Etude analytique

Depuis le chapitre bibliographique 1, nous avons vu que dès que l’amplitude des mouvements d’une structure, comme une passerelle, devient perceptible, le comportement de la foule n’est plus aléatoire mais une forme de synchronisation se développe. Le passage du régime aléatoire sur support xe, au régime synchronisé sur support mobile se produit lorsque l’on dépasse un certain seuil, caractérisé par une accélération critique. Evidemment, comme les accélérations, vitesses et déplacement sont liés, un seuil en accélération peut se traduire en seuil de déplacement.

Un autre critère, lié à l’accélération critique, est présent dans la littérature : le nombre critique de piéton Nc. L’accélération critique est l’accélération produite par le nombre critique de piétons ; ils marchent aléatoirement avant que les oscillations de la structure atteignent le seuil critique, puis sont contraints après. Après avoir présenté quelques unes des expressions du nombre critique trouvées dans la littérature pour le cas d’oscillations latérales de la passerelle, nous calculons analytiquement ce nombre, dans des cas particuliers, à partir des équations du modèle discret d’interaction foule-passerelle proposé. Nous déterminons aussi l’amplitude stationnaire post-critique du déplacement latéral de la passerelle ainsi que la fréquence de synchronisation.

Nous rappelons dans cette partie quelques unes des expressions du nombre critique trouvées dans la littérature pour le cas d’oscillations latérales de la passerelle. Ces expressions peuvent être classées en deux catégories : celles qui sont basées sur des équations données par Clough et Penzien [1], et celles qui ont été établies à partir d’une équation diérentielle gérant la phase totale de la force latérale engendrée par un piéton.

Des essais réalisés sur la passerelle du Millenium montrent que même si de plus en plus de personnes marchent sur la structure, aucun indice d’instabilité n’apparaît jusqu’à ce qu’un nombre critique Nc de piétons ne soit atteint [137]. Plusieurs auteurs ont essayé de relier ce nombre aux paramètres du comportement de la structure et de la foule. Certains d’entre euxrelles : la passerelle de Toda Park au Japon (T-bridge), la passerelle de Singapore Changi Airport (C-bridge) et la passerelle du Millenium à Londres. Des différences sont apparues entre les résultats théoriques et les résultats expérimentaux. D’après Roberts [138], ceci s’ex- plique par le fait qu’il y a deux phases de synchronisation. La première phase, stable, peut avoir lieu avec n’importe quel nombre de piétons, et l’amplitude des vibrations ne dépasse pas une valeur limite de 10 − 15 mm comme c’est le cas pour le C-bridge et le T-bridge. La phase instable a lieu lorsque l’amplitude des vibrations dépasse la valeur limite, ce qui a pour conséquence d’augmenter l’amplitude de la force latérale des piétons parce qu’ils changent leur façon de marcher. C’est ce qui a eu lieu pour le Millenium Bridge. Dans cette optique, Roberts [138] déduit que l’équation (5.4) correspond à la phase stable, alors que les deux autres équations (5.10) et (5.13) correspondent à la phase instable, l’équation (5.13) étant la plus générale car elle n’impose pas des valeurs aux paramètres.

Lorsque le système foule-structure atteint un état stationnaire, la densité des piétons, leur fréquence, ainsi que l’amplitude et la fréquence du déplacement de la passerelle ne varient plus en fonction du temps. On commence donc par supposer que la densité est constante en temps. La conséquence est que l’on peut étudier un cas où le nombre de piétons N est constant sur la longueur de la passerelle, et que les piétons marchent sur place. Pour le cal- cul du nombre critique, nous simplions le système (5.21) en posant θi(t) = 0, les piétons marchent rectilignement et parallèlement à l’axe principal de la passerelle. La procédure permettant d’établir l’expression du nombre critique est la suivante [137] : (i) nous faisons un changement d’échelle temporelle et une normalisation des variables an de mettre en évidence les termes petits et les termes dominants dans les équations du système ; (ii) ensuite, on passe aux coordonnées polaires an d’obtenir un système d’équations nous permettant d’appliquer la méthode de la moyenne. Le système obtenu après l’application de cette méthode donne l’évolution lente de l’amplitude et de la variable d’angle de la passerelle et du piéton ; (iii) en étudiant le cas de la synchronisation partielle, l’équation de la phase permet d’obtenir la condition de synchronisation piéton-structure sous la forme d’une inégalité ; (iv) en considérant le cas où la fréquence initiale des piétons suit une loi gaussienne, la résolution du système d’équations nal obtenu après les différentes étapes permet de trouver une expression du nombre critique de piétons Nc.