La loi de comportement

Cours la loi de comportement, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

INTRODUCTION

LES PHYSICIENS

ont depuis des siècles tenté de mettre en équations le comportement de la matière. Plus ou moins générales, précises ou robustes, ces modélisations s’appuient sur la représentation du phénomène de déformation à l’aide de champs vectoriels et de tenseurs. Ceux-ci décrivent en particulier la déformation de l’objet ainsi que les contraintes internes qu’il subit. Des lois de comportement viennent ensuite lier les contraintes et la déformation qui en résulte. Ce chapitre présente succinctement cette modélisation physique et les équations principales que nous utiliserons dans les chapitres suivants. Le lecteur non familier avec les notations différentielles peut se reporter à l’Annexe A pour une brève introduction. Les modèles physiques présentés sont parmi les plus simples. Il ne prennent pas en compte des phénomènes tels que l’influence et la variation de la température à l’intérieur du matériau, la possible anisotropie de ce dernier, etc. Ils ne sont donc pas forcément les mieux adaptés à une simulation spécifique, mais ont l’avantage de la simplicité et de la polyvalence. Pour une présentation plus complète, le lecteur pourra se référer à [LL59, TG70] (académiques), [Ger62, Cia85] (en français), [Dar95] (clair et simple) ou [Fun65, CMP89, SBG96] (plus complexe). Citons aussi [MWTT98] qui détaille plus précisément les modèles de matériaux dédiés aux applications bio-médicales. Nous détaillons tout d’abord la modélisation des déformations en présentant deux modèles de déformation distincts. Nous présentons ensuite la modélisation des contraintes que subit le matériau puis la loi de comportement qui relie contraintes et déformations. Nous présentons enfin la façon dont sont exprimées les forces de frottement.

Le tenseur des déformations

Nous présentons ici deux façons de représenter les déformations que subit un matériau, l’une étant la version simplifiée de l’autre. Chacune va, pour représenter les déformations du matériau, définir en chaque point un tenseur des déformations, noté ε, plus ou moins complexe. Les deux modèles ont leurs intérêts et leurs inconvénients, aussi les comparons-nous par la suite.

Le tenseur de Cauchy

Le champ de déplacement
Les déformations d’un objet sont mesurées à partir d’une position initiale, qui est généralement la position de repos de l’objet dans laquelle aucune force n’est appliquée à l’objet. On définit alors le champ vectoriel déplacement, généralement noté u, qui est simplement pour chaque point le vecteur reliant sa position au repos à sa position actuelle dans la configuration déformée (voir Fig. 2.1). En chaque point, et à chaque instant, on définit donc : ut = pt p0 où l’indice désigne ici le temps et p la position du point dans un repère galiléen fixe.

Le tenseur de Green-Lagrange

Le repère lié au matériau
Pour le tenseur de Green-Lagrange,on définit deux systèmes de coordonnées,liés à deux repères différents : le repère du monde,fixe, et dans lequel seront mesurées les positions des points, et celui, local et lié au matériau, défini par la position de repos de l’objet. En l’absence de déformation, ces deux référentiels coïncident à une transformation rigide près. C’est leur “écartement”, encore une fois filtré par une dérivée spatiale, que va mesurer le tenseur des déformations de Green-Lagrange. On désignera par Ω le système de coordonnées lié au repère du matériau. Les dérivées par rapport à la i`eme coordonnée de ce repère seront donc notées ∂ ∂Ωi.