en sera de même pour le facteur d’asymétrie g.