Introduction aux probabilités

Cours introduction aux probabilités, tutoriel & résumé statistiques en pdf.

Introduction

La théorie des probabilités est la science qui vise à modéliser les phénomènes aléatoires qui sont des phénomènes dont on ne peut prévoir le résultat à l’avance. La modélisation d’une experience aléatoire à travers le calcul des probabilités a été introduite par Kolmogorov en 1933. Elle est essentiellement basée sur quatres objets fondamentaux:

a- L’espace d’états ou univers: C’est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’experience aléatoire étudiée. Il est habituellement noté Ω et ses éléments, dits événements élémentaires sont notés par ω.
Exemples 0.1.1. • Pour un tirage de pile ou face, l’univers est donné par: Ω = {P,F} Probabilités et Statistique HDHIRI Ibtissem FSG 2015
3 • Pour le lancer de deux dés, Ω = {(i,j); 1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 6}

b- Les événements: Ce sont des parties de l’univers Ω. On notera A l’ensemble des tous les événements.Cet ensemble coincide souvent mais pas toujours avec l’ensemble des parties de Ω. D’une manière générale, A doit avoir la structure d’une tribu. Il est utile de savoir que les termes utilisés pour décrire les événement admettent des traductions en language ensembliste: • Ω : événement certain •∅ : événement impossible • A∪B Au moins A ou B est réalisé • A∩B : A et B sont réalisés • Ac = Ω\A : événement contraire de A

c- La probabilité: A tout événement A deA;on associe un nombre P(A) compris entre 0 et 1. Moralement, ce nombre mesure la vrais semblance de la réalisation de l’événement A.
Définition 0.1.1. Étant donnés un espace d’états Ω et une tribu
4 d’événements A; une probabilité est une mesure P sur (Ω,A) vérifiant P(Ω) = 1.
Le triplet (Ω;A,P) est dit espace probabilisé ou espace de probabilité.

Exemple:

(i) La mesure de Lebesgue sur [0,1] (ii) Probabilité de Bernouilli P = pδ1 + (1−p)δ0. Voici quelques propriétés utiles dont certaines ne sont que des reformulations de la définition. Soient A,B ∈A • Si A ⊂ B alors P(A) ≤P(B). • P(Ac) = 1−P(A) • P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B) • P(A−B) = P(A)−P(A∩B). Lemma 0.1.1. Si (An)n∈N est une suite croissante au sens de l’inclusion(i.e.An ⊂ An+1 pour tout n ∈ N) alors la suite (P(An))n∈N est croissante et limn→∞P(An) = P(∪n∈N An) Si (An)n∈N est une suite décroissante au sens de l’inclusion alors lasuite (P(An))n∈N est décroissante et limn→∞P(An) = P(∩n∈N An)

d- Variable aléatoire : (v.a. en abrégé) C’est une grandeur qui dépend du résultat de l’experience aléatoire en question. En termes mathématiques, une v.a. X est une application mesurable de (Ω;A) dans (E,τ) (E = Rd,, d ≥ 1). Maintenant,on peut définir une nouvelle probabilité PX enposant: PX(B) = P[X−1(B)], B ∈B(E). Cette probabilité est dite loi de la v.a. X.

………..