Influence du champ aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising

Influence du champ aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising

Introduction au groupe de renormalisation non perturbatif 

 Introduction 

Nous introduisons dans ce chapitre les idées du groupe de renormalisation et, plus particulièrement, de son implémentation non perturbative. On considère donc un modèle de physique statistique dans le continu ; les degrés de liberté du système sont décrits par un champ φ(x) qui fluctue dans l’espace. Ce dernier peut, par exemple, représenter l’aimantation locale dans un système magnétique. Au niveau microscopique, l’action ou hamiltonien microscopique S[φ] = βH[φ] précise les interactions entre les degrés de liberté ; la théorie s’accompagne également d’une coupure ultraviolette Λ ∼ 1/a lorsque le modèle est initialement défini sur un réseau. On souhaite calculer des valeurs moyennes et des fonctions de corrélation qui s’écrivent en termes d’intégrales fonctionnelles. En particulier, la fonction de partition du système s’exprime par : (2.1) Z = Z Dφ e−S[φ] Dans la seconde moitié des années 60, le concept de théorie effective permettant de décrire la physique à grande échelle, après avoir éliminé les fluctuations des degrés de liberté sur des courtes distances, prend son essor avec la décimation en blocs de spins de Kadanoff [Kad ]. Wilson formalise ensuite la notion de groupe de renormalisation [Wil71a, Wil71b] ; l’idée est alors de calculer d’une façon judicieuse la trace dans l’Eq. (2.1) en effectuant l’intégrale, non pas en une seule fois, mais par étapes. On introduit pour cela une échelle d’impulsion caractéristique k comprise entre 0 et Λ; celle-ci marque la séparation entre les modes rapides du champ (c’est à dire les composantes φ(q) de la transformée de Fourier du champ telles que |q| > k) et ses modes lents (les φ(q) avec |q| < k). En intégrant dans la fonction de partition uniquement les modes rapides, qui ne contribuent qu’indirectement   à la physique de grande distance, on obtient une théorie effective pour les modes lents, caractérisée par une action effective. Les méthodes du groupe de renormalisation consistent à étudier l’évolution de cette action effective lorsque l’échelle k varie infinitésimalement ; cela est appelé une transformation du groupe de renormalisation. Le comportement critique du système est directement relié aux propriétés dynamiques de l’action effective (dédimensionnée) quand k tend vers 0. En particulier, un point fixe des transformations du groupe de renormalisation traduit l’invariance d’échelle, c’est à dire une longueur de corrélation infinie pour le système, et cela s’associe au point critique correspondant à une transition de phase continue. L’analyse des flots du groupe de renormalisation à proximité du point fixe permet notamment d’extraire les exposants critiques du modèle. La plupart des approches du groupe de renormalisation sont basées sur la théorie de perturbation ; citons par exemple le fameux développement en  = 4 − d exposé par Wilson et Fisher au début des années 70 [WF ]. Les observables sont alors développées autour de la théorie libre selon un petit paramètre ; cela permet de déterminer de manière systématique les propriétés physiques du système sous la forme d’un développement en série. Notons, cependant, que les séries obtenues sont en général non convergentes et nécessitent l’utilisation de techniques de resomation afin d’aboutir à des prédictions physiques. Il existe également des formulations fonctionnelles non perturbatives du groupe de renormalisation. Il est, par exemple, possible de dériver une équation exacte pour l’évolution de l’action effective wilsonienne avec l’échelle k [WK , Wil ] ; cette dernière est souvent appelée équation de Polchinski dans la littérature [Pol]. Wegner et Houghton ont aussi établi une équation fonctionnelle exacte en implémentant les idées du groupe de renormalisation de Wilson [WH]. Cependant, à part pour obtenir des preuves à tous les ordres de renormalisabilité de théories, ces équations non perturbatives ont peu été utilisées. Ces dernières rencontrent en effet plusieurs difficultés : les quantités considérées dans ces approches ne permettent pas de déterminer directement les propriétés thermodynamiques du système et les résultats obtenus sont, de plus, très difficilement contrôlables. Le groupe de renormalisation fonctionnel a connu un renouveau au début des années 90 sous l’impulsion des travaux de Wetterich [Wet91, Wet93a, Wet93b, Wet93c]. L’idée est toujours celle de Wilson mais l’approche de Wetterich repose sur une nouvelle quantité dont l’interprétation physique est plus directe. Bien que formellement équivalente, cette formulation non pertubative et fonctionnelle du groupe de renormalisation surmonte les principaux problèmes rencontrés dans les approches de Wilson-Polchinski et de Wegner-Houghton. En particulier, les résultats sont beaucoup plus stables lorsque l’on procède à des approximations. Notons que des idées très proches se trouvent également dans les travaux de Parola et Reatto publiés quelques années plus tôt, et destinés principalement à la physique des liquides [PR, Par, PPRa, PPRb, PR].   Le but de ce chapitre est de donner une introduction au groupe de renormalisation à la Wetterich. Les principaux concepts sont introduits dans la section qui suit ; nous illustrons ensuite ces derniers sur l’exemple de la théorie scalaire φ 4 . Notons qu’un cours introductif au groupe de renormalisation non perturbatif ainsi qu’à ses relations avec les approches perturbatives est donné dans [Del12] (pour une revue plus complète, le lecteur intéressé pourra aussi consulter [BTW02]). 

Groupe de renormalisation à la Wetterich

 Tout comme dans le schéma wilsonien du groupe de renormalisation, nous considérons une impulsion caractéristique k comprise entre 0 et Λ. k = Λ désigne l’échelle microscopique ; à cette échelle de haute énergie, la théorie est définie par son action S. On souhaite diminuer k tout en intégrant au fur et à mesure les fluctuations des degrés de liberté sur des courtes distances, inférieures à k −1 , et finir par obtenir les propriétés physiques de grande échelle à la limite k → 0. L’idée est alors de construire une fonctionnelle Γk dépendant de l’échelle k qui va relier de façon continue les descriptions microscopique et macroscopique. Au niveau microscopique, aucune fluctuation ne sera prise en compte dans Γk et celle-ci sera égale à l’action S. Au contraire, les fluctuations de toutes les échelles auront été intégrées à la limite k = 0 et l’on veut obtenir le potentiel de Gibbs du modèle Γ (en employant la terminologie des systèmes magnétiques). i Ce dernier permet, en effet, d’accéder aux quantités thermodynamiques comme l’aimantation ou la susceptibilité, ainsi qu’aux fonctions de corrélations du système. On a donc : (2.2a) Γk=Λ = S (2.2b) Γk=0 = Γ Γk est appelée action effective courante ; celle-ci a été introduite par Wetterich au début des années 90 [Wet91, Wet93a, Wet93b, Wet93c]. Seuls les modes rapides du champ sont pris en compte et intégrés dans Γk ; k joue ainsi le rôle d’une coupure infrarouge pour l’action effective courante. Dans le régime de grande impulsion |q| > k, cette dernière peut être interprétée comme le potentiel de Gibbs d’un sous-système de taille finie k −d . i. Γ est obtenu par transformée de Legendre de l’énergie libre W[j] = log Z[j] = log R Dφ e−S[φ]+j·φ , où Z[j] = R Dφ e−S[φ]+j·φ est la fonction de partition du système en présence d’une source externe j : Γ[ϕ] = j.ϕ − W[j] où le champ classique ϕ vérifie ϕ(x) = δW[j] δj(x) et s’interprète comme l’aimantation du système. Γ[ϕ] est la fonctionnelle génératrice des diagrammes dits « une particule irréductibles » (1PI) dans le cadre de la théorie quantique des champs et, est souvent appelée action effective.  L’évolution de l’action effective courante avec l’échelle k est finalement donnée par une équation différentielle exacte [Wet93b]. L’intégration de cette équation différentielle permet alors d’accéder aux propriétés thermodynamiques du système, contenues dans Γk=0, en partant d’une condition initiale Γk=Λ qui définit les propriétés microscopiques. Cette résolution, où l’on prend au fur et à mesure en compte de plus en plus de degrés de liberté, décrit une transition vers la complexité. Comme nous le verrons ensuite, il est néanmoins nécessaire de procéder à des approximations pour réaliser cette intégration. Notons déjà que même lorsque k est non nul, Γk contient les propriétés thermodynamiques effectives à l’échelle k, c’est à dire pour un système de taille finie. Nous nous attacherons dans un premier temps à construire l’action effective courante en s’assurant que les propriétés asymptotiques Eqs. (2.2a) et (2.2b) soient satisfaites. L’équation de flot exacte sera ensuite dérivée. Nous discuterons alors la structure et les conséquences de cette équation, ainsi que les différentes méthodes d’approximation utilisées en pratique pour l’intégrer. Nous exposerons finalement une procédure d’optimisation des résultats utile lorsqu’on souhaite extraire des quantités universelles, comme les exposants critiques du modèle par exemple. Afin de fixer les idées et rendre l’exposé clair, nous nous plaçons dans le cadre simple de la théorie d’un champ bosonique scalaire réel φ dont l’action S est invariante par translation et rotation dans l’espace, ainsi que sous l’opération φ 7→ −φ. ii Les principaux concepts restent les mêmes pour des théories plus élaborées.

Construction de l’action effective courante

On commence par construire l’action effective courante pour la théorie bosonique scalaire φ 4 . Ce travail a été mené en majeure partie par Wetterich dans la série d’article [Wet91, Wet93a, Wet93b, Wet93c]. On cherche donc un moyen de découpler les modes lents, d’impulsion inférieure à k, afin que ceux-ci ne soient pas pris en compte dans le calcul de la fonction de partition. Une méthode simple est d’ajouter dans l’action de départ un terme de masse (i.e. quadratique dans les champs) qui dépend de l’impulsion : (2.3) Sk[φ] = S[φ] + ∆Sk[φ] avec : (2.4) ∆Sk[φ] = 1 2 φ.Rk.φ = 1 2 Z x,y Rk(x, y)φ(x)φ(y) = 1 2 Z q Rk(q)φ(q)φ(−q), ii. L’action S est invariante sous la symétrie Z2 = O(1) du modèle d’Ising. où R x = R d dx et R q = R d d q/(2π) d dénotent respectivement des intégrales sur l’espace direct et sur l’espace réciproque (d étant la dimension). Les conventions de transformée de Fourier ainsi que les notations concernant les opérateurs sont précisées dans l’annexe A. Afin de préserver l’invariance par translation et rotation dans l’espace, les composantes Rk(x, y) de l’opérateur Rk ne dépendent que de la distance |x − y|. iii Il en est de même pour sa transformée de Fourier Rk(q) = Rk(q, −q); elle n’est fonction que de la norme |q|. Pour la théorie modifiée Sk, la fonction de partition en présence d’une source externe j s’écrit : iv (2.5) Zk[j] = Z Dφ e−Sk[φ]+j·φ avec j.φ = R x j(x)φ(x). La fonction Rk(q) est appelée fonction de régularisation infrarouge ou plus simplement régulateur infrarouge. C’est elle qui permet de réduire de façon effective les fluctuations des modes lents dans Zk, sans influencer celle des modes rapides. Elle doit satisfaire les conditions suivantes : • Pour k = Λ, R(q) → ∞ ∀ q. On donne ainsi une masse infinie à tous les modes, ce qui gèle entièrement leur propagation ; aucune fluctuation n’est alors prise en compte. • Pour k = 0, la fonction R est identiquement nulle. Cela implique Zk=0 = Z ; on retrouve la fonction de partition du modèle de départ où toutes les fluctuations ont été intégrées. Plus précisément, pour 0 < k < Λ, Rk est une fonction décroissante de |q| et varie rapidement autour de |q| = k. Elle décroit alors plus vite que toute loi de puissance de |q| et vérifie Rk(|q| > k) ‘ 0. v En conséquence, les modes rapides ne sont pas affectés par la présence du régulateur et sont intégrés exactement dans Zk. On impose d’autre part pour des raisons dimensionnelles Rk(|q|  k) ‘ k 2 ; vi cela procure une masse aux modes lents qui sont alors gelés et sans influence sur la physique de grande distance (leurs poids dans l’intégrale fonctionnelle de l’Eq. (2.5) est fortement réduit). Notons qu’on utilisera dans la suite par commodité Rk=Λ = Λ2 , qui n’est qu’une version approchée de Rk=Λ → ∞ (nous reviendrons plus tard sur cette approximation). Un exemple typique de régulateur analytique est celui proposé par Wetterich [TW94], dont la forme est la suivante : (2.6) Rk(q) = q 2 e q 2/k2 − 1 iii. L’ajout du terme quadratique ∆Sk[φ] préserve également la symétrie Z2 de l’action microscopique. iv. La source s’interprète comme un champ magnétique extérieur. v. Ce comportement pour Rk est bien en accord avec la condition Rk=0 = 0. vi. Lorsque nous prendrons en compte la renormalisation du champ Zk dans la suite, il sera également nécessaire d’inclure ce préfacteur dans le régulateur tel que Rk(|q|  k) ‘ Zkk 2 .  Ce régulateur est représenté sur la Fig. 2.A. Il est également possible d’utiliser une fonction de régularisation plus brutale (non analytique), comme par exemple [Lit00] : (2.7) Rk(q) = (k 2 − q 2 ) θ(k 2 − q 2 ) où θ est la fonction de Heaviside, qui vaut 1 lorsque son argument est positif et 0 sinon. |q| Rk(q) k 2 0 k Figure 2.A – Forme typique de régulateur analytique utilisé dans l’approche du groupe de renormalisation par l’action effective courante (Eq. (2.6)). Nous donnerons des détails sur le choix et l’optimisation de la fonction de régularisation par la suite ; concentrons nous, pour le moment, sur la construction de l’action effective courante. Le logarithme de Zk, c’est à dire l’énergie libre en mécanique statistique, (2.8) Wk[j] = log Zk[j], permet de générer les fonctions de corrélations connexes (pour la théorie à l’échelle k). Le champ classique, qui correspond à la moyenne de φ calculée avec le poids de Boltzmann exp(−Sk[φ] + j.φ), s’obtient en dérivant une fois Wk par rapport à la source : (2.9) ϕ(x) = δWk[j] δj(x) = W (1) k [j](x) Les notations associées aux dérivées fonctionnelles sont également définies dans l’annexe A. ϕ s’interprète comme l’aimantation effective à l’échelle k (c’est également une fonctionnelle de j dépendant de k mais on écrira seulement ϕ pour alléger la notation). On introduit ensuite la transformée de Legendre de Wk, c’est à dire le potentiel de Gibbs pour la théorie Sk : (2.10) Γ˜ k[ϕ] = j.ϕ − Wk[j] où la variable ϕ vérifie l’Eq. (2.9). Cette action effective possède déjà le comportement souhaité lorsque k = 0 : Rk=0 = 0, donc Wk=0 = W, et Γ˜ k=0 = Γ. Il est cependant 10 2.2. GROUPE DE RENORMALISATION À LA WETTERICH nécessaire de travailler avec un potentiel de Gibbs modifié pour obtenir également le bon comportement dans la limite k = Λ. On définit finalement l’action effective courante en retranchant le terme de régularisation (évalué pour le champ classique) à Γ˜ k : Γk[ϕ] = Γ˜ k[ϕ] − ∆Sk[ϕ] = j.ϕ − Wk[j] − ∆Sk[ϕ] (2.11) Il est clair que cette modification ne change pas la limite en k = 0. Montrons maintenant que l’ajout de ce terme permet de retrouver le bon comportement pour k = Λ. Il est possible d’écrire une représentation du potentiel de Gibbs sous la forme d’une intégrale fonctionnelle faisant directement intervenir l’action microscopique. Pour l’action effective courante Γk, cette représentation est la suivante : e −Γk[ϕ] = Zk[j] e ∆Sk[ϕ]−j.ϕ = Z Dφ e−S[φ]−∆Sk[φ−ϕ]+Γ(1) k [ϕ].(φ−ϕ) = Z Dφ e−S[φ+ϕ]−∆Sk[φ]+Γ(1) k [ϕ].φ (2.12) où l’on a utilisé la relation j = Γ˜ (1) k [ϕ] = Γ(1) k [ϕ]+Rk.ϕ vii ainsi qu’un changement de variable dans l’intégrale fonctionnelle pour passer de la deuxième à la troisième ligne. Lorsque la fonction Rk tend vers l’infini pour k = Λ, la seule contribution non nulle à l’intégrale cidessus vient en φ = 0 (le terme exp(−∆Sk[φ]) = exp(−φ.Rk.φ /2) joue le rôle d’un delta de Dirac fonctionnel δ(φ)). D’où la limite souhaitée : (2.13) e −Γk=Λ[ϕ] = e −S[ϕ] L’action effective courante définie dans l’Eq. (2.11) vérifie donc bien les conditions asymptotiques fondamentales Eqs. (2.2a) et (2.2b). viii Notons que notre approximation Rk=Λ = Λ2 , qui est une masse très grande mais finie, permet d’avoir seulement : (2.14) Γk=Λ ‘ S vii. C’est la relation inverse de l’Eq. (2.9) pour les variables conjuguées j et ϕ de la transformation de Legendre. viii. La représentation intégrale dans l’Eq. (2.12) permet également de vérifier le bon comportement pour Γk lorsque k = 0 ; il vient alors : e −Γk=0[ϕ] Z Dφ e−S[φ+ϕ]+Γ(1) k=0[ϕ].φ C’est la relation fonctionnelle typique entre un vrai potentiel de Gibbs et l’action microscopique, on retrouve ainsi Γk=0 = Γ.   Puisque nous sommes intéressés par les phénomènes critiques et les propriétés universelles de grande échelle, indépendantes des détails microscopiques, nous nous contenterons de cette égalité approchée dans toute la suite. Au contraire, si l’on souhaitait déterminer les propriétés thermodynamiques non universelles du modèle comme la température critique par exemple, il serait nécessaire d’avoir l’égalité exacte entre Γk=Λ et S [SW99]. ix

Flot de l’action effective courante

Après avoir défini l’action effective courante et démontré son bon comportement dans les deux limites k = Λ et k = 0, attachons nous à écrire son équation de flot, c’est à dire l’équation qui donne son évolution lorsqu’on varie continûment l’échelle k. On introduit tout d’abord une échelle logarithmique constituant un paramètre additif pour les transformations du groupe de renormalisation : x (2.15) t = log(k/Λ) On appellera ce dernier « temps du groupe de renormalisation ». Ce « temps » étant choisi négatif ici, la physique de grande distance s’obtient dans la limite t → −∞. Dérivation de l’équation de flot exacte Nous allons tout d’abord établir l’équation de flot pour l’énergie libre Wk. Notons que lorsque la source j est considérée comme indépendante de l’échelle k (comme dans l’expression Wk[j]), l’aimantation ϕ dépend quant à elle de k. Au contraire, il est possible de se placer à aimantation fixée (comme dans l’expression Γk[ϕ]) et c’est alors la source j qui va dépendre de k. On écrira dans la suite ∂t|j pour une dérivation par rapport au temps du groupe de renormalisation à j fixé et ∂t|ϕ pour une dérivée à ϕ fixé. On passera de l’une à l’autre avec : (2.16) ∂t|j = ∂t|ϕ + ∂tϕ|j . δ δϕ ix. On peut par exemple remplacer l’expression précédente du régulateur Rk(q) = q 2 / .

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