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INCERTITUDE, IRREVERSIBILITE ET COMPORTEMENT D’INVESTISSEMENT DES ENTREPRISES BENINOISES
L’APPORT DES MODELES A VALEUR D’OPTION
Les travaux de Henry (1974) n’ont pas entraîné aussitôt des applications directes dans l’analyse théorique de l’investissement ; mais dans la théorie de la décision en situation d’incertitude (Galiègue, 1996). Il faut attendre une dizaine d’années et les travaux de Bernanke (1983) et de McDonald et Siegel (1986) pour que les modèles à valeur d’option intègrent la théorie de l’investissement irréversible en situation d’incertitude. Avant d’exposer le modèle le plus usité dans la littérature, celui de McDonald et Siegel (1986), nous essaierons de comprendre la notion de valeur d’option.
LA NOTION DE LA VALEUR D’OPTION
Nous présentons, pour commencer, un exemple simple de calcul de la valeur d’option proposé par Pindyck (1991). La formalisation de cet exemple présenté par Serven (1996), nous permettra d’appréhender l’apport de la notion de valeur d’option dans la compréhension du comportement d’investissement des entreprises qui subissent plusieurs formes d’incertitudes alors que les investissements sont irréversibles.
Un exemple de calcul de la valeur d’option
Pindyck (1991) considère une entreprise qui veut investir dans la construction d’une unité de production d’un bien donné. Il suppose que cet investissement peut se faire de façon instantanée à un coût irrécouvrable I. Le bien peut être produit toutes les années suivantes sans coûts opérationnels. Le prix de ce bien est de 100 F mais va changer l’année prochaine (et restera indéfiniment égal à la valeur qu’elle prendra). Avec une probabilité q, il peut subir une augmentation de 50 F et passer ainsi à 150 F. Dans le même temps, il peut baisser de 50 F avec une probabilité de (1-q). Pindyck (1991) suppose que l’entreprise peut diversifier ses risques et donc peut actualiser ses cash-flows au taux d’intérêt sans risque de 10%. Le problème est de savoir, pour q = 0,5 et I = 800 F, s’il faut investir maintenant ou attendre pour voir si le prix va augmenter ou baisser. Si l’entreprise décide d’investir aujourd’hui, la valeur actuelle nette (VAN) du projet calculée selon la méthode standard est : ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = +−= +−= 0 0 0 1,1 1 100800 1,1 100 800 t t t VAN t En remarquant que ( ) ∑ ∞ =0 1,1 1 t t est la somme d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/1,1 et que cette somme est égale à 1,1/0,1 = 11 quand t tend vers +∞, on obtient : VAN0 = -800 + 100 x 11 = – 800 + 1100 = 300 21 La VAN est positive, donc on peut entreprendre l’investissement maintenant (à t = 0). Malgré cela, ce serait une décision erronée ; car, ce calcul ne prend pas en compte un coût : le coût d’opportunité lié à l’investissement immédiat, c’est-à-dire la perte de la possibilité d’attendre et ne pas investir si le prix arrivait à baisser. Pour prendre en compte cette possibilité calculons la VAN de cette opportunité d’investissement. L’investissement n’est effectivement réalisé dans un an que dans le cas d’une augmentation du prix du bien produit par l’entreprise. Il y a une probabilité q (q=0,5) pour que cette augmentation ait lieu. Dans ce cas, la VAN est obtenue de la manière suivante : ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−= ∑ ∞ =1 1 1,1 150 1,1 800 5,0 t VAN t La valeur présente de la possibilité d’investir l’année prochaine (t = 1) est calculée en prenant en compte le fait qu’elle n’est réalisable qu’à une probabilité de q (q=0,5). Le coût d’installation qui est le même qu’elle que soit l’année de réalisation, doit être actualisé (en calculant sa valeur à t = 0). Les ventes ne commenceront qu’à t = 1 (la somme des cash-flows commence donc par t = 1 et non t = 0 comme précédemment). On obtient, en faisant les mêmes calculs que précédemment, dans ce cas : VAN1 = 386 F En comparant la VAN liée à l’investissement immédiat et celle liée à la possibilité d’investir un an plus tard, on constate qu’il est plus intéressant d’attendre. Pindyck (1991) montre ainsi qu’il est possible que l’attente soit mieux que l’investissement immédiat. Le 22 gain tiré du report de l’investissement, la valeur d’option, est la différence entre les deux valeurs actuelles nettes : 86 F. Signalons que si le coût de l’investissement était récupérable, l’entreprise peut investir à t = 0 et désinvestir si le prix baisse à t = 1 ; la valeur d’option est nulle dans ce cas. Il peut aussi exister des situations où l’entreprise ne peut pas attendre ; par exemple, si elle anticipe l’entrée d’un concurrent. Mais cet exemple simple montre qu’il peut être préférable d’attendre plutôt que d’investir immédiatement. Il montre aussi que, pour un investissement irréversible, il faut intégrer dans les calculs le coût lié au risque de se retrouver en surcapacité de production en cas de conjoncture défavorable. Serven (1996) propose une formulation plus explicite de ce résultat.
Une formalisation simple de la notion de valeur d’option
L’exemple numérique précédent nous permet d’appréhender la notion de la valeur d’option. Nous pouvons la formaliser pour généraliser les conclusions tirées de l’exemple précédent. Serven (1996) étudie le cas d’une entreprise neutre par rapport au risque qui doit réaliser un projet dont le coût, totalement irrécouvrable et investi entièrement en début de la période (t = 0), est Pk. Ce projet entraînera une recette connue R0 à la fin de la période au cours de laquelle l’investissement a été réalisé (t = 0). Par contre, les recettes R pour chacune des périodes suivantes sont incertaines, à 23 cause de l’incertitude sur la demande par exemple. Compte tenu d’informations disponibles à t = 0, la valeur anticipée de cette recette annuelle future est E0[R]. La VAN d’un tel projet est : ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + + + +−= + + + +−= 0 2 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 t t k t t k ii RE i R P i RE i R PV En remarquant que ( ) ∑ ∞ = 0 1 + 1 t t i est la somme d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/(1+i) et qu’elle est égale à (1+i)/i quand t tend vers +∞. On obtient la formulation suivante de V0 : ( ) [ ] ( ) [ ] ( )i iRER P ii RE i R PV k k + + +−= + + + +−= 1 / 11 0 00 0 0 (1.1) Selon le critère de la VAN, l’investissement est réalisable si V0 > 0. En multipliant expression de V0 par (1+i) et en réarrangeant le résultat, cette condition est équivalente à : [ ] 0 0 0 > − +− i iPRE iPR k k (1.2) En absence de dépréciation et de variation du prix des équipements de production, iPk représente le coût d’usage du capital. En avenir certain, la règle de décision est : R0 – iPk > 0 (1.3) La situation d’incertitude fait qu’on introduit dans la règle de décision, comme l’indique l’équation (1.2), l’écart entre la recette attendue et le coût du capital. Néanmoins cette règle de décision n’intègre pas le fait que l’entreprise, l’investissement étant 24 irréversible, peut se retrouver avec des équipements inutilisés dans le cas d’une demande plus faible. Dans cette situation, il peut être utile d’attendre, pour avoir plus d’information sur l’évolution future de la demande, et prendre une meilleure décision. La réalisation immédiate de l’investissement a, de ce fait, un coût d’opportunité qui n’est pas pris en compte dans la règle de décision proposée par l’équation (1.2). Il est donc possible de différer la réalisation de l’investissement qui pourrait être entrepris l’année suivante (t = 1) si la recette R est supérieure au coût d’usage du capital. La VAN (V1) de la possibilité d’investir plus tard est obtenue de la façon suivante : ( ) ( ) ( ) [ ]⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ > ++ + + − = > ∑ ∞ =ot t k k k iPRRE iii P iPRRV / 1 1 1 1 1 /Pr 1 2 0 ( ) k /Pr > iPRR est la probabilité (compte tenu des informations disponibles à t = 0) que la recette générée par le projet excède le coût du capital ; ]/[0 k > iPRRE est la valeur attendue de R (suivant les indications connues sur la demande future à t = 0), dans le cas où cette recette excéderait le coût du capital. En faisant un calcul analogue à celui effectué précédemment, on obtient : ( ) [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + > + + − = > ii iPRRE i P iPRRV k k k 1 / 1 /Pr 0 1 (1.4) Pour savoir s’il faut investir immédiatement ou plutôt attendre, il faut calculer la différence entre V1 et V0 ; investir aussitôt dans le 25 cas où cette différence serait négative (V1 – V0 < 0) et attendre dans le cas contraire. Pour ce faire on utilisera le résultat statistique ci-après : ( /Pr][ ) ( /Pr]/[ ) ]/[ 0 k 0 k k 0 k = > > + ≤ ≤ iPRREiPRRiPRREiPRRRE En introduisant ce résultat dans l’expression de V0 [équation (1.1)], on a : ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )ii iPRREiPRRiPRREiPRR i R PV k k k k k + > > + ≤ ≤ + + +−= 1 /Pr / /Pr / 1 0 0 0 0 L’utilisation de cette dernière formulation de V0 dans le calcul de V1 – V0 permet d’avoir le résultat suivant : ( ) ( ) ( ) [ ] ( )ii iPRREiPRR i R PiPRR i P VV k k k k k + ≤ ≤ + + −+> + − =− 1 /Pr / 1 /Pr 1 0 0 1 0 [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ ≤ −− +−++≤ + = i iPRREiPRR RPiiPRRP i k k k k k /Pr / /Pr1 1 1 1 0 0 ( ) [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ −≤ ≤ +− + = i iPRRiPiPRREiPRR RiP i k kk k k /Pr / /Pr 1 1 0 0 ( ) [ ] ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ≤ ≤− + =− k k k k iPR i iPRiPREiPRR i VV 0 0 01 /Pr / 1 1 (1.5) Cette dernière égalité est obtenue par l’utilisation du principe statistique selon lequel, iPk étant connu avec certitude, il est aussi égal à E0[iPk/R≤iPk]. De ce fait, E0[R/R≤iPk ] – iPk est égal à E[R- iPk /R≤iPk]. L’entreprise décide d’investir immédiatement si − VV 01 < 0. En utilisant l’expression de − VV 01 donnée par l’équation (1.5), on obtient la formulation suivante pour cette règle de décision : 26 ( ) ( ) [ ] 0 /Pr / 0 0 > ≤ − ≤ −− i iPRiPREiPRR iPR k k k k (1.6) En situation de réversibilité, la recette de l’année de réalisation de l’investissement (R0) doit couvrir le coût d’usage du capital ; c’est la règle de décision édictée par l’équation (1.3). Mais en situation d’irréversibilité totale, à partir de l’équation (1.6), la recette doit non seulement couvrir le coût d’usage du capital mais aussi le coût lié au risque de se retrouver en surcapacité de production si la demande venait à baisser. Il y a une probabilité ( ) /Pr ≤ iPRR k pour que cette situation advienne. Le seuil de rentabilité nécessaire pour déclencher un investissement est plus élevé si ce dernier est irréversible et que les recettes futures sont incertaines. L’irréversibilité et l’incertitude entraînent, en conséquence, la non-réalisation ou le report de certains projets d’investissement qui auraient été rentables si les entreprises ne se trouvaient pas dans cette situation. On trouve là une explication théorique des niveaux d’investissements plus faibles que prévu et des absences de réactions qu’auraient dû entraîner certaines mesures de politiques économiques. Il faut aussi, grâce à l’équation (1.6), noter que seule la possibilité de se retrouver en situation d’excès de capacités de production est prise en compte. La possibilité que, dans le futur, la recette (R) peut être supérieure au coût d’usage du capital (iPk) n’a pas d’effet sur le seuil de déclenchement de l’investissement. On retrouve le principe des mauvaises nouvelles de Bernanke (1983). L’option 27 d’attendre n’a pas de valeur dans les situations favorables où investir aurait été, de toute façon, la bonne décision ; elle n’aurait de valeur que dans la situation où investir aujourd’hui aurait été, ex-post, une mauvaise décision (Agénor, 2000). 1.1.2- QUELQUES EXEMPLES DE MODELE A VALEUR D’OPTION Les modèles à valeur d’option formalisent le même problème mais en temps continue. Nous présentons d’abord le modèle de base : celui de McDonald et Siegel (1986). Ensuite d’autres exemples de modèles à valeur d’option seront exposés. 1.1.2.1- Le modèle canonique de la valeur d’option McDonald et Siegel (1986) présentent une généralisation de l’exemple précédent ; la valeur du projet fluctue en permanence (et non à t = 1 seulement) et donc les possibilités de report vont audelà de la seconde période. L’hypothèse retenue ici est que le revenu (X) généré par le projet est incertain et suit un mouvement brownien, avec tendance, de la forme suivante : dWdt X dX += σα (1.7) dW représente l’accroissement d’un processus de Wiener avec dW = ε(t) (dt)1/2 ; ε(t) est une variable aléatoire non corrélée suivant une loi normale. α est la valeur autour de laquelle varie le revenu (X) dans le temps et σ représente l’écart type de cette fluctuation. 28 L’équation (1.7) signifie que le revenu du projet est affecté de façon permanente par des chocs (positifs ou négatifs) d’amplitude σ autour d’une tendance α. Le revenu courant du projet est connu avec certitude mais ses valeurs futures suivent une loi log normale dont la variance croît de façon linéaire dans le temps. L’entrepreneur reçoit, au fil du temps, des informations supplémentaires mais les revenus futurs du projet demeurent aléatoires. Le problème de l’investisseur est de déterminer à quel moment (moment qui n’est pas forcément la deuxième période comme dans l’exemple précedent) investir sachant que le montant de l’investissement (I) est irrécupérable et que le revenu futur qu’il engendrera est incertain et suit le processus décrit par l’équation (1.7). Comme dans le cas précédent, le report de l’investissement va permettre de réaliser un gain (la valeur d’option du projet) par rapport à la réalisation immédiate du projet. L’objectif est de déterminer la période T où ce gain sera maximal et donc d’investir à cette période. Soit V = F(X) la valeur nette du projet, le programme de l’entreprise est alors : [max)( ( ) e ] rT T XF IXE − = − (1.8) avec E l’espérance mathématique, T la période future (inconnue) où l’entreprise décidera d’investir et r le taux d’actualisation. La maximisation est faite sous la contrainte de l’équation (1.7). 29 Une hypothèse importante est faite ici : l’acroissement moyen de la valeur du capital (α) doit être inférieur au taux d’actualisation r. Dans le cas contraire le projet d’investissement sera reporté indéfiniment. La décision d’investissement est prise en comparant la valeur d’option du projet [F(X)] à sa valeur présente nette. L’investisement est réalisé quand ces deux valeurs s’égalisent. A la période T on a : F(X*) = X* – I. Le graphique 1.1 permet d’illustrer ce résultat.
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