Introduction à la théorie des ondelettes

Le domaine du traitement du signal et de l’image connaît une progression importante liée à l’évolution des technologies de l’information et de la communication. Dans de nombreuses applications, il est fait appel aux techniques d’analyse et de synthèse pour passer d’un état complexe difficile à analyser ou à traiter à un état simple facile à interpréter ou à manipuler. Souvent, les signaux complexes subissent des transformations nécessaires à 1′ augmentation de 1′ efficacité du traitement. Le procédé d’analyse le plus classique et le plus populaire est la transformée de Fourier. Depuis plusieurs décennies, cette méthode dominait les techniques d’analyses et la plupart des méthodes de traitement du signal en faisait usage. De nos jours, même si d’autres méthodes ont fait leur apparition, elle est toujours très utilisée pour obtenir le contenu spectral d’un signal quelconque. Les besoins grandissants de la technologie et la complexité des applications en particulier dans des domaines tel que l’Internet et la téléphonie, sont tellement exigeants en matière d’extraction d’informations fiables tout en requérant une vitesse de traitement élevée qu’il a été nécessaire de développer d’autres méthodes pour répondre à ces besoins qui augmentent de jour en jour.

Au cours des dix dernières années, une de ces nouvelles techniques d’analyse du signal a acquis une reconnaissance grandissante dans la communauté scientifique internationale par ses multiples avantages, c’est la transformée en ondelettes. Cette méthode présente des caractéristiques intéressantes dans de nombreux domaines du traitement du signal et de l’image. Les qualités de la transformée en ondelettes lui ont valu une attention particulière de la part des scientifiques oeuvrant dans tous les domaines : mathématiques, informatique, physique, géologie, microélectronique, etc …. , et d’une manière générale, presque toutes les sciences utilisant l’ analyse de signaux l’ ont utilisée. La transformée en ondelettes est donc au carrefour des sciences et l’ on retrouve ses applications dans de nombreux domaines.

L’utilisation des ondelettes s’est avérée très performante pour trois problèmes généraux [26], le premier est l’analyse, le second est la compression [43], et le troisième est le débruitage .

L’analyse permet d’étudier la régularité locale des signaux à une échelle fine. Bien localisée à la fois en temps et en fréquence, une ondelette est très flexible, elle s’ajuste en fonction de la nature du signal par dilatation et compression et constitue un « zoom » mathématique permettant de décrire les propriétés d’un signal à plusieurs échelles de temps simultanément, c’est ce qui fait sa force et sa rigueur dans l’analyse.

La compression, en particulier la compression d’image est un domaine où l’utilisation des ondelettes est très efficace. Elles permettent de coder les données tout en réduisant considérablement les informations. Parmi les applications qui ont fait la réussite des ondelettes, on peut citer la nouvelle norme de compression d’images JPEG 2000 [43] ainsi que l’application de stockage d’empreintes digitales par le FBI [3].

Enfin, le débruitage qui est un domaine où les recherches se sont multipliées ces dernières années, est un processus délicat en particulier dans le cas de signaux complexes tels que les signaux de parole. La non-stationnarité de ces derniers fait en sorte que bon nombre de chercheurs concentrent leur attention sur le problème de débruitage de la parole pour trouver des algorithmes efficaces. De nos jours un grand nombre de ces méthodes utilisent les ondelettes qui donnent des algorithmes de débruitage très simples, souvent plus performants que les méthodes traditionnelles basées sur l’ estimation fonctionnelle et cela grâce à leur adaptativité. Le dé bruitage par ondelette est basé sur un algorithme simple appelé algorithme de seuillage qui est souvent facile à exécuter. Son principe est d’estimer le niveau de bruit qui correspond souvent à la valeur du seuil, puis à partir des coefficients de la transformées en ondelettes, à effectuer l’opération de seuillage qui consiste dans la plupart du temps à soustraire des coefficients la valeur du seuil et éliminer carrément ces coefficients s’ils sont au-dessous du seuil. Les méthodes de seuillage les plus connues sont le seuillage doux et le seuillage dur. Il existe cependant d’autres méthodes de seuillage tel que le seuillage de la loi f.l [34] qui est utilisé dans ce travail. Par la suite, il suffit simplement d’appliquer la transformée en ondelettes inverse sur les coefficients seuillés pour récupérer le signal débruité.

L’analyse harmonique [12,27] est une méthode mathématique qui permet d’étudier un signal afin d’en extraire des informations sur son comportement fréquentiel et ses propriétés. Pour effectuer cette tâche, on décompose le signal en une somme de constituantes simples appelées fonctions élémentaires. Les fonctions élémentaires de l’analyse de Fourier sont les fonctions sinusoïdales, elles dépendent d’un seul paramètre, c’est la fréquence. Cette analyse nous permet de décrire la répartition des composantes fréquentielles d’un signal sans nous renseigner sur les instants de l’apparition de celles-ci. Les renseignements fréquentiels ainsi obtenus le sont au détriment de la description temporelle explicite du signal. Cette méthode ne convient donc pas à tous les types de signaux, notamment aux signaux non-stationnaires qui se caractérisent par l’apparition d’événements transitoires. Elle est aussi insuffisante pour mettre en évidence les caractéristiques évolutives du signal.

Dans le cas de la transformée en ondelette, les fenêtres s’élargissent et se contractent selon les variations de l’opérateur d’échelle a représentant la résolution fréquentielle. Cela n’est pas vrai pour la STFT ou la largeur de la fenêtre est toujours fixe quelque soit l’échelle.

Bien que l’analyse par ondelettes ait été introduite dans les années 1970 par Yves Meyer [23,24] dans un contexte d’analyse du signal et d’exploration pétrolière, et par la suite reprise par des théoriciens et ingénieurs comme Morlet dans le début des années 80 qui en ont fait une véritable théorie et outil mathématique [13], elles sont néanmoins un outil récent du point de vue de leur applicabilité dans divers domaines. Leur propriété essentielle réside dans leur capacité à analyser à plusieurs échelles de temps, et définir des propriétés locales de signaux complexes pouvant présenter de zones non stationnaires. Leur champ d’applications s’élargit de plus en plus. Les domaines tels que la géophysique, l’astrophysique, les télécommunications, l’imagerie et le codage vidéo utilisent les ondelettes comme nouvelle technique d’analyse et de synthèse du signal. Toutefois, il faut souligner aussi que l’utilisation des ondelettes a connu beaucoup de succès dans deux domaines en particulier, celui du débruitage et celui de la compression. Deux des meilleurs exemples d’applications des ondelettes sont le stockage numérique d’empreintes digitales effectué par le FBI qui ont utilisé les ondelettes comme un outil de compression et de débruitage [3], et la norme de compression JPEG 2000 [43].