Introduction aux problèmes inverses et à l’optimisation convexe

Problèmes inverses

Quelques exemples

En traitement d’images, on emploie la terminologie de problème inverse (opposée à la notion de problème direct) dans de nombreuses applications. La résolution d’un problème inverse consiste à retrouver un signal (ou une image) le plus proche possible d’un « signal considéré comme référence », par le biais des observations acquises. En raison du mode d’acquisition et de l’imperfection des détecteurs, ces observations sont la plupart du temps dégradées par un opérateur linéaire et/ou bruitées. Plusieurs exemples de modalités s’inscrivent dans ce cadre, comme la tomographie par émission de positrons (opérateur de projection + bruit de Poisson), la microscopie à champ large (opérateur de convolution + bruit gaussien), la microscopie confocale (opérateur de convolution + bruit de Poisson), l’échantillonnage comprimé plus connu sous le nom de « compressed sensing » (opérateur associé à une matrice parcimonieuse + bruit gaussien) ou l’imagerie satellitaire (opérateur de convolution + bruit gaussien). Une formulation mathématique du problème direct est la suivante, z = Dα(Ay) (2.1) où z = (zj )1≤j≤M ∈ R M et y = (yi )1≤i≤N ∈ R N sont des représentations vectorielles des observations de taille M = M1 ×M2 et de l’image originale de taille N = N1 ×N2. A = (Aj,i)1≤j≤M,1≤i≤N ∈ R M×N est la matrice associée à l’opérateur linéaire de dégradation et Dα : R M 7→ R M représente une dégradation par un bruit de paramètre α > 0. La résolution du problème inverse associé à (2.1) nous conduira à une solution yb(z) ∈ R N qui par abus de notation sera notée, dans la plupart des cas, yb. Dans ce manuscrit, nous supposerons connues la matrice associée à l’opérateur linéaire et la statistique du bruit. Le type de dégradation présent en TEP est illustré figure 2.1. Ce modèle de dégradation se base sur un opérateur de projection où M est sensiblement plus petit que N et où le Introduction aux problèmes inverses et à l’optimisation convexe 24 Introduction aux problèmes inverses et à l’optimisation convexe bruit présent est un bruit de Poisson (dont la variance dépend de l’intensité). Notons que ce type de bruit est associé à des processus de comptage ce qui explique pourquoi il est présent en TEP et, plus généralement, dans l’ensemble des applications pour lesquelles les observations représentent le nombre de photons reçus par un capteur dans un intervalle de temps donné. Dans le modèle (2.1), Dα modélise l’effet du bruit de Poisson et α le paramètre d’échelle associé. Plus α est petit, plus la dégradation est importante comme on peut le remarquer sur les figures 2.1(b) et 2.1(c). En TEP, les observations z forment un sinogramme et représentent le nombre de paires de photons détectées par une ligne (ou par un tube) de réponse formée par deux détecteurs. Cette application sera détaillée dans le chapitre 7. Image originale y ∈ R 256×256 (a) Sinogramme z ∈ R 144×288 avec α = 0.1 Sinogramme z ∈ R 144×288 avec α = 0.01 (b) (c) FIGURE 2.1 – Dégradation en TEP. Pour d’autres modalités, comme c’est le cas en imagerie satellitaire, le modèle de dégradation peut s’écrire z = Ay + b. Dans ce cas particulier, le nombre d’observations est égal au nombre de pixels de l’image (M = N), A ∈ R N×N est un opérateur de convolution possédant une structure circulante bloc-circulante et b ∈ R M est une réalisation d’un vecteur aléatoire suivant une loi normale de moyenne nulle et de variance σ 2 = α. Un exemple d’image satellitaire dégradée par un flou uniforme et un bruit blanc gaussien 2.1 Problèmes inverses 25 de variance α est illustré sur la figure 2.2. Différentes valeurs pour la taille du noyau du flou et pour la variance du bruit sont considérées. On remarque que plus la taille du flou est importante, plus les détails sont lissés et, que plus la variance du bruit blanc gaussien est élevée, plus l’image est irrégulière. (a) (b) Image originale y ∈ R 512×512 Image dégradée z ∈ R 512×512 α = 25 et flou uniforme 3 × 3 (c) (c) Image dégradée z ∈ R 512×512 Image dégradée z ∈ R 512×512 α = 25 et flou uniforme 7 × 7 α = 100 et flou uniforme 3 × 3 FIGURE 2.2 – Dégradation en imagerie satellitaire. En pratique, même dans des cas relativement classiques, comme une convolution et l’addition d’un bruit gaussien, obtenir une image restaurée de bonne qualité ne sera pas toujours chose aisée. Cela correspond à des notions de « problèmes mal posés ou/et mal conditionnés » que nous détaillons maintenant. 

 Problème mal posé, mal conditionné et régularisation

Si A ∈ R M×N représente la matrice associée à l’opérateur de dégradation linéaire, la résolution d’une équation du type z = Ay est dite bien posée si la solution yb vérifie les conditions de Hadamard [Hadamard, 1902] c’est à dire : (i) existence d’une solution i.e. Im A = R M, (ii) unicité de la solution i.e. ker A = {0}, (iii) stabilité de la solution par rapport aux données .