La formulation variationnelle d’un problème mécanique

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Traitement numérique du contact

La modélisation mécanique d’un assemblage est un problème multi-corps. En plus du contact avec les outils rigides [CFM02], il faut considérer le contact entre corps déformables. Il faut donc rajouter des conditions de contact supplémentaires à celles de l’équation (2.14). En eﬀet les sous-ensemble de Ω considérés dans la section (2.1) sont non seulement soumis aux conditions limites extérieures mais en plus aux interactions de contact.
Il est donc nécessaire de définir un outil numérique permettant de traiter ces deux types de contact. Le code EF utilise une technique basée sur une formulation nodale utilisant la méthode de pénalisation et reposant sur la construction d’éléments fictifs dans lesquels les équations de contact sont vérifiées. Le traitement du contact sera expliqué pour le cas du contact entre un corps déformable et un outil rigide. Le contact entre corps déformables sera abordé dans la sous-section (2.3.5)

Gestion incrémentale du contact

Connaissant les conditions de contact à l’instant t, le but est d’empêcher l’inter-pénétration des nœuds et de résoudre les équations de contact à l’instant t + dt. Pour tous les nœuds de la surface de contact, la condition de non-pénétration des nœuds en contact de Signorini à respecter est :
gn(t + dt) ≥ 0 (2.55) avec gn(t + dt) ≈ uoutil(t + dt) − u(t + dt) .n
uoutil étant le déplacement de l’outil et u celui du corps déformable de normale n.
Connaissant l’état du système Ωt à l’instant t, l’expression de gn(t + dt) devient par linéarisation d’ordre 1 : gn(t + dt) ≈ gn(t) + voutil(t) − v(t) .n(t)dt + O(dt2) (2.56)
La condition de non-pénétration (2.55) devient alors : h (v(t)) ≤ 0 ⇔ [h (v(t))]+ = 0 (2.57)
où h (v(t)) = v(t) − voutil(t) .n(t) − gn(t) et [h (v(t))]+ désigne sa partie positive. dt
La formulation de cette condition est explicite, c’est-à-dire que les variables de contact sont considérées constantes pendant l’incrément de temps dt. Cette formu-lation est alors approximative dès que la surface de l’outil présente une courbure quelconque puisque, dans ce cas, la distance de contact et la normale, par exemple, ne seront les même à l’instant t et à l’instant t+dt. Ce défaut est corrigé dans [Moc99] en reconsidérant le calcul de gn au début de chaque itération de Newton-Raphson.

L’algorithme de recherche des corps en contact

Avant de résoudre les équations de contact, il est nécessaire de rechercher les diﬀérentes interactions entre les surfaces en contact. Une méthode de hiérarchisation des facettes triangulaires décrivant la surface entrant en contact est alors utilisée.
Cette méthode se base sur la définition de sphères de taille croissante, la sphère de base étant définie par le barycentre d’une facette de l’outil rigide (ou du corps maître dans le cas du contact en corps déformable cf. section (2.3.4)) pour son centre et par la distance maximale entre ce barycentre et les trois sommets de cette facette pour son rayon. Les sphères de base les plus proches seront toutes englobées par une sphère plus grande et ainsi de suite jusqu’à atteindre une imbrication de trois sphères.
Une fois ces trois niveaux de sphères construits, on peut lancer l’algorithme de recherche de corps en contact consistant à trouver la sphère de troisième niveau (contenant les sphères de base et intermédiaires) la plus proche pour tous les nœuds frontières du corps déformable. De la même façon et au prix d’une nouvelle recherche, il s’agit de retrouver la sphère intermédiaire de niveau deux contenant plusieurs sphères de base. Chaque nœuds frontières se retrouve donc avec un ensemble de facettes de l’outil rigide, contenues dans ces sphères de base, avec lesquelles ils sont susceptibles d’être en contact.

La méthode de pénalisation

Plusieurs méthodes existent pour traiter numériquement le contact. Une des plus utilisées dans la pratique, la méthode de pénalisation, est de type direct, ce qui signifie que le contact est traité comme un problème préliminaire. Les contraintes calculées lors de l’étape de contact seront ensuite incorporées directement en tant qu’équation supplémentaire dans la formulation variationnelle du problème mécanique à résoudre sans pour autant rajouter d’inconnus. Ces contraintes de contact sont alors des forces surfaciques agissant à l’interface de contact ∂ΩC calculées à partir des équations de contact et de frottement et auront un rôle “répulsif” vis-à-vis du nœud esclave ayant pénétré dans la surface maître.
En eﬀet, bien que les conditions de contact doivent être vérifiées, il peut arriver que l’un des nœuds du corps déformable pénètre dans l’outil (cf. figure (2.10)). Il faut alors corriger sa position en lui imposant cette force répulsive.
La contribution supplémentaire Rcontact, représentant l’action du contact, appor-tée par la méthode de pénalisation sur le nœud NS et incorporée à la formulation variationnelle (2.39) est de la forme suivante : Rcontact = −ρ [h (vh(NS))]+ SNS (nNS .v) (2.58)
NsX∈ΩC ∂
où :
– ρ est le cœﬃcient de pénalisation.
– [h (vh(NS))]+ est la condition de non-pénétration (2.57).
– SNS est la surface de pondération associée au nœud esclave NS.
– nNS la normale sortante au nœud esclave NS
Le calcul de cette contribution s’eﬀectue directement sur nœud du corps défor-mable pénétrant dans l’outil contrairement au cas du contact déformable qui nécessite l’expression d’une matrice hessienne locale de contact dont la particularité première est de ne pas faire oﬃce de rigidité pour les éléments 3D volumiques de l’ensemble Ω mais uniquement pour les éléments fictifs de contact (cf. section (2.3.4)).
La surface de pondération SNs intervenant dans (2.58) représente la surface de contact associée au nœud Ns (cf. figure(2.11)). Elle est égale à : رSNs = 1 A(F i) (2.59) 3 F i
XΩC
∈
∂
où A(F i) est l’aire de la facette F i ∈ ∂ΩC dont le nœud Ns est l’un des sommets. Les triangles autour du nœud Ns de surface plus grande auront alors un impact plus fort dans le traitement du contact.
La formulation variationnelle peut être ré-exprimée en faisant intervenir la contri-bution du contact par la méthode de pénalisation (cf. equation (2.60)).

Table des matières

1 Le contexte
1.1 Différentes technologies d’assemblage
1.2 Le Projet MONA LISA
1.3 Objectifs de la thèse
1.4 Les assemblages par déformation plastique
1.4.1 Le rivetage plein
1.4.2 Le vissage standard
1.4.3 Le clinchage
1.4.4 Le sertissage
1.5 Approche fonctionnelle de l’élément équivalent
1.5.1 La simplification numérique d’un point d’assemblage
1.5.2 L’importance de la précision des résultats
1.5.3 La problématique du temps de calcul à l’échelle des structures
1.5.4 La rapidité de mise en oeuvre
1.5.5 La convergence numérique améliorée
1.5.6 L’exportation vers un code de calcul généraliste
1.6 Les différentes approches par élément équivalent
1.6.1 Les différents types de liaison
1.6.2 Exemples de modélisation simplifiée
1.7 Conclusion
2 La modélisation numérique complète
2.1 Modélisation du problème mécanique
2.1.1 Description du mouvement
2.1.2 Les équations de la mécanique
2.1.3 Les lois de comportement
2.2 La méthode des éléments finis
2.2.1 Discrétisation en éléments finis de l’espace
2.2.2 Les fonctions d’interpolation
2.2.3 Les éléments finis 2D
2.2.4 La formulation variationnelle d’un problème mécanique
2.2.5 Les équations discrètes
2.2.6 Résolution des équations discrètes
2.3 Traitement numérique du contact
2.3.1 Gestion incrémentale du contact
2.3.2 L’algorithme de recherche des corps en contact
2.3.3 La méthode de pénalisation
2.3.4 Les éléments fictifs
2.3.5 Le contact entre corps déformables
2.4 La simulation numérique de la rupture
2.4.1 Choix du type de modélisation
2.4.2 Les faciès de rupture
2.4.3 La modélisation de l’endommagement ductile
2.5 Conclusion
3 Mise en place d’un modèle équivalent
3.1 La méthotodologie
3.2 Construction d’une base de référence
3.3 Construction d’un élément équivalent
3.3.1 La représentation explicite physique
3.3.2 La représentation virtuelle
3.3.3 La formulation faible équivalente
3.4 le modèle explicite physique
3.4.1 La formulation faible explicite physique
3.4.2 Le modèle à identifier
3.4.3 Les différents cas-tests explicites physiques
3.4.4 Les résultats d’identification sur le modèle à un rivet
3.4.5 Le passage à deux rivets
3.4.6 Les limites du modèle
3.5 La représentation virtuelle
3.5.1 Création de la zone équivalente
3.5.2 Définition de la zone équivalente
3.5.3 Le cas élastique
3.5.4 Le cas élasto-plastique
3.5.5 Identification automatique des paramètres
3.6 Critère d’endommagement
3.6.1 Modélisation simplifiée de la rupture d’un point d’assemblage
3.6.2 Loi d’évolution équivalente de l’endommagement
3.6.3 Influence de la concentration de contraintes sur la variable d’endommagement
3.6.4 Résultats
3.7 Intégration d’une contrainte et d’une déformation plastique initiales dans le modèle virtuel
3.8 Conclusion
4 Identification de paramètres par optimisation
4.1 Généralité sur les problèmes d’optimisation
4.2 Les différents types d’algorithme d’optimisation
4.2.1 Méthode d’ordre 1
4.2.2 Les méthodes d’ordre 0
4.2.3 Algorithme d’optimisation employée : Stratégie d’Evolution avec Métamodèle
4.3 L’optimisation adapté à l’identification de l’élément équivalent
4.3.1 Définition d’une fonction coût
4.3.2 Définition des contraintes d’optimisation
4.4 Identification prenant en compte le passé thermomécanique – deux exemples
4.4.1 Géométrie des modèles complets
4.4.2 Les contraintes d’optimisation choisies
4.4.3 La modélisation numérique du procédé de rivetage
4.4.4 Le modèle complet à effort de pose 4,5t
4.4.5 Le modèle complet à effort de pose 9,5t
4.4.6 Identification des paramètres équivalents selon l’effort de pose
4.5 Conclusion
5 Le modèle connecteur
5.1 Nécessité d’un modèle connecteur
5.2 La représentation connecteur
5.3 La définition du connecteur
5.3.1 Le type de connecteur utilisé
5.3.2 Définition d’un repère local
5.3.3 La connexion “cartésienne”
5.3.4 La connexion “rotation”
5.3.5 Définition du comportement du connecteur
5.4 La modélisation par connecteur
5.4.1 La modélisation 3D complète
5.4.2 La modélisation en éléments coques
5.5 Résultats sur un cas à 1 rivet
5.5.1 Comportement global
5.5.2 Comportement local
5.5.3 Sensibilité à la taille de maille
5.5.4 Sensibilité à la taille des disques rigides
5.6 Conclusion
6 Validation sur essais multipoints
6.1 Les modèles complets multipoints
6.1.1 Le plan d’expérience
6.1.2 Le modèle complet numérique incluant les poses successives des rivets
6.2 Résultats multipoints
6.2.1 La configuration à trois rivets
6.2.2 La configuration N-S
6.2.3 La configuration O-E
6.3 Améliorations apportées par le modèle connecteur
6.4 Le temps de calcul
6.5 Conclusion
Bibliographie
Liste des Figures
Liste des Tableaux
A La structure du code EF modifiée avec l’élément équivalent
B Algorithme de l’élément équivalent – Les matrices élémentaires modifiées
C Du point de vue de l’utilisateur
C.1 Construction de la base de référence
C.2 Opération sur les maillages pour l’élément équivalent
C.3 Intervalle d’identification du comportement
C.4 Identification de l’élément équivalent
C.5 Mode multipoints
D Le choix du rayon pour le modèle connecteur
D.0.1 La configuration à trois rivets
D.0.2 La configuration N-S
D.0.3 La configuration O-E