La résolution de problèmes mathématiques

LES INTERVENTIONS EN RÉSOLUTION DE PROBLÈMES ÉCRITS DE MATHÉMATIQUE (RPÉM)

Des études co mme ce ll e de Lester ( 1994) ont montré que ma lgré certains programmes impl antés pour améliorer le rendement des élèves en RPÉM, ces derniers épro uvent to ujours des difficultés dans la réussite de ce type d ‘acti vité. On peut donc se questiOlmer, comme le font plusieurs enseignants, à savo ir si l’o n peut rée llement aider les élèves à devenir compétents en RP ÉM. La réponse est loin d ‘être év idente; spontanément, on ne sait pas comment aider que lqu ‘ un à comprendre un probl ème; au mieux, o n sait comment lui suggérer plus ou moins habil ement la so lution (Ju lo, 1995). A lors, comment intervenir sans tomber dans le pi ège des indices qui simplifi erai ent le problème et qui lui enl èveraient une part, sinon la totalité, de sa richesse ? Pour ce faire, de nombreux auteurs se sont penchés sur les étapes du processus de la RP ÉM (Hegarty, Mayer et Monk, 1995 ; Mayer, Larkin et Kadane, 1984; Riley et Greeno, 1988). D ‘ailleurs, selon Schoenfeld ( 1992), plusieurs de ces chercheurs ont su déve lopper des représentations assez précises de ces structures mathématiques. Or, les principales difficultés resteraient dans l’ implantation de stratégies en li en avec ces structures (Schoenfeld, 1992). Néanmoins, différents chercheurs ont tenté d ‘ observer les étapes du processus de la RPÉM où les élèves éprouvaient davantage de diffi culté, et ce, en fonction de leur âge et de leurs caractéristiques personnelles (Casey, 1978; C lements, 1980; Newman, 1977; Watson, 1980).

De plus, ce type de recherches a permi s d ‘ établir différe ntes interventions poss ibles pour certaines des étapes de ce processus (Benko et al., 1999; Bryant el al., 2008 ; Elli s et al. , 2007; Roti el al. , 2000). L’ une de ces interventi ons, qui n’ ap pauvrira it pas le probl ème et qui a iderait par le fait même les é lèves à devenir plus ha biles en RPÉM, se rait de travaill er au ni veau de la compréhension de probl èmes, c’est-àd ire sur la re présentati on du pro bl ème mathématique. A insi, un travail plus po intu au ni veau de la compréhension pourra it a ider les élèves à devenir plus hab iles en R PÉM, co mme l’affirme entre autres Voyer (200 1). Par aill eurs, une faço n d ‘ intervenir sur la compréhension de prob lèmes serait de déve lo pper l’ habil eté à reconnaître le schéma de problèmes. Cette habil eté repose sur la co nstructi on d ‘ une représentation basée sur les co nnaissances de la personne qui lui permet de reconnaître un pro bl ème qu ‘elle a déj à résolu (Richard, 1998). Par la suite, ell e peut utili ser une même démarche de réso luti on afin de so lutionner des problèmes mathématiques simil aires.

De cette mani ère, le déve lo ppement de l’ habileté à reconnaître le schéma de pro blèmes pourrait-il aider l’élève dans sa compréhension du pro bl ème et dans sa co nstructi on du processus de réso luti on ? Cette question est pour le moment sans ré ponse pui sq u’ un nombre très limité de chercheurs se sont intéressés aux li ens entre la compréhension de pro blèmes et l’ habil eté à reconnaître le schéma de problèmes. En réalité, les recherches concernant les schémas de prob lèmes sont peu nombreuses, et ce, particuli èrement au primaire. Néanmoins, certaines études signalent que l’ habileté à reconnaître le schéma de problèmes favo ri serait le rend ement en RPÉM (Quili ci et Maye r, 1996, 2002; Sil ver, 1979, 1981 ; Swanson el al. , 1993). Ainsi, l’ habileté à reco nnaître le schéma de pro blèmes permettrait-e lle de favo ri ser le rendement en RPÉM et plus particulièrement celui d ‘é lèves du primaire? C’est à ces questi ons que la présente étude tentera de répondre. Pour ce faire, cette recherche s’appuiera sur des études concernant les schémas de pro blèmes. C ‘ est d ‘aill eurs ce qui sera présenté dans la prochaine section.

LES ÉTUDES CONCERNANT LES SCl-IÉMAS DE PROBLÈMES

Les schémas de problèmes ont été étudi és sous différents angles. Les prochain s paragraphes résumeront certaines recherches effectu ées sur les schémas de probl èmes afin de présenter l’ état des connaissances sur le sujet. Diverses recherches ont rapporté que les é lèves qUI associent correctement les problèmes mathématiques qUi ont le même schéma sont également habiles en RPÉ M (G liner, 1989; Hinsley et a1., 1977; Lucange li et a1. , 1998; Si lver, 1979, 198 1; Swanson et al. , 1993), mais peu d ‘entre e lles ont été réali sées au primaire. D ‘ autres études se sont plutôt intéressées aux schémas de problèmes en tant que moyen d ‘ intervention en RP ÉM auprès d ‘ élèves du primaire ayant des difficultés d’apprentissage ou à ri sque d’ en avoir (Fuchs et al. , 2004; Jitendra et al., 1998). Par contre, en plus de la reconnaissance du schéma de probl èmes, ces études utilisaient également d ‘autres méthodes d ‘ense ignement. Ainsi, o n ne peut conclure que l’amélioration en RP ÉM des participants so it uniquement li ée au dévelo ppement de l’ habileté à reconnaître le schéma de problèmes. Parallèlement, bien que peu d’études ont évalué les liens entre l’ habileté à reco nnaître le schéma de problèmes et la compréhension de problèmes, certaines dont celle de Lucangeli et ses collaborateurs (1998) ont montré que la compréhension de problèmes et l’ habileté à reconnaître le schéma de problèmes étaient cOlTélées positi vement. Néanmoins, les résultats so nt difficilement généralisables à un niveau sco laire en particulier puisque ces analyses ont été effectuées avec plusieurs niveaux sco laires. La plupart des recherches qui ont étudié les schémas de problèmes l’o nt fait dans une branche spéc ifique des mathématiques, so it l’aritlunétique (Fuchs et al. , 2003; Fuchs et al. , 2004; G liner, 1989; Hinsley et al., 1977; Jitendra et al., 1998; Si lver, 1979, 198 1; Swanson et al. , 1993). Au primaire, les problèmes d ‘aritlunétique consistent à effectuer une ou plusieurs opérations mathématiques (addition, soustraction, multiplication, divi sion) sur des données du problème afin d ‘obtenir une solution . La présente étude s’ intéresse plus parti culi èrement au rendement en résolution de probl èmes éc rits du do maine de l’arithmétique dans le but de comparer les résultats obtenus avec ceux présents dans la 1i ttérature. À la lumière de ce qui a été présenté jusqu ‘ ici, l’ habileté à reconnaître le schéma de probl èmes apparaît co mme une interventi on novatrice qui po urrait être utilisée po ur améliorer le rendement en RPÉM des élèves du primaire. Cepend ant, cela reste un moyen très peu étudi é dans la littérature. C’est pourquoi cette habileté co nstitue l’objet principal de cette recherche.

Définition de la notion de problème mathématique

La no tion de probl ème fait en général consensus chez les chercheurs qUI se sont attardés à établir sa définiti on (Hayes, 1981 ; Po irier, 2001 ; Tardi f, 1992). De ce fa it, la communauté sc ientifique considère que la dé finiti o n de ce qu ‘est un problème comprend de ux é léments importants. Po ur qu ‘ il y ait un pro blème, l’ indi vidu qui tente de le résoudre ne doit pas co nnaître la procédure pour obtenir la so luti on. Il y a donc un écart entre l’ endro it o ù il se trouve et l’endroit o ù il dés ire être, et igno re comm ent co mbl er cet écart (Hayes, 1981 ). Ainsi, un problème ex iste lorsqu’ un indi vidu tente d ‘atteindre un but dans une acti vité et q u’ il ne connaît pas d ’embl ée la so lutio n po ur y parvenir (Tardi f, 1992). Le deuxième élément est la poss ibili té pour l’ indi vidu d ‘agir sur so n probl ème. Un probl ème n’ est pas un problème s’ il ne peut intervenir sur ce lui-ci. Par exemple, la réso lution d ‘ un problème d ‘a lgèbre linéa ire n’est pas un problème po ur un enfa nt de quatre ans, car il ne peut intervenir sur ce dernier. Poirier (2001 ) utilise l’express ion « défi raisonnable » pour fa ire resso rtir l’accessibilité du pro bl ème, c’est-à-dire que le probl ème doit représenter un défi ni trop simple ni trop compl exe po ur l’ indi vidu qui tente de le résoudre. Ainsi, ce qui est un pro bl ème pour une perso nne peut ne pas l’être po ur une autre. Prenons le pro bl ème sui vant: « Marie a trois billes, Jean en a deux fo is plus qu’elle. Comb ien Jean a-t-il de biffes? ». En général, la s ituatio n sui vante n’est pas un pro blème pour un adulte, car ce dernier peut obtenir presque automatiquement la réponse. Il n’y a pas d ‘ écart entre la situati on présentée et la réponse à cette dernière.

De la même façon, cette situation n’ est pas un pro blème pour un enfant de quatre ans pui sq u’ il ne peut pas agir sur ce lle-ci. Une situati on est pro blématique lorsque la perSO lU1e peut s’ investir dans une démarche de réso luti on, même si la répo nse obtenue ne sera peut-être pas la bonne. Afin de mi eux illustrer ce que peut être un problème, vo ici un exempl e qui représe nte généralement un pro bl ème pour un adulte: « On engage deux p eintres pour p eindre une pièce. Le premier peint une pièce en 2 heures et le second peint une p ièce en 3 heures. Combien de temps leur faudra -t-il s’ils peignent la p ièce ensemble?» (Voyer, 2006 : 7). Hab ituell ement, on peut considérer que ce pro bl ème en est véritabl ement un po ur un adulte, car malgré que la démarche de réso luti on n’apparaisse pas d’embl ée, un adulte est en mesure de trava iller sur ce probl ème et de tenter une démarche qui le mènera à un e so luti on, bonne o u mauvai se. Par aill eurs, pour que le probl ème soit considéré comme un pro bl ème mathématique, il doit comprendre des notio ns mathématiques, quell es soient d ‘ordre arithmétique, géométrique ou algébriques (Mayer, 2002). En somme, po ur être considéré comme un pro blème mathématique, ce dernier doit respecter certa ins critères. Il doit contenir des é léments reli és aux mathématiques et être adapté à la personne qui tente de le résoudre. Les probl èmes mathématiques peuvent être présentés de faço n o rale ou de faço n écrite. Dans cette étude, ce sont les prob lèmes éc rits qui seront mi s de l’ avant.