La probabilité comme fonction d’ensembles

1 Espaces Probabilisés
1.1 Introduction
1.2 Evénements
1.3 La probabilité comme fonction d’ensembles
1.4 Exemples
1.5 Remarques sur le choix d’un modèle
1.6 Exercices
2 Conditionnement et indépendance
2.1 Probabilités conditionnelles
2.1.1 Introduction
2.1.2 Propriétés
2.1.3 Quelques exemples
2.2 Indépendance
2.2.1 Indépendance de deux événements
2.2.2 Indépendance mutuelle
2.2.3 Epreuves répétées
2.3 Exercices
3 Variables aléatoires discrètes
3.1 Introduction
3.2 Généralités
3.2.1 Variable aléatoire discrète
3.2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète
3.2.3 Fonction de répartition
3.3 Lois discrètes classiques
3.3.1 Lois de Bernoulli
3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels
3.3.3 Lois binomiales
3.3.4 Lois hypergéométriques
3.3.5 Lois géométriques
3.3.6 Lois de Poisson
3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson
3.4 Exercices
4 Vecteurs aléatoires discrets
4.1 Introduction
4.2 Vecteurs aléatoires
4.3 Variables aléatoires indépendantes
4.4 Exercices
5 Moments des v. a. discrètes
5.1 Espérance
5.2 Moments d’ordre r
5.3 Variance
5.4 Covariance
5.5 Exercices
6 Loi des grands nombres
6.1 Deux modes de convergence
6.2 Loi faible des grands nombres
6.3 Estimation d’une proportion inconnue
6.4 Convergence presque sure des fréquences
6.5 Discussion
6.6 Exercices
7 Approximation gaussienne
7.1 La courbe en cloche
7.2 Etude graphique
7.3 Le théorème de De Moivre-Laplace
7.4 Preuve du théorème de De Moivre-Laplace
7.4.1 Evaluation asymptotique de b(k, n, p)
7.4.2 Sommes de Riemann
7.5 Vitesse de convergence
7.6 Exercices
8 Variables aléatoires réelles
8.1 Sortie du cadre discret
8.2 Notion de variable aléatoire réelle
8.3 Variables à densité
8.3.1 Densité
8.3.2 Moments des variables à densité
8.4 Lois à densité classiques
8.4.1 Lois uniformes
8.4.2 Lois exponentielles
8.4.3 Lois gaussiennes
8.5 Exercices
A Ensembles et dénombrements
A.1 Généralités
A.2 Ensembles finis

Introduction

Issu du cours de Probabilités en DEUG MASS et MIAS, ce document s’adresse `a un public varié. Les étudiants de DEUG pourront y trouver une rédaction détaillée de toutes les questions abordées en cours. Quelques développements vont au-dela du strict programme et sont susceptibles d’intéresser des lecteurs curieux ou plus avancés. Les outils mathématiques utilisés restent néanmoins strictement dans le cadre du DEUG.
Ce premier tome est consacré `a ce que l’on appelle les probabilités discrètes.
Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au lycée, l’innovation est la prise en compte de l’infini. Cette notion s’introduit très naturellement en calcul des probabilités, par exemple d`es qu’il s’agit de modéliser des temps d’attente. On ne peut pas étudier avec un espace Ω de cardinal fini une expérience aléatoire aussi simple que : « on lance un dé jusqu’`a la première obtention d’un six ». Nous nous posons donc la question de la définition et de l’étude des probabilités sur des univers Ω infinis. Il est possible au niveau du DEUG de faire une théorie assez rigoureuse si l’on veut bien faire l’impasse sur les problèmes de construction (ou d’existence) de tels espaces probabilisés infinis capables de modéliser correctement les expériences aléatoires envisagées.
Le principal outil mathématique utilisé est celui des séries. Il permet une étude classique assez complète des variables aléatoires discrètes. Cette étude débouche sur deux grands théorèmes de convergence de la théorie des probabilités: la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaussienne qui sont discutés dans des cas simples dans les deux derniers chapitres. Nous avons choisi de donner autant que possible des démonstrations de ces théorèmes dans ces cas particuliers. Ces démonstrations sont instructives en elles-memes et peuvent etre considérées comme une introduction au cours de Licence. Une autre particularité de ce document est la discussion sur les questions de vitesse de convergence `a propos des approximations (par une loi de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve `a ce sujet dans la littérature des recettes qui, données sans justification, ressemblent plus `a de la cuisine qu’`a des mathématiques.

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Introduction au calcul des probabilités (1.3 MB) (Cours PDF)