AMPLIFICATION D’IMAGE

Influence de l’effet piézoélectrique sur l’effet électrooptique

L’effet piézoélectrique [24] est présent dans un cristal photoréfractif car il est noncentrosymétrique. Le champ de charge d’espace provoque des déformations qui par l’effet électrooptique provoque un changement d’indice. Par exemple, Stepanov et al. [25] ont montré l’influence de l’effet piézoélectrique sur les variations d’indice dans des cristaux à symétrie cubique. Cependant, les coefficients électrooptiques et diélectriques déterminés pour la plupan des matériaux photoréfractifs concernent des cristaux libres ou contraints auxquels ont été appliqués des champs électriques uniformes. Les valeurs de ces coefficients ne peuvent pas par conséquent être utilisées directement lorsque des champs électriques modulés spatialement tels que ceux induits par effet photoréfractif sont présents dans les matériaux. Nous allons dans ce paragraphe montrer que les déformations induites par un champ électrique modulé spatialement diffèrent de celles induites par un champ uniforme. Nous démontrons que les coefficients diélectriques et électrooptiques effectifs qui doivent être utilisés ne sont ni les coefficients contraints, ni les coefficients libres mais qu’ils peuvent être calculés à partir de ces derniers..

Analyse de la déformation

Dans un cristal piézoélectrique, un champ électrique interne E modifie la contrainte a, la déformation §, et l’induction D. Nous choisissons deux ensembles de variables indépendantes [24]. Dans la suite, nous utiliserons (.Q’, E) et (§ » E). Avec les conventions d’Einstein, nous avons: Ôij = Sijk/a,,/ +dkijE » , (28.a) D a=oE ,= d ».a,,, + eo e »  » (28.b) , ‘1’ » J ‘1 1 ou: a jj =Cijk/ÔkI -ekijEk’ (29.a) D Ô o=oE (29.b) i =e ijk jk +e o e ij j’ où ôjj’ aij’ Ei etDi sont les composantes du tenseur des déformations, du tenseur des contraintes, du champ électrique et de l’induction ; Sijkl et cjjld sont les composantes des tenseurs d’élasticité et de rigidité; eijk et d jjk sont les composantes des tenseurs piézoélectriques; et=o et e:;=o sont les composantes des tenseurs diélectrique relatif statique contraints et libres. Les équations (28) et (29) sont équivalentes. L’effet d’un champ électrique E interne et de la déformation §, sur l’imperméabilité est donné par la variation LlTJij du tenseur d’imperméabilité: o=oE B=O~ Ll (30) TJij = ‘ijk k + Pijkl U kI ‘ où ‘i~=o sont les composantes du tenseur électrooptique contraint et P:;;o les composantes du tenseur élastooptique. Les équations (28) à (30) sont valables pour des champs électriques uniformes ou modulés spatialement. Nous allons successivement examiner ces deux cas. 

Champs électriques internes uniformes

Nous supposons ici qu’une tension constante est appliquée à l’échantillon et y induit un champ interne uniforme. Si d est l’espace entre les électrodes, le module du champ interne est Vld et il est perpendiculaire aux électrodes. Nous supposons également que la contrainte et la déformation sont uniformes si bien que leurs valeurs dans le cristal sont égales à celles aux limites de l’échantillon. Si le cristal est libre (crij = 0), sa déformation est donnée par l’équation (28.a). En reportant dans l’équation (29.b) et en identifiant avec l’équation (28.b), on obtient: (1=0 0=0 d 1 e » = e.. +e’LI ‘kJ (31) ‘J lJ ~ J eo De la même manière, on obtient l’expression pour les coefficients électrooptiques libres ‘ijrO avec l’équation (30) : « .(1=0 0=0 d (32) 1 ijk rij/r. + Pijlm kJm Nous voyons avec ces deux dernières relations que six directions de déformation sont impossibles dans les cristaux appartenant au groupe de symétrie 23 comme le BSO ou le BOO car certaines composantes des tenseurs sont nulles. On peut calculer les différences entre les coefficients libres et contraints avec les valeurs des coefficients donnés en annexe 2. Pour le BGO : (1=0 0=0 – 4 3 eJ – el -, (1=0 0=0 0 34 V )

Dépendance du champ de charge d’espace avec les directions du vecteur réseau et du champ électrique.

Contrairement à l’étude menée dans le paragraphe 0.2, nous devons maintenant considérer le cas où le vecteur réseau n’est plus parallèle au champ appliqué. De plus, afin de prendre en compte un éventuel défaut de coupe du cristal, le champ appliqué étant perpendiculaire aux faces cristal, il ne s’aligne plus exactement selon [001] c’est-à-dire suivant l’axe cristallographique kt (figure 12).f’ , l’ , f! sont les vecteurs directeurs unitaires dont les composantes par rapport au repère cristallographique sont respectivement (l1…/2, 1/…/2,0), (-11…/2, 1/…/2,0) et (0,0,1). i est le vecteur unitaire dans la direction de E(), Xl et X2 sont les angles dus au défaut de coupe (dans le cas d’un cristal correctement taillé, Xl 0, X2 = 1t/2). El est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et donc aux strates du réseau c’est-à-dire suivant K.

Mesure de l’uniformité de l’amplification

Nous nous intéressons ici à la topographie du gain dans un cristal soumis à un champ électrique alternatif afin de connaître la répartition spatiale de l’amplification et sa variation en fonction de la forme du champ appliqué. a) Montage expérimental. La figure 15 représente le montage expérimental permettant cette étude. Un faisceau lumineux à la longueur d’onde  = 514 nm issu d’une source laser Argon, polarisé verticalement, se sépare en un faisceau fort (la pompe) d’intensité Ip et un faisceau faible (la sonde) d’intensité Is. Les deux faisceaux ont une structure d’onde plane. ils traversent un cristal de BGO:Fe (le dopage est 50 ppm) auquel est appliqué un champ alternatif. Dans notre expérience, l’amplitude du champ est Bo = 3,75 kY/cm, les intensités incidentes valent Ip= 5,26 mW/cm2 et Is= 36,8 J.1W/cm2, le pas du réseau photoinduit est 26 J.1m. Cette valeur est obtenue en faisant passer le faisceau pompe au travers de la lame séparatrice L.S. etqui arrive sous incidence quasi normale sur le cristaL Le faisceau sonde se réfléchit sur cette séparatrice et est ainsi incident sur le cristal avec un angle très faible par rapport à la pompe. La lame L.S. est prismatique pour éviter les franges d’interférence venant d’une lame à faces parallèles.Un filtrage spatial, destiné à éliminer la pompe en sortie du cristal est composé d’une lentille L} de distance focale 150 mm et d’un trou. La lentille L2 (distance focale 100 mm) forme l’image de la face de sortie du cristal dans un plan où est placée une barrette linéaire de t024 photodiodes recueillant le faisceau sonde amplifié. La barrette est verticale (suivant la direction [1tO]). Par des translations successives de la barrette suivant l’axe X, nous effectuons des coupes verticales de l’image de la face de sortie du cristal et établissons ainsi des cartes du facteur d’amplification. Chaque coupe du facteur d’amplification est calculée à partir de différentes acquisitions de la façon décrite précédemment au paragraphe @). Lb.

Résultats

Lorsque le champ appliqué est carré avec par exemple, une fréquence de 1,9 kHz, la carte de gain figure 16 met en évidence un gain relatif caractérisé par de faibles fluctuations (de l’ordre de tO %) autour de la valeur r = 4 (G = 1,8 cm-1 ), ceci sur toute la hauteur du cristal et pour chaque coupe. Ce résultat est valable quelle que soit la fréquence du champ. L’allure plus tourmentée de la coupe x = 4 mm est due à la présence très proche de l’électrode. Les fluctuations des coupes peuvent s’expliquer par l’absence de traitement anti-reflet sur les faces du cristal ce qui n’empêche pas les réflexions multiples à l’intérieur de l’échantillon comme nous le verrons dans la troisième partie au paragraphe 0.2. Pour un champ sinusoïdal, des coupes effectuées de manière identique, à fréquence donnée, présentent une allure similaire. La figure 17 montre la répartition de l’amplification dans la coupe x = 2 mm (au milieu du cristal) pour des fréquences du champ sinusoïdal allant de 2 kHz à 10 kHz. Pour chaque fréquence, le gain relatif est uniforme et sa valeur est fonction de la fréquence du champ ainsi que précédemment décrit (cf. paragraphe @).l).