Inversion du modèle MIM fractionnaire

Depuis l’avènement des premiers systèmes d’imagerie ultrasonore, leur amélioration n’a porté principalement que sur des post-traitements du signal reçu. Cependant ces méthodes ne peuvent être pleinement efficaces en présence d’un signal de mauvaise qualité. L’amélioration des images échographiques passent donc par un choix adapté de la commande des systèmes. Dans ce chapitre, nous expliquerons succinctement le fonctionnement d’un système d’imagerie ultrasonore optimisé par boucle fermée. Ensuite, nous ferons un état de l’art des commandes optimales existantes. Enfin, nous introduirons le concept d’optimisation paramétrique.

Rétroaction et boucle fermée

L’optimisation par boucle fermée consiste à rechercher les meilleurs réglages d’un système qui maximise une fonction de coût J. Dans notre cas, les paramètres de l’excitation (ou de la commande) sont recherchés pour maximiser un critère en sortie du système étudié. Un tel système est optimisé à l’aide d’une rétroaction de la sortie sur l’entrée (figure 1.1).

Optimisation acoustique

 Depuis les années 1990, quelques rares méthodes en boucle fermée ont été proposées pour optimiser le rapport signal à bruit (SNR) et la résolution. Elles sont basées sur des propriétés d’invariance comme la méthode du retournement temporel [Fink, 1992]. 

Retournement temporel

 Le retournement temporel est une méthode de focalisation adaptative à travers un milieu aberrateur utilisant les propriétés physiques du milieu. L’objectif est double. Il s’agit d’une part, d’augmenter la résolution en réduisant la taille de la tâche focale et d’autre part, de maximiser le rapport signal à bruit à la tâche focale tout en minimisant l’énergie autour de cette tâche focale. L’écho provenant des diffuseurs à la tâche focale est plus important que les échos provenant des autres diffuseurs. Si le système se comporte linéairement, il est possible d’utiliser le formalisme de la convolution tel que : y(t) = h(t) ∗ x(t), (1.1) où ∗ est l’opérateur de la convolution, t est le temps, h(t) la réponse impulsionnelle du système et x(t) l’entrée du système. Maximiser la sortie y(t) du système revient à réaliser une autocorrélation en fixant la commande, ou s’il s’agit d’un post-traitement, à régler la réponse impulsionnelle du filtre en fixant x(t) = h(−t). Pour réaliser cette autocorrélation, la méthode du retournement temporel (figure 1.2) propose, dans un premier temps, d’envoyer une onde et de recevoir son écho (interrupteur en position 1). Dans un second temps, l’écho est retourné temporellement et renvoyé dans le milieu (interrupteur en position 2). L’onde suit exactement e chemin inverse et focalise à la position d’émission des échos. Le signal yopt en sortie du système après optimisation s’écrit alors : yopt(t) = h(t) ∗ y(−t) = h(t) ∗ h(−t) ∗ x(−t). (1.2) Ce principe a été généralisé dans le cas de l’utilisation d’une sonde ultrasonore multi-élément [Prada et Fink, 1994] : yj (t) = X Nél i=1 hji(t) ∗ xi(t), (1.3) où yj est la rétrodiffusion pour l’élément j de la sonde ultrasonore à Nél éléments utilisés pour la focalisation de l’onde. Cependant pour trouver la commande optimale lorsque le système est nonlinéaire, il faudrait prendre en compte la non-linéarité du système. Si nous souhaitons faire un parallèle entre nos approches et le retournement temporel, il faudrait proposer un formalisme qui prenne en compte les non-linéarités

Énergie topologique dans le domaine temporel

L’énergie topologique dans le domaine temporel est une méthode d’imagerie issue de l’optimisation de l’énergie topologique sous la contrainte de l’équation d’onde. De notre point de vu, ce problème est conceptuellement plus proche de notre approche que ne l’est le retournement temporel, dans le sens où la fonction de coût à maximiser sous une contrainte (les équations différentielles de propagation et d’oscillation du produit de contraste ultrasonore) est explicitée mathématiquement. Ici, le problème inverse a pour but de retrouver les propriétés topologiques du milieu observé. Née pour le contrôle non-destructif [Dominguez et al., 2005], elle est aussi appliquée aux tissus biologiques [Sahuguet et al., 2010]. Cependant, dans ce cas, le processus a besoin d’une quantification de la distribution des impédances acoustiques.Cette méthode, décrite en figure 1.3, évalue la corrélation entre les réponses d’un milieu virtuel Ω et d’un milieu inconnu à imager Ωm. L’optimisation topologique consiste alors à minimiser la différence entre la réponse ultrasonore ym de Ωm et la réponse ultrasonore y de Ω telle que : J(Ω) = 1 2 Z Tobs 0 Z Γm |y − ym| 2 d −→r  dt, (1.7) où Tobs est la durée de l’observation. En pratique, pour initialiser l’optimisation, les propriétés physiques du milieu Ω sont choisies homogènes et aussi proches que possibles du milieu Ωm. En partant du milieu de référence Ω dans lequel sont introduits virtuellement et progressivement des « trous » a infinitésimaux, l’optimisation itérative en déduit la topologique du milieu. Pour calculer l’énergie topologique, il est nécessaire de résoudre deux problèmes : le problème direct et le problème adjoint. Le problème direct consiste à simuler le champ ultrasonore y engendré par la propagation d’une onde ultrasonore dans le milieu Ω. La sensibilité de la variation dΩ du milieu Ω est déterminée à partir du développement asymptotique d’ordre un : J(Ω + dΩ) = J(Ω) + f(dΩ)g( −→r ) + o(f(dΩ)), (1.8) où ∀ dΩ, les conditions limites sont f(dΩ) > 0, lim dΩ→0 f(dΩ) = 0 et la fonction g( −→r ) est le gradient topologique. Pour obtenir ce système, nous supposons qu’en un certain nombre de points d’un milieu poreux unidimensionnel, l’évolution temporelle de la densité de probabilité P(xn, t) est connue. On est dans cette situation à la suite d’une série de mesures au cours d’une expérience en colonne de laboratoire où des particules de contaminant ont été préalablement injectées, pourvu que la concentration ait été mesurée tout au long de l’expérience, en quelques sections droites (de position xi). Pour chacun de ces xi , nous pouvons calculer la transformée de Laplace de la densité de probabilité correspondante avec la formule.

Méthode des moments temporels tronqués pour le modèle MIM fractionnaire

 Dans le cadre de chacun des deux modèles (fMIM ou MIM), les dérivées de la transformée de Laplace des profils peuvent être déterminées directement à partir de ces deniers.

Moments temporels tronqués

 Pour une solution P(x, t) du modèle MIM fractionnaire (3.27) les intégrales notées mn divergent à cause du comportement asymptotique en Λt −1−γ de P(x, t) décrit au paragraphe 3.3.3. Cependant, dans le cas du MIM classique comme dans celui de MIM fractionnaire, on obtient des intégrales convergentes en remplaçant P(x, t) par P(x, t)e −st pour s > 0. En partant de cette constatation, pour chaque valeur fixée de x et chaque s > 0, nous définissons le moment temporel tronqué d’ordre n ≥ 0 par : Mn(x, s) = ∫ +∞ 0 e −stt nP(x, t)dt. (4.3) Avec (4.3), nous considérons ainsi à la place du moment proprement dit, le moment d’ordre n de la fonction P(x, t) tronquée par l’exponentielle e −st. Pour n = 0, M0(x, s) n’est autre que la transformée de Laplace de P(x, t), elle même fP(x, s) = ∫ +∞ 0 e −st P(x, t) dt. Par ailleurs, la convergence des intégrales ainsi obtenues par (4.3) est assurée par le fait que la fonction P(x, t) est dominée asymptotiquement par l’exponentielle. De plus, dans ce cas, les moments tronqués Mn(x, s) vérifient la relation suivante, similaire à (4.2) Mn(x, s) = (−1)n d n dsn fP(x, s). (4.4) L’ensemble des deux relations (4.3) et (4.4) montre que la donnée de la densité de probabilité P(x, t) en fonction de t (qu’on peut obtenir expérimentalement à partir d’une courbe de percée C(x, t) et de la teneur en eau θ) permet de calculer les moments tronqués Mn(x, s) par intégration numérique de (4.3). On a ainsi accès directement aux dérivées d n dsn fP(x, s), sans effectuer de dérivation numérique : on ne fera que des intégrations, c’est à dire des opérations régularisantes. Cette démarche laisse espérer une certaine robustesse de l’implémentation numérique de notre méthode. De plus, pour chacun des deux modèles MIM 4.3. Méthode des moments temporels tronqués pour le modèle MIM fractionnaire 97 (MIM classique, ou fMIM), fP(x, s) a une expression relativement simple dans un milieu semi-infini. De plus, ses dérivées par rapport à s s’expriment sous la forme de fonctions assez bien connues de s et des paramètres du modèle. Ces fonctions s’expriment cependant différemment selon qu’on envisage l’une ou l’autre des deux versions du MIM. A l’instar de ce qui a été dit plus haut pour le modèle MIM classique et compte tenu de (4.4), ceci permet de relier les moments tronqués Mn(x, s) aux paramètres du modèle, en vue de déterminer ces derniers. Dans la section suivante, nous établissons l’expression de fP(x, s) en fonction des paramètres en insistant sur le MIM fractionnaire. 

Transformée de Laplace de P(x, t) en milieu semi-infini pour les deux versions du modèle MIM

 Il s’agit donc d’établir l’expression de la transformée de Laplace fP(x, s) d’une solution du fMIM pour représenter l’injection d’un traceur à l’entrée d’un milieu, dans le cadre de la première équation du système (3.2) qui s’applique à chacun des deux modèles MIM classique ou fractionnaire, on peut utiliser un terme source r(x, t) = δ(x)R(t). On peut aussi, de manière équivalente, remplacer le terme source par 0 et imposer en x = 0 un flux de traceurs égal à R(t). En vertu de (3.26),