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1 Présentation des produits dérivés
1.1 Introduction aux marchés financiers
1.2 Titres de base et produits dérivés
1.2.1 Titres de base
1.2.2 Les contrats a terme
1.3 Caractéristiques financières des contrats d’options
1.3.1 Les options négociables
1.3.2 Les options de gré a gré
1.3.3 Utilité des produits dérivés
1.4 Les activités de marché d’une banque
1.4.1 Le Front office
1.4.2 Middle office
1.4.3 Le Back office
2 EVALUATION et COUVERTURE : La FORMULE DE BLACK et SCHOLES
2.1 Le message de Black, Scholes et Merton
2.1.1 Prix et couverture
2.1.2 Absence d’opportunité d’arbitrage
2.1.3 Incidence sur les prix de l’absence d’arbitrage
2.2 Evaluation et Couverture dynamique
2.2.1 Gestion dynamique
2.2.2 Quelques considérations de bon sens
2.3 Modélisation de la dynamique du sous-jacent : Le mouvement brownien géométrique
2.3.1 Définition et Propriétés
2.3.2 Interprétation financière des paramètres du modèle
2.4 Portefeuille dynamique
2.4.1 Portefeuille autofinancant écrit sur un sous-jacent risqué
2.4.2 Formulation mathématique du risque nul
2.5 Evaluation par équation aux dérivées partielles
2.5.1 L’EDP d’évaluation
2.5.2 Extensions
2.5.3 Interprétation financière de l’EDP d’évaluation
2.6 La formule de Black et Scholes
2.6.1 Résolution de l’EDP
2.6.2 Les formules fermées
2.6.3 Propriétés du prix des Calls et des Puts
2.6.4 Les grecques
2.7 Implémentation de la formule
2.8 Volatilité
2.8.1 Précisions sur la volatilité
2.8.2 Volatilité historique
2.8.3 La volatilité implicite
2.8.4 Volatilité implicite et Risk-management
2.9 Le smile
2.9.1 Smile et options exotiques
2.10 Exemples de Produits Structurés sur indices
2.10.1 Motivation
2.10.2 Définition et caractéristiques des produits
3 Options barrieres
3.1 Introduction
3.2 Formule de symétrie dans la formule de Black et Scholes
3.2.1 Formule de symétrie Call-Put sans cout de portage
3.2.2 Principe de symétrie dans le cas général
3.3 Options barrieres
3.3.1 Caractéristiques générales
3.3.2 Pricing et Réplication d’une option Up In regular
3.4 Application aux Calls, Puts et Binaires
3.4.1 Evaluation des options UIB
3.4.2 Le cas de Put
3.5 Delta-hedging des options barrieres
3.5.1 EDP d’évaluation
3.6 Quelques applications mathématiques
3.6.1 Loi du temps d’atteinte TH de la barriere haute
3.6.2 Loi du maximum, ou du minimum
3.7 Les options lookback
3.8 Appendice
3.8.1 Réplication en maturités
3.8.2 Evaluation des options barrieres Out en cas de paiement de dividendes
4 Arbitrage statique, distribution et difusion implicites
4.1 Introduction
4.2 Arbitrage statique
4.2.1 Incidence sur les prix de l’absence d’arbitrage statique
4.2.2 Arbitrage international
4.3 Systeme de prix viable et arbitrage
4.3.1 Propriétés des prix des produits dérivés
4.4 Les prix comme espérance : le point de vue statique
4.4.1 Arbitrage statique et prix d’états
4.5 Applications probabilistes
4.5.1 Fonctions convexes et formule d’Ito
4.5.2 Temps local et densité
4.5.3 Applications a la réplicatiopn statique des options barrieres UI
4.6 La difusion implicite de Dupire
4.6.1 Les entrées du problemes
4.6.2 Une étude directe
4.6.3 Calcul de la fonction de volatilité : l’EDP forward
4.6.4 Di usion implicite
4.6.5 Le vrai probleme de calibration
5 L’éVALUATION ET LA COUVERTURE DES OPTIONS sur MULTI SOUS-JACENTS
5.1 Introduction
5.2 Portefeuilles et auto nancement
5.2.1 Le cadre
5.2.2 Portefeuille auto nancant
5.3 Absence d’Opportunités d’arbitrage et rendement des titres
5.3.1 Arbitrage
5.3.2 Contraintes sur la dynamique des titres
5.4 Numéraire
5.4.1 Arbitrage et numéraire
5.4.2 Primes de risque et changement de numéraire
5.4.3 Le numéraire de marché
5.5 Evaluation et couverture
5.5.1 Prix des produits dérivés atteignables
5.5.2 Marché complet
5.5.3 Probabilité risque-neutre, ou mesure-martingale
5.5.4 Numeraire et changement de probabilité
5.6 La formule de Black et Scholes Revisitée
5.6.1 Portefeuille associé a un titre versant un dividende
5.6.2 Les probabilités d’exercice
6 Arbitrage multidevise : Application aux options quanto
6.1 Arbitrage multidevise
6.1.1 Principe général d’évaluation
6.1.2 Application aux options quanto
6.2 Dynamique des produits nanciers et primes de risque
6.3 Options sur un marché étranger : Les options quanto
6.4 Les formules fermées d’évaluation des Call quanto
6.4.1 La formule de Black
6.4.2 Options d’achat sur action étrangere avec strike en monnaie domestique
6.4.3 Options d’achat sur devise
6.5 Les options sur actions étrangeres avec taux de change xé
7 Marchés a termes, Produits dérivés sur Matieres Premieres, par Julien Samaha, Crédit Lyonnais
7.1 Présentation des marchés
7.1.1 Marchés de contrats a terme
7.1.2 En quoi ces marchés sont-ils di érents?
7.1.3 Qui sont les acteurs sur ces marchés?
7.1.4 Principaux facteurs
7.2 Analyse des prix
7.2.1 Arbitrage cash-and-carry
7.2.2 Rendement d’opportunité (convenience yield)
7.2.3 Report (contango) et déport (backwardation)
7.2.4 Analyse en composantes principales
7.2.5 Autres propriétés statistiques
7.3 Produits dérivés sur matieres premieres
7.3.1 Swaps
7.3.2 Options Asiatiques
7.3.3 Options sur spread
7.3.4 Options exotiques
7.4 Modélisation des prix a terme de matieres premieres
7.4.1 Un exemple simple de modele de courbe : le modele de Schwartz 1-facteur
7.4.2 Exemple de modele spot 2-facteurs : les modeles de Gibson-Schwartz et Schwartz-Smith
8 LES MODELES CLASSIQUES DE TAUX
8.1 La formation des taux d’intéret
8.1.1 L’importance de la Banque Centrale
8.1.2 Formation des taux longs et anticipation des agents
8.1.3 Spreads et qualité de signature
8.1.4 Les principaux taux xes ou variables du marché francais
8.2 Taux d’intéret et absence d’arbitrage
8.2.1 Généralités sur les taux d’intéret
8.2.2 Prix et taux a terme
8.3 Absence d’arbitrage et modélisation des taux
Chapitre 1 Présentation des produits dérivés
1.1 Introduction aux marchés financiers
Une révolution de grande ampleur a eu lieu depuis une trentaine d’années sur les marchés nanciers, suite a une politique afirmée de dérégulation. Ce nouveau paysage nancier est né notamment des déséquilibres et des incertitudes qui present sur les relations économiques internationales depuis le début des années 1970 (endettement des pays en voie de développement, instabilité des taux de change). Le développement de l’ination et la grande volatilité des taux d’intéret ont perturbé les anticipations des investisseurs. D’autre part, l’internationalisation des capitaux, les progrées technologiques en informatique et communication ont modi é les relations entre les différentes places financieres : New-York, Londres, Tokyo, etc. . . : il est maintenant possible a tout instant d’intervenir sur tous les marchés.
En France, les réformes ont commencé a la mi-1984 avec comme objectifs, le décloisonnement des marchés et la création d’un unique marché des capitaux, la modernisation des réseaux nanciers.
Un élément majeur de cette politique a été la création de deux marchés nanciers tres actifs, et avec de grandes liquidités, sur lesquels vont ^etre négociés de nouveaux instruments nanciers :
{ le MATIF ou Marché a Terme International de France (1985) (d’abord nommé Marché a Terme des Instruments Financiers) et actuellement membre d’Euronext.
{ le MONEP ou Marché des Options Négociables de Paris (1987).
Les utilisateurs de ces nouveaux instruments de trésorerie forment un éventail tres vaste : entreprises industrielles et commerciales, sociétés d’assurance, banques, caisses d’épargne . . . Ces nouveaux instruments viennent au secours des investisseurs pour contrebalancer l’instabilité des parametres de marché, comme les taux d’intér^et, les taux de change etc…
1.2 Titres de base et produits dérivés
1.2.1 Titres de base
L’activité financiere se développe a travers un certain nombre d’instruments tels que la circulation de monnaie exprimee dans différentes devises, les opérations de prets et d’emprunts qui sont assorties de paiements d’intérets dépendant de la maturité des opérations, et bien s^ur des actions émises par les entreprises qui reetent leur capitalisation. Des indices ont été créés (SP500, CAC 40..) a n de permettre aux investisseurs étrangers d’avoir une information rapide sur le niveau économique et le comportement des actions d’un pays.
La tres grande variabilité de ces parametres ou de ces titres a conduit naturellement a une demande de transfert des risques de la part d’un certain nombre d’intervenants, comme les entreprises industrielles, les compagnies d’assurance….. Les banques jouent évidemment un role fondamental dans cette transformation, notamment en proposant un certain nombre de produits financiers, qui seront appelés produits dérivés.
Elles peuvent d’ailleurs utiliser elles-m^eme ces produits dans leur gestion pour compte propre.
Ces produits \d’assurance » existent de fait depuis fort longtemps, puisqu’on a trouvé la description de contrats a terme sur le blé dans des textes de l’Antiquité. Il y avait aussi un marché de contrats a terme sur les métaux tres actif a Amsterdam au 18eme siecle. Mais l’existence de marchés organisés (le premier est créé a Chicago en 1973) organisés pour diminuer le risque de contrepartie sur des opérations dénouées dans le futur, contribue a faciliter l’accés par un grand nombre d’intervenants a ce genre de produits. En France, le MATIF et le MONEP ouvrent entre les années 1985-1987.
Nous distinguerons les contrats a terme et les produits optionnels, que nous retrouverons en fonction de la nature du sous-jacent sur lequel ils sont écrits dans différents marchés :
– Le marché des changes : achat/vente de devises
– le marché des matieres premieres : métaux, pétrole, denrées agro-alimentaires…
– le marché des actions et des indices boursiers
– le marché des taux d’intéret
1.2.2 Les contrats a terme
Une opération a terme est une opération au comptant différée dans le temps : l’acheteur et le vendeur se mettent d’accord sur les conditions d’un échange, qui s’effectuera a une date future précisée par le contrat, dite la maturité .
1. Les conditions de l’échange sont dé finitivement axées a la date ou le contrat est noué, mais l’échange d’argent n’a lieu qu’a maturité. Ces contrats peuvent porter aussi bien sur des tonnes de pétrole, des instruments nanciers, ou tout autre bien dont la qualité ou la quantité sont clairement spéciees.
2. A la date d’échéance, il peut y avoir livraison physique du sous-jacent, contre le paiement de la totalité de la somme prévue dans le contrat. On parle de \physical settlement ». Il est aussi possible que les contreparties n’échangent que la différence entre la valeur de marché du titre a l’échéance et le cours garanti. On parle de \cash settlement ».
3. Il y a un risque de voir la contrepartie avec laquelle on a noué le contrat ne pas satisfaire a ses obligations. C’est le risque de non-excécution ou de contre-partie. Son élimination a conduit les marchés nanciers a adopter des regles de fonctionnement concernant ces contrats légérement di érentes. On parle alors de contrat futures.
4. Les contrats a terme sont symétriques, c’est a dire qu’ a priori chaque contrepartie a autant de chances que l’autre de gagner ou de perdre de l’argent dans le futur.
5. Pour les intervenants, l’intéret des contrats à terme est de connaitre le cours d’une opération dans le futur. Il s’agit dans ce cas d’une opération de couverture :
Exemple :
Un industriel européen sait qu’il doit recevoir en dollars une forte somme d’argent, dans trois mois. A n de ger la quantité dont il peut disposer, il achete un contrat a terme, d’échéance trois mois sur le dollar, en Euros.
Il s’agit donc d’une forme de couverture du risque de change, qui toutefois peut ne pas lui etre favorable, si dans trois mois le contrat c^ote moins que le taux de change.
6. Toute opération dans le futur peut etre mise en place à des ns de spéculation. Un opérateur qui anticipe (contre le marché) un certain type de mouvement peut acheter un contrat en espérant réaliser un gain.
7. Comme le souligne Aftalion et Poncet, ces marchés jouent aussi un role important en terme de di usion de l’information. Les prix a terme re etent en un certain sens les prévisions des participants du marché, meme si nous verrons que des arguments d’arbitrage les contraignent de maniere importante.
8. Un autre risque est présent en permanence sur les marchés a terme : c’est le risque de liquidité.
Un intervenant qui voudrait échanger son contrat a une date antérieure a l’échéance peut ne pas trouver rapidement de contrepartie.
Les marchés organisés ont essayé de mettre en place des regles de fonctionnement qui limitent a la fois le risque de contrepartie et de liquidité. Ces risques restent importants dans les marchés de gré a gré.
9. Les produits dérivés permettent aussi de faire le lien entre di érents marchés, (taux, change, actions) de telle sorte que l’ensemble des prix disponibles forment un tout cohérent.
En e et, des combinaisons de plusieurs opérations sur différents marchés peuvent permettre de gagner de l’argent à coup sur sans prendre aucun risque : On réalise ce qu’on appelle un arbitrage.
La présence de nombreux professionnels très compétents dans les salles de marché aboutit par la loi de l’offre et de la demande à des ajustements de prix qui réduisent ces possibilités d’arbitrage.
Nous verrons que cette \loi » des marchés liquides est a la base de la modélisation mathématique que nous présenterons dans les chapitres suivants.
1.3 Caractéristiques financieres des contrats d’options
1.3.1 Les options négociables
Une option est un contrat qui permet a son détenteur d’acheter ou de vendre une certaine quantité d’un bien ou un actif a un cours convenu a l’avance, appelé prix d’exercice (Strike), a (ou jusqu’a) une date xée, dite échéance de l’option.
En contrepartie, l’acheteur verse immédiatement au vendeur de l’option une prime qui est le prix de l’option.
Les options européennes sont les options exercées seulement le jour de l’échéance, et les options américaines celles qui peuvent ^etre exercées a tout moment avant leur échéance. Les options cotées sur le marché a Paris sont américaines, mais les options de gré a gré sont souvent européennes.
Chaque contrat porte sur un nombre xé d’actifs supports : 100 dans le cas des actions. Dans le cas du MONEP, il s’agit essentiellement d’options sur actions, ou éventuellement sur le CAC 40, qui est un indice re étant le marché des actions en France. Dans le cas du MATIF, les options portent sur les contrats a terme sur taux PIBOR, ou sur le Notionnel, qui est un titre ctif de maturité dix ans, versant des coupons de 10%.
Les options d’achat et de vente
Les options traitées sont essentiellement des options d’achat (call) ou de vente (put). Chaque contrat porte sur un nombre xé d’actifs supports (100 dans le cas des actions). Le prix, xé dans le contrat auquel l’opération peut se faire s’appelle le prix d’exercice, ou strike.
Les opérations sur les options
Achat d’une option d’achat :
L’acheteur paye au vendeur une prime qui lui donne le droit d’acheter a la date d’échéance de l’option, 100 actions a un prix d’exercice convenu a l’avance. C’est le principe d’une » promesse de vente ». Ce droit n’est \exercé » que si les cours ont monté et dépassé le prix d’exercice . Les risques sont limités a la prime payée, et les gains dépendent de l’écart entre le prix d’exercice et le cours a l’échéance.
Exemples
Par exemple, le Vendredi 28 Mai 1993 le CAC 40 cote 1904:58 pts. A l’échéance Juin 1993, pour un prix d’exercice de 1925 pts, la prime d’un option d’achat est de 28 pts, pour un prix d’exercice de 1875 , la prime est de 55pts. Si a la date d’échéance, les cours ont monté a 1950pts, l’option est exercée : on achete le CAC a 1925 pts et on peut le revendre tout de suite a 1950 pts, soit un béné ce net par titre support de 25 pts.
Mais il ne faut pas oublier qu’on a payé une prime a la date du 28 Mai, ce qui correspond a l’échéance a 28(1+R) pts, ou R est l’intéret a payer entre le 28 Mai et l’échéance. Pour celui qui a acheté l’option, l’opération n’est gagnante, que si les cours ont monté a un niveau supérieur a 1925+ 28(1+R) pts.
Ce meme jour, les options de vente de meme échéance et de prix d’exercice 1950 pts, sont cotées 47 pts et celles de prix d’exercice 1875 pts sont c^otées 3:50 pts.
Autre exemple Le Jeudi 28 Septembre 1995, le CAC 40 c^ote 1767:58 pts. A l’échéance Décembre 1995, et pour une option d’achat, le plus petit prix d’exercice c^oté est de 1775 pts. La prime est de 75 pts, mais tres peu de contrats ont été négociés a ce prix d’exercice.
Les prix d’exercice les plus négociés ont été de 1950 pts et de 2000 pts avec des primes de 17 pts et de 9 pts respectivement.
Ces informations montrent que les marchés considerent que le cours de l’indice est tres bas, puisqu’ aucune option de prix d’exercice inférieur a celui du cours de l’indice n’est cotée. Par suite, tout le monde anticipe une hausse du cours, mais a priori on ne sait pas de quelle ampleur elle sera. Dans un tel contexte, les hypotheses que nous ferons plus tard pour justi er le mode de calcul des prix ne sont pas satisfaites.
Vente d’une option d’achat :
Le vendeur a l’obligation de livrer a l’échéance 100 actions au prix convenu, si l’acheteur le demande, c’est a dire exerce son droit. Son gain est constitué de la prime. Il espere que les cours vont baisser pour ne pas avoir a livrer. Les pertes peuvent etre grandes en cas de hausse. Le vendeur est en général un investisseur professionnel.
Achat d’une option de vente :
L’achateur a le droit de vendre 100 actions a un prix convenu. Les gains sont importants si les cours baissent ; la perte maximale est égale a la prime.
Vente d’une option de vente :
Le vendeur a l’obligation d’acheter au détenteur de l’option 100 actions au prix convenu si l’option est exercée. Il espere que les cours vont monter pour ne pas avoir a les acheter.
Straddel :
Un straddel est une combinaison de deux options d’achat et de vente.
Les parametres des options
La durée d’exercice
Dans les marchés organisés, trois échéances sont cotées simultanément : 3, 6 et 9 mois sur les mois suivants : mars, juin, septembre, décembre. La cotation cesse la veille de l’échéance, ce qui signi e que les options sont négociables jusqu’a l’avant-dernier jour du mois d’échéance. Toutefois, sur le CAC 40 l’échéance des options est mensuelle. Les pages nancieres des quotidiens donnent simultanément en plus des cours, le nombre de contrats traités. Les échéances les plus liquides sont traditionnellement les plus proches.
Le prix d’exercice
C’est le cours auquel l’option peut etre exercée. Trois prix d’exercice au minimum sont cotés sur chaque action, et chacune des trois échéances. Ils respectent entre eux des écarts standards.
Les trois prix d’exercice sont xés a des cours proches de celui de l’action. Les options les plus liquides sont les options a la monnaie, pour lesquelles le prix d’exercice est proche de la valeur du cours. Les options dans la monnaie sont des options pour lesquelles la valeur intrinse que n’est pas nulle. Les autres sont dites en dehors de la monnaie.
Si le lien ne fonctionne pas correctement, veuillez nous contacter (mentionner le lien dans votre message)Couverture des risques dans les marchés financiers (2.05 MB) (Cours PDF)
