Instabilité magnéto-elliptique

Instabilité magnéto-elliptique

L’effet dynamo : une étude récente

L’étude de cet effet se trouve au croisement entre la mécanique des fluides et l’électromagnétisme : on parle de magnétohydrodynamique (MHD). Dans ce cadre, l’effet dynamo correspond à une instabilité MHD, susceptible de se manifester pour certains écoulements dès lors que le rapport entre le terme source de champ magnétique et sa dissipation, i.e. le nombre de Reynolds magnétique, passe au-dessus d’une certaine valeur : c’est le seuil dynamo. L’étude de l’instabilité dynamo est complexe, et les premiers résultats obtenus, dus à Cowling (1934), sont des théorèmes anti-dynamo qui montrent que des symétries imposées peuvent empêcher la création de champ magnétique. Il faut attendre Bullard & Gellman (1954) qui mettent en évidence numériquement un effet dynamo dans une sphère en se basant sur les travaux pionniers de Elsasser (1946). En réalité, on découvrira plus tard que leurs résultats n’étaient pas convergés (e.g. Dudley & James, 1989). Les premiers exemples de dynamos sont en fait obtenus théoriquement un peu plus tard
en ajoutant à un champ de vitesse fluide donné de l’intermittence spatiale (Herzenberg,1958) ou temporelle (Backus, 1958). Quelques années plus tard, en s’inspirant de la dynamo théorique de Herzenberg (1958), Lowes & Wilkinson (1963, 1968) construisent à partir de solides conducteurs la première dynamo expérimentale 2, qui porte désormaisleurs noms. Peu de temps après, de nouveaux écoulements théoriques capables d’exciter l’instabilité dynamo sont découverts : Lortz (1968), puis les célèbres dynamos de Roberts e (1972) et Ponomarenko (1973). Ces deux derniers modèles théoriques mèneront aux premières dynamos expérimentales fluides, plusieurs dizaines d’années plus tard : en 1999, à quelques semaines d’intervalle, une dynamo de type Ponomarenko sera obtenue pendant quelques dizaines de secondes à Riga (Gailitis et al., 2001) juste avant une fuite de sodium liquide qui stoppe net l’expérience, tandis qu’une dynamo de type Roberts sera obtenue à Karlsruhe (Stieglitz & Müller, 2001) pendant plusieurs heures. Pour donner une idée des contraintes pesant sur ce type d’expérience, l’ensemble du dispositif de Karlsruhe a nécessité cinq ans d’élaboration, coûté quelques sept millions d’euros et occupait trois étages d’un bâtiment dédié. Notons qu’un effet dynamo avait été suggéré pour expliquer les arrêts du réacteur à neutrons rapides Phénix en 1989 et 1990, ce qui en aurait fait la première réalisation indirecte de dynamo fluide. Cependant, les travaux de Alemany et al. (2000) sur le sujet ne vont pas dans le sens de cette hypothèse. Enfin, l’expérience VKS (Von Karman Sodium, collaboration ENS-Paris, ENS-Lyon et CEA-Saclay) a produit en septembre 2006 la première dynamo basée sur un écoulement libre et turbulent, créé par des disques tournants, et non pas contraint et imposé a priori à l’aide d’une tuyauterie (Monchaux et al., 2007). C’est à ce jour la seule réalisation expérimentale de ce type de dynamo, dite homogène, même si des projets sont actuellement en cours, par exemple à l’université du Maryland, ainsi qu’à celle du Madison, aux États-Unis, ou à Dresden en Allemagne.Du point de vue géophysique, l’étude de l’effet dynamo nécessite de comprendre l’écoulement complexe qui peut exister au sein du noyau terrestre. La première description de cet écoulement est donnée par Busse (1970) : la convection s’organise en une kyrielle de tourbillons dont les axes sont parallèles à l’axe de rotation de la Terre, désormais appelés colonnes de Busse ou de Taylor-Busse (voir section 1.3.1). Cet écoulement sera confirmé numériquement par Glatzmaier (1988). Il faudra encore une dizaine d’années pour que le code numérique soit étendu au problème complet, couplant température, écoulement fluide et champ magnétique. Après plus d’un an de calcul sur l’un des plus gros ordinateurs Cray de l’époque, Glatzmaier & Roberts (1995b) réussissent à produire un champ magnétique du même type que le champ terrestre, c’est-à-dire essentiellement dipolaire comme celui d’un aimant, approximativement orienté selon l’axe de rotation, et présentant parfois des inversions de polarité comme il en existe dans l’histoire de la Terre. Ces résultats encourageants ont été tempérés depuis : les codes numériques, même les plus récents, ne permettent pas d’atteindre les gammes de paramètres du noyau terrestre, et le lien entre leurs résultats et la réalité reste à expliciter.

Équations de la magnétohydrodynamique

Ces équations sont connues depuis un certain temps. En effet, les équations régissant le mouvement d’un fluide non-visqueux ont été données par L. Euler et J. d’Alembert (XVIIIème siècle) avant d’être étendues aux fluides visqueux par Navier et Stokes (XIXème siècle). Quant à la partie magnétique, les équations fondamentales la régissant dans un milieu continu matériel ont été formulées par Maxwell (XIXème siècle).

Électromagnétisme des milieux continus

Cette section présente les équations fondamentales de l’électromagnétisme dans les milieux matériels continus. Une présentation relativement complète du sujet peut être trouvée dans l’ouvrage de référence de Jackson (1975).

Équations deM axwell des milieux

Les deux premières équations, parfois appelées équations aux sources, traduisent respectivement que l’induction électrique d’une charge ponctuelle décroît avec le carré de la distance (formule de Green) et l’inexistence de charge ou monopôle magnétique. Notons que les équations de Maxwell sont linéaires vis-à-vis des sources, ce qui permet l’application du principe de superposition pour E et B. Les deux dernières équations, parfois appelées équations intrinsèques des champs, sont identiques à leur formulation dans le vide car elles sont indépendantes des sources des champs. Pour fermer ce système d’équations, des équations constitutives (phénoménologiques) doivent être ajoutées afin de lier H à B, D à E et j à E et B. Pour ce faire, le milieu considéré est souvent supposé linéaire, ce qui permet d’écrire 😀 = ε : E, (3.5) B = µ : H , (3.6)
où : représente un produit tensoriel. Le milieu est souvent supposé homogène isotrope,et les tenseurs ε et µ peuvent alors être remplacés par le scalaire associé (multiplié par le tenseur identité). Ainsi, dans le cas des LHI, D et H ne sont qu’une écriture différente de E et B, etles équations de Maxwell sont formellement équivalentes à leur formulation dans le vide.Notons que l’équation de conservation de la charge se déduit de l’équation (3.10) :∇ · j = −∂tρe. .
La dernière équation constitutive permettant de fermer le système d’équations est laloi d’Ohm, liant j à E et B. Considérant un milieu conducteur à plusieurs porteurs de charges en mouvement à vitesse V , la loi d’Ohm généralisée s’écrit (Kemp & Petschek,Dans les métaux, l’effet Hall est négligeable, et la MHD des métaux liquides considère donc la loi d’Ohm simplifiée j = σe(E + u × B). Combinée avec l’équation de conservation de la charge (3.11), cette forme de la loi d’Ohm donne l’équation

Relations de passage, conditions aux limites

Dans le cadre d’une modélisation volumique de charges ou de courants, les champs électriques et magnétiques sont spatialement continus en tout point de l’espace. En revanche, des discontinuités peuvent apparaître lorsque la modélisation implique des interfaces. Dans ce cas, les équations de Maxwell imposent aux champs de vérifier certaines conditions, appelées relation de passage, lors du franchissement de ces interfaces. Ainsi,les équations fondamentales de Maxwell dans les milieux (3.7),(3.8),(3.9),(3.10) imposent qu’à l’interface entre un milieu 1 et un milieu 2, les champs vérifient
n12 × (E2 − E1) = 0, (3.14)
n12 × (H2 − H1) = jls, (3.15)
n12 · (D2 − D1) = ρls, (3.16)
n12 · (B2 − B1) = 0 (3.17)
où n12 est la normale à l’interface orientée de 1 vers 2, et jls et ρls représentent respectivement la densité superficielle de courant libre, et la densité superficielle de charge libre, qui peuvent exister à l’interface séparant les deux milieux. Ainsi, la composante normale de B et la composante tangentielle de E sont continues au passage de l’interface,au contraire de la composante normale de D et de la composante tangentielle de H qui peuvent être discontinues.
Les relations de passage données ci-dessus sont les conditions aux limites naturelles de passage d’un milieu à un autre. Cependant, dans les simulations numériques basées sur des méthodes locales, des conditions doivent être imposées sur les bords du domaine numérique. En simulation numérique, ces conditions sont en général catégorisées en trois types : les conditions aux limites de type Dirichlet, Neumann et de type Robin. Ce dernier 3. En physique des plasmas, un terme supplémentaire est parfois ajouté pour tenir compte du gradient de pression des électrons. Généralement beaucoup plus petit que les autres termes, il est ici négligé.type de condition sert en électromagnétisme à étudier les courants de surface au voisinage des matériaux très conducteurs, et l’interface est alors modélisée par une condition aux limites d’impédance (e.g. Zaglmayr, 2006). Ce type de conditions aux limites ne sera pas utilisé dans ce travail, et nous nous contentons donc de présenter les conditions aux limites de Dirichlet et Neumann usuelles.