Introduction à l’analyse isogéométrique

Couplage AIG/MEG pour l’analyse de détails structuraux par une approche non intrusive et certifiée

Introduction à l’analyse isogéométrique

Dans cette partie, un ensemble d’informations sur l’analyse isogéométrique nécessaire pour la compréhension de la suite du manuscrit est rappelé. Plus de détails sont disponibles dans [44,82]. Dans cette thèse, les paramétrisations B-Splines et NURBS des exemples traités sont considérées comme connues ; pour aller directement de la CAO à une représentation adaptée à une analyse par l’AIG se référer par exemple à..

Bases de l’analyse isogéométrique Vecteurs noeuds et B-Splines

Les fonctions B-Splines sont définies à l’aide d’un vecteur-nœud Ξ = n ξ1, ξ2, …, ξn+p+1o . Ce dernier est constitué de coordonnées paramétriques ξi rangées dans l’ordre croissant, p étant le degré polynomial de la B-Spline et n le nombre de fonctions associées. Les nœuds ξi divisent l’espace paramétrique en éléments (ou « knot-span » en terminologie IG) et l’intervalle [ξ1; ξn+p+1] forme le patch isogéométrique. Par ailleurs, le vecteur-nœud est dit uniforme quand tous les nœuds sont uniformément espacés. Si le premier et le dernier nœud ont une multiplicité de p+ 1, alors le vecteur-nœud est dit ouvert. Dans ce cas, les fonctions sont interpolantes aux bords du patch IG ce qui facilite l’application des conditions aux limites. C’est pour cette raison que dans l’utilisation courante de l’AIG et dans la suite de nos travaux, seuls des vecteurs nœuds ouverts sont utilisés.

Fonctions

Non-Uniform Rational B-Splines

L’ensemble des fonctions NURBS : RAIG = {RAIG A } nA A=1 est défini à partir des fonctions B-Splines {NA} nA A=1. Pour ce faire, il faut introduire les poids {w AIG A } nA A=1 associés à chacun des points de contrôle PAIG = {P AIG A } nA A=1. Les fonctions rationnelles s’écrivent ainsi : R AIG A = NAw AIG A WAIG , avec WAIG = XnA A=1 NAw AIG A . (1.4) De la même façon que pour la définition des entités B-Splines (1.2), les objets NURBS sont définis de telle sorte que : V AIG = XnA A=1 R AIG A P AIG A = P AIGT RAIG. (1.5) Un exemple de surface NURBS, associée aux points de contrôle (points bleus), et dont le maillage de contrôle est en pointillés bleus, est donné sur la Figure 1.4. Les fonctions NURBS permettent de décrire exactement la géométrie d’une section conique. Les positions optimales et les poids des points de contrôle peuvent être déterminés en utilisant des logiciels CAO appropriés comme par exemple Rhino .

Méthodes de raffinement

Grâce à l’analyse isogéométrique, il est facile de raffiner globalement le maillage tout en conservant la géométrie de départ. La supériorité de l’approche par rapport aux EF traditionnels s’explique en majeure partie grâce à cette propriété. Il existe deux techniques de raffinement qui ne modifient pas la géométrie et la paramétrisation initiales : — L’élévation de degré : le degré des fonctions de forme utilisé pour décrire la géométrie est augmenté ce qui entraîne, afin de conserver la régularité de l’espace initial, l’augmentation de la multiplicité de chaque nœud. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du p-raffinement éléments finis permettant l’élévation de degré de fonctions C 0 . Un exemple d’élévation d’ordre est donné par le passage de la Figure 1.5a à la Figure 1.5b ; 14— L’insertion de nœud : un ou plusieurs nœuds sont insérés dans le vecteur nœud initial. La continuité au niveau du nœud inséré est C p−1 s’il est n’inséré qu’une seule fois. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du h-raffinement éléments finis si le nœud est inséré suffisamment de fois de sorte que la régularité des fonctions soit C 0 en ce nœud. L’influence de ce raffinement sur les fonctions de forme B-Splines est illustré par le passage de la Figure 1.5b à la Figure 1.5c où le nœud ¯ξ = 0.5 est inséré dans le vecteur nœud initial. Une type de raffinement supplémentaire émerge de ces deux précédentes techniques et est couramment appelée le k-raffinement. Il consiste en l’élévation de degré de p à q sur l’ensemble de la géométrie (grossière), puis en l’insertion d’un nœud interne ¯ξ une seule fois qui aura ainsi q − 1 dérivées continues. Ce raffinement est illustré par le passage direct entre la Figure 1.5a et la Figure 1.5c. Ce type de raffinement n’a aucune équivalence en éléments finis : il permet d’augmenter la régularité de l’espace d’approximation

Table des matières

Introduction
I État de l’art
1 Analyse isogéométrique : définition et comparaison avec la méthode des éléments finis
1.1 Introduction à l’analyse isogéométrique
1.1.1 Bases de l’analyse isogéométrique
1.1.1.1 Vecteurs noeuds et B-Splines
1.1.1.2 Fonctions Non-Uniform Rational B-Splines
1.1.1.3 Méthodes de raffinement
1.1.2 Analyse isogéométrique versus méthode des éléments finis
1.1.3 Exemple d’une résolution isogéométrique
1.2 Lien entre l’analyse isogéométrique et la méthode des éléments finis
1.2.1 Décomposition de Bézier
1.2.2 Fonctions de Bernstein
1.2.3 Opérateur d’extraction de Bézier
2 Approches multi-échelles
2.1 Etat de l’art des méthodes de calcul multi-échelles
2.1.1 Méthodes multi-échelles micro/macro
2.1.2 Méthodes de couplage avec transfert d’information à l’interface
2.1.3 Méthodes non-intrusives
2.2 Principe des méthodes de couplage
2.2.1 Problème de référence
2.2.2 Résolution couplée classique
2.2.3 Résolution couplée non-intrusive
3 Évaluation de la qualité d’une solution couplée
3.1 Estimation de l’erreur pour les calculs multi-échelles
3.1.1 Introduction à la notion d’erreur
3.1.2 État de l’art des méthodes de certification des méthodes multi-échelles
3.1.3 Estimation d’erreur de couplage non-intrusif
3.2 Technique d’estimation d’erreur en quantité d’intérêt
3.2.1 Quantité d’intérêt et problème adjoint
3.2.2 Estimation de l’erreur en quantité d’intérêt par la méthode des résidus
3.2.3 Estimation de l’erreur en quantité d’intérêt par l’erreur en relation de comportement
3.2.3.1 Fonctionnelle ERC
3.2.3.2 Application de l’ERC sur une quantité d’intérêt
II Couplage entre l’analyse isogéométrique et la méthode des éléments finis
4 Implémentation de l’analyse isogéométrique dans un code éléments finis
4.1 Extraction de Lagrange
4.1.1 Des polynômes de Lagrange aux polynômes de Bernstein
4.1.2 Lien direct entre les fonctions Lagrange et B-Splines
4.1.3 Extraction dans le cas des Non-Uniform Rational B-Splines
4.1.4 Implémentation de l’extraction de Lagrange
4.1.4.1 Dans le cas NURBS
4.1.4.2 Dans le cas B-Spline
4.2 Stratégie non-intrusive développée
4.2.1 Principe
4.2.2 Approximation simple
4.2.3 Autres approximations possibles
4.2.4 Limite de la méthode
4.3 Implémentation non-intrusive dans le cas non-linéaire
5 Résultats numériques de l’implémentation
5.1 Cas-test linéaires
5.1.1 Arc circulaire en dimension 2
5.1.2 Coque 3D
5.1.2.1 Cylindre pincé
5.1.2.2 Hémisphère pincé
5.1.3 Pièce massive 3D
5.2 Cas-test non-linéaire
5.2.1 Besoins pour l’implémentation dans Code_Aster
5.2.2 Application à l’élasto-plasticité
6 Vers un couplage AIG/MEF automatique
6.1 Utilisation du lien AIG/MEF pour le couplage
6.1.1 Séparation global-local
6.1.2 Formulation du couplage et des opérateurs de Mortar
6.2 Exemple d’application du couplage IG/EF
III Certification et pilotage des stratégies de couplage non-intrusif
7 Outils de vérification basés sur les résidus d’équilibre pondérés
7.1 Méthode des résidus pondérés dans le cadre du couplage non-intrusif
7.1.1 Formulation faible du couplage pour l’estimation d’erreur
7.1.2 Estimateur d’erreur en résidus pour un problème couplé
7.2 Stratégie d’adaptation
7.2.1 Définition des indicateurs d’erreur
7.2.2 Implémentation des indicateurs d’erreur
7.2.3 Procédure d’adaptation
8 Application numérique de l’erreur en résidus
8.1 Poutre en traction en dimension 1
8.1.1 Définition des problèmes primal et adjoint
8.1.2 Estimation de l’erreur globale de couplage
8.1.3 Procédure d’adaptation
8.1.3.1 Déplacement moyen en bout de poutre
8.1.3.2 Autres quantités d’intérêt
8.2 Plaque en traction avec inclusion locale d’affaiblissements
8.2.1 Variation homogène du Module de Young
8.2.1.1 Affaiblissement faible
8.2.1.2 Affaiblissement fort
8.2.2 Variation hétérogène du Module de Young
8.3 Plaque trouée en flexion
8.3.1 Quantité d’intérêt en déplacement
8.3.2 Quantité d’intérêt en contrainte
9 Vers une procédure d’adaptation basée sur l’erreur en relation de comportement
9.1 Principe de l’erreur en relation de comportement pour un couplage non-intrusif
9.1.1 Construction d’une famille de solutions approchées .
9.1.2 Estimation d’erreur basée sur l’ERC pour un couplage non-intrusif
9.1.3 Indicateurs d’erreur basés sur l’ERC et adaptation
9.1.4 Modification de la procédure d’équilibrage avec un couplage non-intrusif
9.2 Application de l’adaptation basée sur l’ERC
9.2.1 Comportement linéaire dans la zone locale
9.2.2 Comportement non-linéaire dans la zone locale
Conclusion
Annexe : ERC en non-linéaire