INTRODUCTION A L’ANALYSE DE FOURIER

La transformation de Fourier a déjà été signalée comme un cas particulier mathématique de la transformation de Laplace. Elle est très employée dans toutes les branches techniques avec des implications vastes et diverses : des relations d’incertitudes en physique aux espaces réciproques en cristallographie, en passant bien sûr par l’électricité. Pour cette seconde partie du chapitre, nous nous bornons à la définition de la transformation de Fourier où l’on aborde la notion de spectre d’un signal. Pour plus vaste information, nous conseillons au lecteur de se reporter à une introduction au traitement de signal, domaine où cet outil mathématique est indispensable. Voir par exemple : « Théorie et traitement de signaux », [12]. Nous avons déjà signalé que la linéarité du système rendait pertinente l’analyse harmonique et ses diagrammes de Bode ; ici on voit qu’effectivement, un signal périodique quelconque se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux, c’est une propriété remarquable.les fréquences négatives, qui n’ont pas de signification physique directe ; on doit mathématiquement leur présence, au développement de la fonction réelle en série complexe. Ces fréquences négatives disparaissent avec l’utilisation de séries de Fourier réelles.Il a donc deux approches possibles : soit on ne s’intéresse qu’à une portion de signal (impulsion sur un intervalle de temps T) et alors la série ne prend de sens que sur cet intervalle, soit on développe sur tout l’axe réel un signal périodique grâce à cette décomposition de Fourier. C’est ce dernier cas qui intéresse en général, car les signaux non périodiques sont traités à l’aide de la transformation de Fourier qui génère un spectre continu (voir plus loin).

Remarquons que le spectre unilatéral n’est pas la version tronquée du spectre bilatéral : les harmoniques ont le double d’amplitude par rapport à ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral d’un signal sinusoïdal est donné par les deux fréquences : la positive et la négative, et leur amplitude est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral. On peut vouloir qualifier la linéarité de la caractéristique statique d’un quadripôle. Si cette caractéristique est linéaire, le système répond à une sinusoïde par une sinusoïde, sinon il introduit une distorsion et le signal de sortie n’est plus sinusoïdal, mais a acquis des harmoniques. Le taux de distorsion harmonique est défini ainsi :En électronique et en traitement de signal, les signaux ne sont pas tous périodiques, cela représente même l’exception. Le développement en séries de Fourier ne représente donc pas forcément l’outil d’analyse privilégié, puisqu’il est nécessaire pour cela d’avoir des signaux périodiques.Comme pour le développement en séries de Fourier, on assiste à l’apparition de fréquences négatives, qui ne s’interprètent pas directement, mais qui sont néanmoins porteuses d’énergie.La transformée de Fourier ici correspond à l’enveloppe du spectre discret du développement de Fourier. Dans cette transformation de Fourier, toutes les fréquences sont mises à contribution pour la représentation fréquentielle du signal temporel : le spectre est continu.Contrairement au développement en séries de Fourier qui génère une fonction périodique sur tout l’axe réel quelles que soient les valeurs prises par cette fonction en dehors de la période considérée, la transformation de Fourier est appliquée à la fonction agissant sur tout l’axe réel. Il est ainsi créé ainsi une correspondance entre l’espace temporel où le signal évolue, et l’espace fréquentiel un peu plus abstrait.

Les électriciens appellent cela la dualité temps-fréquence. Les cristallographes parlent d’espace direct et d’espace réciproque, etc…Comme déjà évoqué précédemment, l’utilité de cette transformation est d’obtenir une autre représentation d’un signal. Cette représentation fréquentielle est essentielle en traitement de signal. Voir à ce sujet « Théorie et traitement des signaux », La situation est analogue à celle prévalant pour la transformation de Laplace, mais ici l’espace donné par la transformation de Fourier est bien repéré: c’est un espace de fréquences :Ici nous présentons un exemple, où l’on emploie la transformée de Fourier, pour résoudre une équation différentielle, comme nous l’avons fait avec la transformation de Laplace. Ce n’est pas l’utilité principale de cet outil, mais cela permet de faire une remarque concernant les fonctions de transfert.Si on réduit la transformation de Laplace à celle de Fourier, on prend comme variable :

<! Ainsi, la fonction de transfert de Laplace se transforme en celle de Fourier avec cette substitution. Et cette fonction de transfert de Fourier n’est rien d’autre que celle obtenue avec les nombres complexes et qui correspond en fait à la fonction de transfert en régime harmonique (voir 4.3.5, 10.3.5 et 9.2).