La métrique de Robertson-Walker

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L’histoire de l’Univers

Nous allons dans cette partie nous intéresser aux évènements qui ont marqué l’histoire de l’Univers, en commen¸cant par la singularité du Big-Bang qui intervient dans la plupart des modèles.

Le Big-Bang

Comme on l’a vu dans la partie 1.1.6, tous les modèles d’Univers homogènes et isotropes contenant un fluide parfait d’équation d’état p = wρc2 avec w compris entre 0 et 1 possèdent une singularité à t = 0 o`u la densité et aussi, comme on le verra, la température divergent. Cette singularité est appelée le Big-Bang. Toute-fois, il faut noter qu’en présence d’une constante cosmologique non nulle, il existe de nombreux modèles sans Big-Bang, mais les contraintes observationnelles sur les pa-ramètres cosmologiques indiquent une valeur de Λ beaucoup trop faible, et excluent de tels modèles.
Il est probable que le Big-Bang n’ait aucune réalité physique mais qu’il soit sim-plement la conséquence de l’extrapolation des lois de la relativité générale à des conditions physiques o`u celles-ci ne sont plus valides. Par conséquent, il est nécessaire de décrire l’Univers au voisinage du Big-Bang avec une nouvelle théorie unifiant la relativité générale avec une théorie quantique. La limite de validité des équations de la relativité générale dans la cadre du modèle de Friedmann peut ˆetre fixée par le temps de Planck tp, qui est extrˆemement faible (tp est de l’ordre de 10−43 secondes. Pour t < tp, on s’attend à ce que les eﬀets quantiques dominent.
Le temps de Planck est le temps durant lequel les fluctuations quantiques persistent.
En partant du principe d’incertitude de Heisenberg : ΔEΔt ‘ ~ (1.28) on peut écrire : mpc2tp ‘ ~ (1.29) mp ‘ ρp(ctp)2 est la masse de Planck et ρp est la densité de Planck. D’après les équations de Friedmann ρp ‘ (Gtp)−1. Ainsi, suivant 1.29 : tp ‘ ~G 1/2 ‘ 10−43s. (1.30)

L’égalité matière-radiation

Mˆeme si la densité d’énergie ρm de la matière domine actuellement sur la densité d’énergie ρr des photons (w ‘ 0), il n’en a pas été toujours de mˆeme. On a vu précédemment que :
ρm = ρ0m(1 + z)3 (1.31)
et
ρr = ρ0r (1 + z)4 (1.32)
Ainsi, il existe un redshift zeq tel que pour z > zeq l’Univers est dominé par le rayon-nement. La transition entre les deux périodes d’évolution de l’Univers se produit à 1 + zeq = ρ0r (1.33) ρ0m
D’après les valeurs actuelles des paramètres cosmologiques (ρ0r est donné par les me-sures du satellite COBE de la quantité de photons du fond diﬀus cosmologique à 3K) on obtient zeq ‘ 4 × 104.
Nous avons négligé pour ce calcul les interactions entre les photons et la matière en supposant que les deux fluides évoluent séparément, mais nous savons qu’avant un temps t = td (que l’on appelle temps de découplage), matière et radiation étaient forte-ment couplés (notamment les températures des photons et des baryons n’évoluent plus indépendemment mais sont égales, voir le paragraphe “recombinaison et découplage” de la partie suivante). Un calcul plus rigoureux devrait inclure ce couplage, cependant on peut montrer que son influence sur l’évolution de l’Univers est relativement faible.

L’histoire thermique de l’Univers

Dès 1946, Gamow avait envisagé que si l’Univers était plus chaud dans le passé, alors les réactions nucléaires qui ont dˆu s’y produire pourraient expliquer l’origine et l’abondance des éléments (Gamow, 1946). Gamow prédit aussi qu’il devait exister un rayonnement fossile de cette période qu’il estima à 5 K (Gamow, 1948).
L’histoire de l’Univers n’est en fait qu’une suite de phases d’équilibres o`u les tran-sitions sont des étapes majeures. Nous allons dans cette partie retracer les grandes lignes de l’histoire thermique de l’Univers, la figure 1.2 en montre quelques périodes clés.

Recombinaison et découplage

A notre époque, les composantes matière et radiation de l’Univers sont découplées. Les températures de la matière Tm et de la radiation Tr évoluent indépendamment. Calculons tout d’abord l’évolution de la température de la matière. En supposant que la composante matière est un gaz monoatomique en expansion adiabatique, la thermodynamique standard nous donne : d ρmc2 + 2 ρm mp a3 = −ρm mp da3 (1.34) 3 kB Tm kB Tm
Le terme de gauche traduisant la variation de l’énergie et le terme de droite le travail. Sachant que ρma3 est constant, on en déduit l’évolution de la température en fonction du redshift : Tm = T0m(1 + z)2 (1.35)
Comme l’ont montré les mesures de l’expérience FIRAS à bord du satellite COBE en 1992, la composante radiation, appelée fond diﬀus cosmologique, est un corps noir à la température actuelle de 2.726 ± 0.004 Kelvins à 95% de niveau de confiance (voir figure 1.3). On peut montrer simplement qu’une loi de distribution de photons de corps noir reste une loi de corps noir au cours de l’expansion, ainsi la notion de température des photons du fond diﬀus cosmologique prend tout son sens. La relation entre la densité d’énergie des photons et leur température est : ρr c2 = σr Tr4 (1.36) en combinant avec l’équation 1.32 on obtient : Tr = T0r (1 + z) (1.37)
Le mécanisme principal d’interaction des photons avec la matière est la diﬀusion Thompson par les électrons libres. A l’époque actuelle, le taux d’interaction Thomp-son des photons du fond diﬀus cosmologique est extrˆemement faible du fait de la faible densité des électrons dans l’Univers. On a vu que l’Univers est de plus en plus dense, au fur et à mesure que l’on remonte dans le passé mais à des redshifts z . 1000, il est constitués d’atomes non-ionisés.
La température des photons à z ‘ 1300 est, d’après l’équation 1.37, T 0 ‘ 3780K ‘ 0.31 eV. Elle est suﬃsamment grande pour ioniser les atomes d’hydrogène, le nombre de photons d’énergie supérieure à l’énergie de liaison de l’atome d’hydrogène (13.6 eV) étant suﬃsamment important. Par conséquent, si on se place à des redshifts supérieurs à 1300 auquel s’ajoute une petite période de transition, correspondant à la période de recombinaison (que l’on devrait appeler “combinaison”), la longueur d’interaction Thompson était extrˆemement faible du fait de la grande densité des électrons libres. Les photons sont alors thermalisés et l’Univers est complètement opaque.

La nucléosynthèse primordiale

En remontant davantage vers les premiers instants de l’Univers, entre 10−2 à 102 secondes après le Big-Bang, la température était de l’ordre de 109 – 1011 K. Les premier noyaux atomiques se formèrent. A cette température, les protons et les neutrons ne sont plus à l’équilibre et, par collision, synthétisent le deuterium. Le tritium est ensuite synthétisé ainsi que l’hélium 3 et 4 et enfin le lithium 6 et 7. Les abondances après la période de la nucléosynthèse primordiale peuvent ˆetre prédites en fonction du paramètre η (rapport du nombre de baryons sur le nombre de photons), comme le montre la figure 1.4. La mesure des abondances en éléments légers dans l’Univers permet donc de contraindre la densité de baryons dans l’Univers, (la densité de photons étant par ailleurs mesurée précisément par les expériences CMB). Les mesures actuelles donnent : 0, 017 <= Ωbh2 <= 0.023 (Cyburt et al., 2001), Ωb étant la partie baryonique de Ωm.

De la nucléosynthèse au temps de Planck

Pendant l’époque de la nucléosynthèse primordiale a lieu le découplage des neu-trinos. Tout comme les photons, ils constituent de nos jours un fond de rayonnement.
La transition de phase quark-hadron, qui est l’époque de la synthèse des nucléons, a lieu lorsque l’Univers est à la température de 1013 K. A température supérieure, l’état stable est un plasma de quarks et de gluons. A la température de 1016 K se produit la transition de phase électrofaible. Ainsi, la force électromagnétique et les interactions faibles commencent à se diﬀérencier avec le mécanisme de Higgs brisant la symétrie SU (2) ⊗ U (1).
Au del`a de la température 1026 K correspondant à 10−34 seconde après le Big-Bang, les interactions électrofaible et forte sont unifiées. Il est possible que l’asymétrie matière-antimatière soit apparue au cours de la séparation des interactions. L’Univers a connu pendant cette période une phase d’expansion exponentielle appelée “inflation”. Ce comportement est la conséquence d’une densité d’énergie constante analogue à une constante cosmologique.
Enfin, au temps de Planck la température de l’Univers était de 1031 Kelvins.

L’inflation

L’idée de l’inflation a été proposée pour résoudre certains problèmes qui ne trouvent pas d’explication dans la cadre des modèles standard (o`u modèles de Friedmann). L’inflation a été d’abord introduite par Starobinsky en 1979 (Starobinsky, 1979), puis reprise par Guth en 1983 (Guth et Weinberg, 1983) et enfin par Linde la mˆeme année (Linde, 1983). Ce dernier propose un modèle d’inflation chaotique qui est actuellement le type d’inflation utilisé. L’inflation correspond à une période d’expansion accélérée de l’Univers, due à la présence d’un champ scalaire. Elle intervient aux premiers ins-tants de l’Univers entre t ‘ 10−42 s et t ‘ 10−26 s. Nous allons d’abord détailler les problèmes du modèle standard qui motivent l’introduction de la théorie de l’inflation. Par la suite nous verrons les solutions apportées.

Les problèmes du modèle de Friedmann

Réécrivons l’équation de Friedmann 1.14 en négligeant la constante cosmologique (`a l’époque de l’inflation, ΩΛ était négligeable devant Ωm) : a˙ = 8πG ρa2 − Kc2 (1.38)
Ainsi, en utilisant le paramètre cosmologique ΩT défini par l’équation 1.23, on obtient aisément : (ΩT−1 − 1)ρ(t)a(t)2 = (ΩT−01 − 1)ρ0a02 (1.39)
En considérant que l’Univers est dominé par la radiation pour z > zeq , et est dominé par la matière pour z < zeq , l’équation précédente utilisée deux fois et combinée aux équations 1.35, 1.37, 1.18 nous donne : T0 −2 (ΩT−1 − 1) = (ΩT−01 − 1)(1 + zeq )−1 (1.40) T o`u T et ΩT sont respectivement la température et le paramètre de densité au temps t << teq . Si on exprime l’équation précédente en fonction de la température Tp au temps de Planck, on obtient : (ΩT−1 − 1) = (Ω0−1 − 1)10−60 (1.41)
En admettant que de nos jours ΩT 0 ‘ 1, qui implique |Ω−T01 − 1| ‘ 1, alors l’équation précédente montre que ΩT a dˆu ˆetre extrˆemement proche de l’unité au voisinage du Big-Bang. On peut vérifier qu’au temps de Planck on a |Ω−1 −1| ‘ 10−60. Cela semble TP ˆetre une co¨ıncidence extraordinaire car dans le modèle standard aucun processus ne peut expliquer ΩT = 1, ΩT doit ˆetre considéré comme une condition initiale. Ce problème du modèle standard est couramment appelé “problème de la platitude”.
Intéressons-nous maintenant à un autre problème du modèle standard qui est celui dit de l’horizon cosmologique. L’ˆage fini de l’Univers ainsi que la vitesse finie de la lumière impliquent qu’il existe une distance maximale parcourue par un photon depuis l’origine (deux points séparés de plus de cette distance ne peuvent en aucun cas échanger de l’information, ils ne sont pas liés causalement) . Cette distance, appelée “horizon” dépend de la fa¸con dont ce déroule l’expansion de l’Univers. La dimension angulaire de l’horizon à l’époque du découplage (et donc de l’émission du CMB) du point de vue d’un observateur actuel, est voisin de 2o. Le problème vient du fait que les observations du fond diﬀus cosmologiques montrent que la température n’excède nulle part des variations relatives de 10−5, or il n’y a aucune raison pour que deux points non causalement connectés soient à la mˆeme température.
Le dernier problème que nous mentionnons est celui de la génération des struc-tures. L’Univers n’étant pas homogène à petite échelle, il a existé des petites inho-mogénéités primordiales qui ont donné les structures que nous observons. On peut montrer que si les perturbations avaient été créées à l’intérieur de l’horizon “standar-d” (c’est à dire celui prédit par le modèle standard), alors elles n’auraient pas eu le temps de croˆıtre et nous n’observerions pas les structures actuelles. Elles ont donc été produite à l’extérieur de l’horizon “standard”. Seuls les défauts topologiques peuvent produire des perturbations à l’extérieur de l’horizon, mais l’analyse de l’amplitude des anisotropies du CMB en fonction de l’échelle montre que les défauts topologiques à eux seuls ne sont pas responsables des fluctuations dans l’Univers.

Les principes de l’inflation

La théorie de l’inflation s’appuie sur les modèles de théorie des champs de la physique des particules qui prédisent l’existence de champs scalaires lors des brisures spontanées de symétrie. La densité d’énergie dans l’Univers au moment de l’inflation est dominée par le potentiel V (φ) du champ scalaire homogène φ relatif à la séparation des interactions forte et électrofaible. La relation entre le lagrangien du champ scalaire et le tenseur Tij permet de calculer les expressions de la densité ρφ et de la pression pφ du champ : pφ = 21 φ˙−V(φ) ρφ = 2 φ+V(φ) (1.42)
On obtient à partir des équations de Friedmann les relations suivantes : ¨ ˙ 0 (φ) (1.43) φ+3Hφ=−V
et 8 πG 1 Kc2 Λc2
H2 = V(φ)+ φ˙ − + (1.44)
Nous allons par la suite négliger d’une part la courbure (nous verrons pourquoi par la suite) et d’autre part la constante cosmologique puisqu’on a vu qu’elle était extrˆemement petite à l’époque.
L’expansion de l’Univers est exponentielle si H est constant au cours du temps, donc d’après 1.44 si φ ‘ 0 et si V (φ) est constant. Ainsi, le champ doit ˆetre piégé dans un minimum local.
De manière générale, pour que l’inflation dure suﬃsamment longtemps.
On se place dans le cas o`u la variation du champ au cours du temps est négligeable devant le potentiel. L’ensemble de ces conditions sont appelées “conditions de roule-ment lent” o`u “slow roll approximation”. Les équations 1.43 et 1.44 deviennent, dans cette approximation : ˙ V 0(φ) (1.47) φ = − 3H et 8πG H2 = V (φ) (1.48)
Nous pouvons définir les paramètres de roulement lent qui caractérisent l’inflation :
mpl2 2
(φ) = V 0(φ)
16π V (φ) (1.49)
mpl2
V 0(φ)
η(φ) = 8πV 00 (φ)
La condition de roulement lent implique << 1 et |η| << 1. La solution des équations 1.48 et 1.47 est une expansion exponentielle de l’Univers. Dans le cas général, les modèles d’inflation prédisent a¨ > 0.
L’inflation s’arrˆete brusquement lorsque le champ φ sort du minimum local de poten-tiel.

Les solutions aux problèmes du modèle standard

Les problèmes du modèle standard que nous avons évoqués précédemment sont résolus dans le cadre de la théorie de l’inflation. Prenons le cas o`u la condition de roulement lent est satisfaite (la démarche restera valable dans le cas plus général : a¨ > 0). L’Univers se comporte alors comme en présence d’une constante cosmologique pure en l’absence de matière. Ainsi, le paramètre de densité totale au moment de l’inflation est bien décrit par : ΩT = Λeﬀ (1.50)
Supposons que l’Univers possède une courbure non négligeable juste avant l’inflation.
En utilisant l’équation 1.23 et l’équation de Friedmann 1.14 avec ρ = 0 on obtient : af 2 −1 −1 (ΩTi − 1) = (ΩTf − 1) (1.51) ai o`u ΩTi et ΩTf sont respectivement les paramètres de densité totale avant et après l’inflation. On peut constater que ΩT s’approche rapidement de 1 en fonction du temps. La courbure devient alors négligeable dès les premiers instants de l’inflation et s’en suit une croissance exponentielle du paramètre d’échelle faisant encore plus rapidement tendre vers 1 le paramètre ΩT . Les observations nous indiquent une durée de l’inflation telle que la densité d’énergie totale doit ˆetre extrˆemement proche de la densité critique. Le problème de la platitude est donc résolu dans le cadre de l’inflation, qui prédit ΩT ‘ 1.
Qu’en est-il du problème de l’horizon ? Tout d’abord, définissons le rayon de Hubble comme la distance propre par rapport à nous des points se dépla¸cant à la vitesse de la lumière du fait de la simple expansion de l’Univers. Ces points sont fixes en coordonnées comobiles (c’est à dire Δr = 0). Le rayon de Hubble est donné par : dH = c (1.52) H−1
Considérons maintenant deux points dans l’espace, de coordonnées comobiles constantes, placés à l’intérieur de l’horizon avant l’inflation. Au moment de l’inflation, la distance propre entre ces deux points, tout comme l’horizon, va s’accroˆıtre de plus en plus ra-pidement car a¨ > 0. Au bout d’un certain temps, la vitesse propre d’un des points par rapport à l’autre va dépasser la vitesse de la lumière et leur distance sera supérieure au rayon de Hubble. Ainsi, le rayon de Hubble en coordonnés comobiles dH /a décroˆıt au cours du temps, la décroissance est mˆeme exponentielle si H est constant. Pla¸cons-nous après l’inflation. L’horizon “standard” prédit par les modèles de Fried-mann est de l’ordre de grandeur du rayon de Hubble. En réalité on a vu que l’horizon est beaucoup plus grand, suﬃsamment pour expliquer la grande homogénéité du CMB sur le ciel. La figure 1.5 montre l’évolution du rayon de Hubble en coordonnées comobiles.
Concernant le problème des fluctuations primordiales de densité dans le modèle standard, l’inflation permet d’expliquer leur génération à l’intérieur de l’horizon ainsi que leur croissance, comme on va le voir dans la prochaine section.

Les fluctuations dans l’Univers

Nous avons jusqu’`a présent supposé que l’Univers est homogène et isotrope. Cette supposition est tout à fait valide à grande échelle et permet de traiter l’évolution de l’Univers dans le cadre de la relativité générale. En revanche, l’existence des structures telles que les étoiles, les galaxies, ou les amas de galaxies suggère la formation de petites fluctuations au début de l’histoire de l’Univers, fluctuations à l’origine des anisotropies du fond diﬀus cosmologique. Nous nous intéressons dans cette partie à l’origine et à l’évolution des fluctuations primordiales

Table des matières

Introduction
1. Cadre théorique du fond dius cosmologique
1.1 Les modèles cosmologiques
1.1.1 Le principe cosmologique
1.1.2 La relativité
1.1.3 La métrique de Robertson-Walker
1.1.4 Quelques propriétés de l’Univers homogène et isotrope
1.1.5 Les équations de Friedmann
1.1.6 Les modèles de Friedmann
1.2 L’histoire de l’Univers
1.2.1 Le Big-Bang
1.2.2 L’égalité matière-radiation
1.2.3 L’histoire thermique de l’Univers
1.3.1 Quelques grandeurs statistiques
1.3.2 Les perturbations cosmologiques
1.3.3 La matière dans l’Univers
1.3.4 Evolution des perturbations
1.4 Les anisotropies du fond dius cosmologique
1.4.1 Le spectre spatial de puissance du CMB
1.4.2 L’empreinte des uctuations sur le fond dius cosmologique
1.4.3 Influence des paramètres cosmologiques
1.4.4 Mesures actuelles
2. Les émissions d’avant plan
2.1 Les émissions galactiques
2.1.1 Quelques grandeurs utiles
2.1.2 La poussière interstellaire
2.1.3 L’émission synchrotron
2.1.4 L’émission Bremhsstralung
2.2 Les composantes extragalactiques
2.2.1 Les sources extragalactiques
2.2.2 L’eet Sunyaev-Zel’dovich
3. Modélisation d’observations du CMB
3.1 La mission Planck
3.1.1 Les objectifs scientiques
3.1.2 La stratégie d’observation
3.1.3 Les instruments de Planck
3.2 Modèle des observations dans le domaine millimétrique
3.2.1 Modèle simple des émissions astrophysiques
3.2.2 Modèle des observations
3.2.3 Les cartes d’observations
4. Les méthodes de séparation de composantes
4.1 Les méthodes \classiques » de séparation de composantes
4.1.1 L’approche Bayésienne
4.1.2 Le maximum de vraisemblance
4.1.3 L’ajout d’a priori sur les composantes
4.1.4 Les méthodes d’inversion dérivées de la méthode de Wiener
4.2 Les méthodes de séparation de composantes en aveugle
4.2.1 L’analyse en composantes indépendantes
4.2.2 Les méthodes utilisées au sein de la communauté \CMB »
5. Séparation de composantes et effets systématiques
5.1 Modélisation des effets systématiques
5.1.1 Modèle simple dans les données ordonnées en temps
5.1.2 Un modèle pour les cartes d’observations
5.2 Simulations de petites cartes d’observations de Planck HFI
5.2.1 Simulation des composantes astrophysiques
5.2.2 Simulation des séries temporelles de mesure
5.2.3 Les cartes simulées
5.3 Généralisation des méthodes de séparation de composantes – application aux données simulées
5.3.1 Implantation et application de la méthode de Wiener généralisée sur les simulations d’observations de Planck HFI
5.3.2 Résultats
6. L’estimation spectrale multi-détecteurs multi-composantes
6.1 Introduction
6.2 Ajustement spectral multi-détecteurs multi-composantes
6.2.1 Statistiques spectrales
6.2.2 La méthode
6.2.3 La méthode de maximisation
6.2.4 Prédiction des erreurs et de la qualité de l’ajustement
6.2.5 Les applications de la méthode MDMC
6.3 Tests et performances
6.3.1 Application sur des petites cartes carrées simulées
6.3.2 Application sur des simulations d’observation de l’ensemble du ciel par Planck
7. Application aux données de la mission Archeops
7.1 Présentation de l’expérience
7.1.1 La stratégie d’observation
7.1.2 L’instrument
7.1.3 Premiers résultats d’Archeops – spectre de puissance
7.2 Prétraitement des données et fabrication des cartes pour l’ajustement spectral MDMC
7.2.1 Les signaux parasites
7.2.2 Le prétraitement des données
7.2.3 La fabrication des cartes
7.3 La méthode d’ajustement spectral appliquée a Archeops
7.3.1 La préparation des données pour l’ajustement spectral
7.3.2 L’application
7.3.3 Les principaux résultats
7.3.4 Contraintes apportées par la mesure de la matrice de mélange
7.3.5 Le spectre de puissance du CMB
Conclusion
Annexe
A. L’algorithme EM et la vraisemblance
B. La divergence de Kullback entre deux matrices