La loi fondamentale des stratifiés

„ Maintenant, on peut procéder au calcul des actions internes; compte tenu des hypothèses faites et de leurs conséquences, en particulier de l’absence de contraintes en direction z, les seules actions interne qu’on peut calculer avec ce modèle mécanique sont les actions de membrane et celles de flexion, à savoir les efforts normaux et tangentiels dans le plan moyen et les moments fléchissants et de torsion du plan moyen. Ceux-ci sont indiqués en figure „ Évidemment, les actions internes sont des forces et des moments par unité de longueur. „ A remarquer que pas tous les auteurs utilisent la même nomenclature et même pas la même convention sur les signes (par exemple Jones). „ Celle adoptée ici est cohérente avec la définition même de moment fléchissant ou de torsion, à savoir est celle qu’on obtient naturellement en développant les calculs indiqués ci de suite, dans le repère adopté (comme dans Lekhnitskii ou Vinson-Sierakowski; Vasiliev et Morozov utilisent, de leur côté, un repère orienté négativement). „ La définition des actions internes est classique et immédiate: si h est l’épaisseur du stratifié, alors „ En termes de composantes, en utilisant encore la notation de Voigt, il est , . 2 2 2 2 ∫ ∫ − − = = h h „ La nature de tenseurs du second ordre de N et M découle directement de leur définition. „ Le lien entre actions internes et déformations s’obtient en injectant dans les relations ci-dessus la loi de comportement discutée auparavant, et en faisant l’intégration sur l’épaisseur. Dans ce faire, il faut tenir compte du fait, et c’est un point essentiel, que le stratifié est composé de plusieurs couches, en général différente et diversement orientées par rapport au repère global {x,y,z}. „ L’intégration doit être donc coupées en autant de parties distinctes que le nombre de couches composant le stratifié et dans chacune de ces parties il faut prendre en considération la rigidité propre au pli et à son orientation, qu’on appellera δ.

Les tenseurs normalisés

„ Les trois tenseurs A, B et D ont des dimensions différentes: „ Par conséquent, les trois tenseurs ne sont pas directement comparables. „ En outre, ces tenseurs sont des tenseurs de rigidité qui décrivent la réponse élastique d’un stratifié ayant une épaisseur totale h. „ Or, le but principal, déjà annoncé, de la théorie classique est celui de donner une loi capable de simuler le comportement élastique du stratifié multicouches comme si celui-ci était constitué par une seule couche, ayant l’épaisseur totale du stratifié (c’est donc une théorie monocouche). [ ] [ ] [] [] [] [ ] FL (N m). F (N), F/L (N/m), = = = D B A 318 Copyright P. Vannucci – UVSQ paolo.vannucci@meca.uvsq.fr Les tenseurs normalisés „ Les trois tenseurs décrivent donc le comportement élastique de ce monocouche élastiquement équivalent au stratifié. „ On peut donc se poser la question suivante: quelles sont les caractéristiques élastiques du matériau factice constituant ce monocouche élastiquement équivalent au stratifié? „ Comme on s’est réduit à un monocouche, donc homogène, même si en général anisotrope, la réponse se trouve directement dans la théorie des plaques homogènes (pour B c’est conventionnel): les caractéristiques élastiques de ce matériau factice se trouvent à partir des tenseurs de rigidité par le biais des opérations suivantes „ Le symbole * indique donc les tenseurs normalisés il est simple de constater que les tenseurs normalisés ont tous les mêmes dimensions, celles d’un module [FL-2], (MPa), et donc ils sont directement comparables. , 2 , 12 . 2 3 h h h D D* B B* A A* = = = 160 319 Copyright P. Vannucci – UVSQ paolo.vannucci@meca.uvsq.fr Les tenseurs normalisés „ En effet, la significations mécanique des tenseurs normalisés est d’être des tenseurs d’élasticité du matériau élastique factice constituant le monocouche équivalent. „ Or, en général on a que A* est différent de D*, ce qui signifie qu’en réalité c’est comme si le monocouche équivalent était constitué par deux matériaux factices différents, un pour le comportement de membrane et un autre pour celui de flexion: ces deux comportement sont différents (ceci est vrai, évidemment, même pour le couplage, mais dans ce cas l’interprétation est moins directe). „ Dans d’autres termes, on a en général à faire avec une plaque qui peut, par exemple, être orthotrope en membrane et en flexion, mais avec des axes d’orthotropie tournés; ou encore, un stratifié peut être isotrope en membrane et complètement anisotrope en flexion et ainsi de suite. „ En outre, même les composantes de rigidité des matériaux factices, par exemple leurs constantes techniques, sont différentes. 320 Copyright P. Vannucci – UVSQ paolo.vannucci@meca.uvsq.fr Ef Em Les tenseurs normalisés „ Concrètement, ceci implique qu’un même échantillon obtenu d’un stratifié et soumis à des tests de laboratoire, montrera des valeurs différentes, par exemple, du module d’Young équivalent, dans un test de flexion et dans un test de traction. „ Le comportement élastique d’un stratifié vu comme un corps équivalent homogénéisé à un monocouche est donc celui d’un corps complexe, qui se caractérise par un couplage membrane-flexion et par un différent comportement élastique en membrane et en flexion. „ Un exemple est celui de la figure à côté, qui montre le diagramme directionnel du module d’Young en membrane (orthotrope) et en flexion (anisotrope) du même stratifié (séquence [30°/-30°/0°/ -30°/30°] en verre-époxyde).