La modélisation de l’expérience de contre-courant superfluide : principes généraux

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Le modèle à deux fluides de l’hélium superfluide

F. London note, dans un article de 1936 (London (1936)), que l’hélium II est plus ordonné que l’hé-lium I. Dans deux autres articles de 1938 (London (1938a,b)), il va plus loin et propose pour l’hélium
II un phénomène de condensation de Bose-Einstein (la plupart des atomes sont dans l’état de plus basse énergie) à la température Tλ. En considérant l’hélium liquide comme un gaz idéal de particules de Bose, il calcule une température de transition égale à 3,13 K, qui est assez proche de l’observation expérimentale Tλ = 2, 17 K.
L. Tisza est très intéressé par la nouvelle idée de F. London (Balibar (2007)), il a l’intuition que s’il y a un phénomène de condensation de Bose-Einstein, alors il doit exister dans l’hélium liquide sous la température de transition deux champs de vitesse indépendants, un champ de vitesse pour l’état fondamental et un autre pour les atomes qui sont dans l’état excité. L’un relatif à une composante qui ne possède pas de viscosité et ne transporte pas d’entropie, et le second qui possède une viscosité et transporte l’entropie. La proportion de ces deux fluides est donnée par la température. Dans une courte note publiée dans Nature en 1938 (Tisza (1938)), il introduit pour la première fois ce qui est appelé maintenant le modèle à deux fluides et prédit que la chaleur peut se propager grâce à des ondes de température.
Un mois plus tard à Moscou, le physicien théoricien L.D. Landau, qui a déjà travaillé dans plusieurs pays d’Europe aux cotés des plus grands physiciens et qui a déjà fondé son école de physique théorique, est arrêté par la police du régime (Pitaevskii (1992)) ; (Gorelik (1997)) ; (Gavroglu (2005)), soupçonné d’être l’auteur d’un pamphlet dénonçant le régime soviétique. Après un an d’emprisonnement, P.L. Kapitza écrit au chef du gouvernement de l’époque, V.M. Molotov, pour demander la libération de L.D. Landau, ce qui est accepté quelques semaines plus tard. Deux ans plus tard, en 1941, dans un article publié par Physical Review (Landau (1941)), L.D. Landau quantifie l’hydrodynamique des liquides quantiques. Il arrive à la conclusion que tous les états faiblement excités peuvent être considérés comme un agrégat d’excitations élémentaires nommées phonons et rotons. Six ans plus tard, il inclut le spectre des rotons dans celui des phonons, et introduit un modèle à deux fluides qui permet de calculer les propriétés de l’hélium II.
FIGURE 1.4: Spectre d’énergie des excitations (phonons et des rotons) en fonction de l’impulsion. Ligne continue : théorie de L.D. Landau, avec ajustement des paramètres en fonction des données expérimentales de la chaleur spécifique. Ligne en pointillé représente une approximation quantique. Graphique tiré de l’article de Feynman (1955).
Le modèle de L.D. Landau est composé d’un premier fluide, appelé « composante normale » consti-tuée de phonons et rotons, qui est visqueux et transporte l’entropie. Le deuxième fluide, appelé « com-posante superfluide » ne possède ni viscosité ni entropie. Le rapport de densité des deux composantes dépend de la température : à température nulle toute la composante normale disparait et le fluide est uniquement donné par la composante superfluide, alors qu’à la température de transition Tλ c’est le contraire, la composante superfluide n’existe plus, il ne reste que la composante normale.
L.D. Landau évalue la température de transition à 2,3 K en accord avec les expériences. Enfin il prédit que la chaleur doit se propager sous forme d’onde, et non par phénomène de diﬀusion comme c’est le cas pour les fluides classiques. Il baptise ces ondes d’entropie ou de température : « second son ». Elles seront observées par Peshkov (1946).
La diﬀérence principale entre les deux modèles, repose sur la nature du fluide normal. Pour L. Tisza le fluide normal est composé d’atomes non condensés, alors que pour L.D. Landau ce sont des quasi-particules ; un concept nouveau permettant de quantifier les excitations d’un liquide quantique. D’après L.D. Landau la vitesse du second son doit augmenter quand la température tend vers zéro, alors que pour L. Tisza la vitesse doit tendre vers zéro. En 1948, les résultats des expériences de Peshkov (1948) montrent que L.D. Landau avait raison.
Comme le propose Feynman (1954), les équations du modèle à deux fluides peuvent se retrouver de façon « intuitive ».
Prenons un superfluide qui ne contient initialement aucune excitation, on note sa densité ρo et sa vitesse vS. Pour l’instant on considère que ce fluide est irrotationnel, c’est-à-dire que ∇ × vS = 0. Le courant de densité de masse s’écrit ρovS et l’énergie cinétique par unité de volume 12 ρovS2. Maintenant on augmente localement sa température, on crée donc un certain nombre d’excitations. L.D. Landau a montré que l’énergie pour créer des excitations d’impulsion p dans un fluide en mouvement à la vitesse vS est E = E(p) + p.vS, où E(p) correspond à l’énergie nécessaire pour créer des phonons et rotons d’impulsion p. Ce spectre d’énergie est tracé sur la figure 1.4. Le courant de densité de masse est égal à la densité d’impulsion puisque tous les atomes ont la même masse : j = ρovS+ où est l’impulsion moyenne des excitations par unité de volume.
Maintenant on peut montrer qu’en moyenne les excitations ont tendance à s’opposer à vS en utili-sant l’eﬀet Doppler : si les excitations se propagent dans le même sens que le superfluide, alors elles sont perçues avec une fréquence élevée pour le superfluide, comme l’énergie est proportionnelle à la fréquence (à un facteur près, relation de Einstein-Planck), alors il faut une énergie élevée pour les créer. Si les excitations se propagent dans le sens opposé au superfluide, alors elles sont perçues avec une fréquence plus faible, donc une énergie plus faible et par conséquent elles sont plus nombreuses. A l’équilibre l’impulsion moyenne des excitations est directement opposée à la vitesse du super-fluide vS, et pour de faibles vS elle est même proportionnelle à cette dernière. Appelons la constante de proportionnalité ρn alors = −ρnvS. On définit ρs = ρo − ρn, et le courant de densité de masse s’écrit : j = ρsvS. Mais les excitations peuvent dériver, elles ne voyagent pas forcément à la vitesse vS, si elles voyagent à la vitesse u alors l’impulsion moyenne des excitations est = −ρn(vS − u), et par conséquent j = ρovS − ρn(vS − u). Maintenant si la vitesse u = vN, alors au final J = ρsVS + ρnVN ET ρ = ρs + ρn (1.2.1) On peut interpréter macroscopiquement ces deux équations, en disant que le courant de masse se comporte comme le mélange de deux fluides, le premier de densité ρs se déplaçant à la vitesse vS qui ne possède pas de viscosité, appelé composante superfluide, et le second de densité ρn se déplaçant à la vitesse vN, appelé composante normale. L’entropie du système correspond à l’entropie des excita-tions, c’est donc la composante normale qui la transporte. Les densités ρs et ρn sont bien sûr fonction de la température : quand la température tend vers zéro le fluide normal disparait il ne reste que le superfluide, et quand la température tend vers Tλ le superfluide n’existe plus si bien qu’il ne reste que du fluide normal.
Il reste encore une expérience à décrire pour mieux comprendre la dynamique de ce modèle à deux fluides. Considérons un cylindre aux parois thermiquement isolées, qui contient de l’hélium superfluide à moitié de son volume, et perçons sa paroi d’un coté uniquement et proche de sa base, pour créer une fuite. On peut placer une fine poudre dans l’orifice ainsi créé dont le but est d’empêcher, par viscosité, le fluide normal de sortir du cylindre, alors que le superfluide peut s’échapper. Nous venons de construire une « superfuite » ou bien encore un superleak. Plaçons ce cylindre spécial dans une cuve ouverte contenant du superfluide afin que le trou soit immergé. Plaçons une résistance dans le cylindre, et chauﬀons le superfluide qu’il contient. Une diﬀérence de température existe maintenant entre le superfluide contenu dans le cylindre et celui contenu dans la cuve, qui donne naissance à un flux de masse de la composante superfluide de la cuve vers le cylindre ; il se crée alors une diﬀérence de pres-sion entre le cylindre et la cuve. Si l’extrémité haute du cylindre est ouverte, la diﬀérence de pression peut être assez grande pour créer un débordement voire une petite fontaine. On appelle ce phénomène l’eﬀet fontaine, ou l’eﬀet thermo-mécanique, découvert par Allen et Jones (1938). Une diﬀérence de température donne lieu à flux de masse opposé entre les deux composantes, et cette diﬀérence de température est proportionnelle à une diﬀérente de pression. Pour tenir compte de cet eﬀet il faut inclure dans gradient de pression partielle généralisée un terme ρss∇T dans l’équation d’évolution du fluide normal et son opposé dans l’équation du superfluide, avec s l’entropie par unité de masse. Ce qui est cohérent avec les équations (1.2.8) et (1.2.11) en considérant formellement que ∇pn = ρρn ∇p + ρss∇T et ∇ps = ρρs ∇p − ρss∇T .

Les vortex quantiques

La vision de la composante superfluide a considérablement changé depuis le modèle à deux fluides de L.D. Landau. En 1949 à Florence, L. Onsager le fameux chimiste qui a résolu tant de problèmes de la physique théorique (modèle d’Ising 2D, relations réciproques hors-équilibre, etc.) est présent à la conférence de Mécanique Statistique. Lui qui aime tant les eﬀets d’annonce d’une découverte scientifique importante a pour habitude de rendre publique ses découvertes au détour de remarques suivants un exposé. Cette année là, après une intervention de C.J. Gorter sur le modèle à deux fluides, il annonce que « la bien connue circulation hydrodynamique est quantifiée, et que le quantum de circulation est h/mHE … »(Donnelly (1991)). En 1955, R.P. Feynman redécouvre cette propriété en construisant une fonction d’onde macroscopique décrivant l’état de la composante superfluide, l’état de plus basse énergie. Comme la fonction d’onde correspond à une amplitude de probabilité de présence, elle doit obéir à certaines contraintes mathématiques, par exemple être de carré intégrable, mais surtout elle doit être mono-valuée. Elle peut avoir une phase qui peut être de la nature d’un angle azimutal, augmentant de 2π pour chaque tour autour d’un trou ou d’une absence de fluide, imposée par la géométrie de l’écoulement (par exemple un écoulement dans un tore). Mais comme la vitesse est donnée par le gradient de la phase, vs = mH−E1∇Φ, alors la circulation doit être un multiple entier de κ ≡ 2π mH−E1 vS.dl = 2π m n = κn , n ∈ N avec κ = 9, 97.10−8 m2.s−1 (1.3.1)
Pour pousser plus loin cette hypothèse, il propose une expérience de pensée, dans laquelle il y a une circulation du superfluide non nulle. Prenons de l’hélium superfluide initialement à température nulle, sous une pression telle qu’il est à l’état solide, en rotation dans une conduite cylindrique. Maintenant la contrainte de pression est relâchée si bien que l’hélium se liquéfie. Quel est l’état final de l’hélium ? Autrement dit, quel est l’état de plus basse énergie de l’hélium tel qu’il possède une impulsion angulaire macroscopiquement élevée ?
Feynman (1955) passe en revue tous les cas possibles. Pour une impulsion angulaire donnée l’énergie cinétique est moindre si la vitesse angulaire est constante dans tout le liquide, mais l’hélium est sous forme liquide, quelques zones peuvent tourner indépendamment de tout le fluide. Pour mettre en ro-tation toutes ces zones qui composent le fluide et qui possèdent un faible moment d’inertie, il faudrait une énergie élevée. On pourrait aussi penser que les excitations peuvent porter l’impulsion angulaire, même à température nulle, mais l’énergie pour maintenir le fluide normal doit tenir compte du fait que si moins de fluide normal est présent, pour une impulsion angulaire donnée, alors l’énergie cinétique devrait être plus grande. R.P. Feynman montre que cet état est 104 plus couteux en énergie que la rotation solide.
FIGURE 1.7: Représentation schématique d’une ligne de vortex et de la circulation du superfluide autour d’elle.
Prenons un autre cas : s’il y a un trou ou un vortex au centre du liquide, comme c’est le cas pour l’écoulement de l’eau quand on vide une baignoire ; le liquide circule autour du trou avec une circulation constante. Dans ce cas, la vitesse varie inversement avec le rayon, et par l’action de la force centrifuge, la vitesse peut être si élevée au centre que le vortex est maintenu sans présence de liquide. Mais l’énergie est encore plus élevée que celle de la rotation solide, parce que la vitesse au lieu d’être distribuée proportionnellement au rayon, l’est inversement. Si l’on suppose qu’il n’y a pas un vortex dans le fluide, mais plusieurs, alignés le long d’un rayon (et répartis aussi de façon concen-trique), entrainant le fluide dans le même sens de rotation, alors sur chaque section entre deux vortex, la vitesse est distribuée en 1/r. Au final entre le centre de la conduite et le bord extérieur, le profil de vitesse commence à se rapprocher d’un profil linéaire en moyenne, donc moins couteux en énergie. La figure 1.8 représente trois cas possibles : 1 vortex central, 2 vortex, et plusieurs vortex. On peut encore augmenter le nombre de vortex, mais il existe une limite à cause de la quantification de la circulation, si bien que même le vortex le plus petit doit avoir une circulation 2π m−HE1. L’énergie minimale que nous cherchions correspond à l’état dans lequel un grand nombre de vortex de circulation minimale sont alignés dans le fluide, et forment un réseau.
FIGURE 1.8: Schématisation de l’eﬀet des lignes de vortex sur la distribution de vitesse superfluide dans un cylindre en rotation à la vitesse Ω.
La quantification des vortex a été mesurée expérimentalement par W.F. Vinen en 1961, plus tard en 1979, R.E. Packard et son équipe (Yarmchuk, Gordon, et Packard (1979)) réalisent une image des vortex quantifiés, sous l’action de la rotation de la conduite, Figure 1.9. On peut clairement apprécier l’arrangement de ces lignes de vortex, parallèles à l’axe de rotation du cylindre, on parle de polarisation. De plus la densité de lignes de vortex augmente avec la vitesse angulaire.
FIGURE 1.9: Photographie d’un réseau de vortex quantiques dans une expérience de rotation de superfluide par E.J. Yarmchuk, M-J.V. Gordon et R.E. Packard (Yarmchuk, Gordon, et Packard (1979))

Le modèle HVBK de couplage mutuel

En 1956, H.E. Hall et W.F. Vinen observent que les ondes de second son se propagent à des vitesses diﬀérentes parallèlement ou perpendiculairement à l’axe de rotation du cylindre contenant l’hélium, de plus elles sont atténuées dans la direction perpendiculaire. Pour une rotation à la vitesse angulaire Ω = 1 rad.s−1, une fois l’équilibre thermodynamique atteint, le champ de vitesse du fluide normal est vN = Ω × r, alors que le superfluide, grâce à l’arrangement spatial des lignes de vortex qu’il contient, essaie de s’approcher de la rotation solide pour minimiser son énergie, avec une densité de ligne de vortex égale à 2Ω/κ. Ils élaborent alors une théorie de friction mutuelle. Par friction mutuelle on entend que les deux fluides peuvent échanger de l’impulsion, ce qui n’est pas le cas dans le modèle à deux fluides de L.D. Landau. Ce couplage entre les deux fluides a lieu à l’échelle microscopique, s’appuyant d’une part sur les excitations du modèle de L.D. Landau qui composent le fluide normal, et d’autre part sur les lignes de vortex introduites en détail par R.P. Feynman. L’idée est que les excitations représentées par les quasi-particules (phonons, rotons) peuvent collisionner avec les lignes de vortex. Ces collisions donnent lieu à des transferts d’impulsion entre les deux fluides et seront observées à l’échelle macroscopique comme une friction mutuelle.
Vinen (1957b) considèrent un petit élément de volume contenant un grand nombre de lignes de vortex. Cet élément de volume reste petit devant l’échelle caractéristique de l’écoulement, permettant ainsi de définir localement une vitesse macroscopique pour le fluide normal et le superfluide.
La longueur d’onde des ondes de second son est grande par rapport à la distance inter-vortex, si bien que dans cet élément de volume, le rapport des densités entre les deux fluides peut être considéré comme constant. Entre 1,2 K et la température de transition Tλ, le fluide normal est essentiellement composé de rotons, si de plus on considère que l’interaction phonon-ligne de vortex est bien plus faible que l’interaction roton-ligne de vortex, on peut alors ignorer le traitement des phonons et considérer que la friction mutuelle est entièrement décrite par la diﬀusion des rotons par la ligne de vortex. Par un calcul cinétique ils expriment la force de friction qui agit sur une unité de longueur de ligne de vortex (celle de circulation 2π m−HE1) en fonction essentiellement de la vitesse relative entre un roton et une ligne de vortex (vR − vL). Afin d’exprimer la friction mutuelle comme une fonction de la vitesse relative entre le superfluide et le fluide normal (vS − vN) il est nécessaire de trouver une relation entre (vR − vL) et (vS − vN). La diﬀérence de vitesse entre un roton collisionnant, vR, et le fluide normal, vN, existe parce que la ligne de vortex tend à attirer le roton dans son voisinage. Cette action est possible parce que la distance inter-vortex est beaucoup plus grande que le libre parcours moyen des rotons (10−6 cm). En eﬀet, on peut évaluer la distance inter-vortex. Il découle du théorème de Green l’égalité entre le rotationnel de la vitesse et la circulation par unité de surface. Dans le cas de l’hélium superfluide en rotation dans un cylindre à la vitesse Ω, le rotationnel de la vitesse est égal à 2Ω. Nous avons vu que le quantum de circulation est égal à 2π /mHE . Il existe donc 2mHE ω/(2π ) = 2, 1.103Ω lignes de vortex par centimètre carré. Pour une vitesse de rotation d’un radian par seconde la distance inter-vortex est typiquement de 10−2 cm. Cette estimation est cohérente avec l’observation expérimen-tale de Yarmchuk, Gordon, et Packard (1979) (Figure 1.9) à 10 secondes par révolution.
En examinant le mouvement d’une ligne de vortex contenue dans la composante superfluide, on déduit une relation entre vL et vS. On peut d’ailleurs retrouver cette relation par analogie. Prenons une ligne de vortex immergée dans la composante superfluide à la vitesse vS orientée vers la droite. Autour de cette ligne de vortex, il existe une circulation de superfluide proportionnelle à 1/r où r est la distance par rapport au centre de la ligne de vortex. Pour simplifier la vision du problème, plaçons nous à deux dimensions et choisissons un sens de circulation anti-horaire autour de cette ligne de vor-tex, qui maintenant s’apparente à un disque – Figure 1.11. Au pôle sud de ce disque, la circulation et l’écoulement de superfluide sont dans le même sens, la vitesse apparente du superfluide est plus grande, et par la relation de Bernoulli, la pression est donc localement plus faible qu’ailleurs dans l’écoulement. Au pôle nord, la vitesse apparente du superfluide est plus faible, la pression est localement plus élevée. Il s’en suit pour équilibrer les pressions que ce disque, c’est-à-dire notre ligne de vortex, se déplace vers le bas. C’est l’eﬀet Magnus appliqué à une ligne de vortex, eﬀet qui ne dissipe pas d’énergie, il est proportionnel à ρs(vL − vS) × κ.

Table des matières

Introduction
1.1 L’élément hélium
1.2 Le modèle à deux fluides de l’hélium superfluide
1.3 Les vortex quantiques
1.4 Le modèle HVBK de couplage mutuel
1.5 L’écoulement de contre-courant superfluide
1.6 Nos motivations
2 Aspects numériques
2.1 La modélisation de l’expérience de contre-courant superfluide : principes généraux
2.1.1 La géométrie des simulations
2.1.2 La représentation des deux fluides
2.1.3 Etablir le contre-courant
2.1.4 Le couplage mutuel entre les deux fluides
2.2 Les méthodes et techniques numériques
2.2.1 Le schéma Boltzmann sur réseau dans l’approximation BGK
2.2.2 Le modèle D2Q9
2.2.3 La condition d’incompressibilité
2.2.4 Les conditions aux parois
2.2.5 La règle d’échange de populations au niveau des thermostats
2.2.6 Le couplage HVBK
2.3 Le lien avec l’approche cinétique d’un mélange binaire
2.4 Détermination des paramètres de la simulation
2.5 La validation du code
2.5.1 La conservation des grandeurs physiques élémentaires
2.5.2 Le gradient de pression et les profils de vitesse
2.5.3 Un cas test avec couplage HVBK simplifié
3 Effets d’entrée en contre-courant
3.1 L’effet d’entrée classique
3.2 L’effet d’entrée superfluide
3.3 Les résultats d’une simulation de contre-courant typique
3.3.1 Le cas d’un contre-courant sans couplage
3.3.2 Le cas d’un contre-courant avec couplage HVBK
3.4 L’analyse quantitative des résultats
3.4.1 L’effet d’entrée chaude
3.4.2 L’effet d’entrée froide : un nouvel effet d’entrée
3.4.3 L’influence des paramètres liés à la modélisation numérique
3.5 Vers les plus hauts nombres de Reynolds
3.5.1 L’influence de la température
3.6 Conclusion et mise en perspective avec les expériences
4 Ecoulement autour d’un cylindre en contre-courant
4.1 La configuration de nos calculs
4.2 La validation du code pour un écoulement autour d’un cylindre
4.3 Les différents régimes dynamiques observés
4.4 L’influence de la viscosité artificielle et du blocage
4.5 Un résumé schématique des régimes dynamiques observés en 2D
4.6 Un nouvel éclairage sur les observations expérimentales
4.7 Conclusion des simulations en 2D
4.8 La persistence du phénomène en 3D : résultats préliminaires
5 Conclusion
6 Annexe
6.1 Tableaux de paramètres des simulations
6.1.1 Données physiques
6.1.2 Simulations à 1,5 K sans la procédure de régularisation
6.1.3 Simulations à 1,5 K : influence de la viscosité artificielle et de la force de Magnus
6.1.4 Simulations à 1,5 K avec la procédure de régularisation
6.1.5 Influence de la température, avec la procédure de régularisation
6.1.6 Simulations à 1,96 K : contre-courant avec obstacle
6.2 Implémentation d’une force extérieure avec la méthode Boltzmann sur réseau
6.2.1 Points clés de l’implémentation
6.2.2 Analyse du terme d’interaction J, du mélange binaire
6.3 Choix de la fonction de distribution à l’équilibre
Table des figures
Bibliographie