Identités génériques dans les algèbres de groupes

Identités génériques dans les algèbres de groupes

Dans ce chapitre, nous donnons une preuve très simple du théorème de Farahat-Higman 1.7, et nous en démontrons un analogue dans le contexte des algèbres d’Hecke de type A (cf. [Mé10d]). Ces résultats constituent ce que nous appellerons des identités génériques, c’est-à- dire des identités entre éléments d’algèbres (de groupes, ou générales) A de transpositions avec un point commun, donc donnent un 3-cycle, qui peut s’écrire de trois façons comme produit de transpositions ; et , et il n’existe pas de limite projective (qui serait un candidat naturel pour A). L’algèbre d’Ivanov-Kerov (cf. [IK99]) permet de contourner cette difficulté, et l’essentiel de cette dernière partie est consacrée à des généralisations de cette belle construction, qui est rappelée dans la section 12.1. Ainsi, le résultat nouveau principal de ce chapitre est le théorème 12.5, qui assure que le théorème de Farahat-Higman reste vrai dans les centres des algèbres d’Hecke, à condition de remplacer les classes de conjugaison par les éléments de Geck-Rouquier (voir [GR97]), et les coefficients polynomiaux en n par des coefficients polynomiaux en n et en q (ceci avait été conjecturé par A. Francis et W. Wang dans [FW09]). Ces éléments de Geck-Rouquier ont une définition implicite, et on ne dispose pas d’expression explicite a priori ; il est donc très difficile de construire une algèbre « limite projective » les contenant tous. Fort heureusement, les centres des algèbres d’Hecke de type A admettent d’autres bases plus faciles à mani- puler, en particulier des bases constituées de normes. Nous expliquons ceci dans la section 12.2, en nous appuyant pour l’essentiel sur [Las06] ; ainsi, la base canonique de notre al- gèbre d’Hecke-Ivanov-Kerov sera constituée de normes génériques, voir la section 12.3. Des exemples d’identités génériques dans les centres des algèbres CS) seront donnés tout au long du chapitre.

Dans tout ce qui suit, si µ est une partition et n est un entier plus grand que |µ| + `(µ), nous noterons µ → n la partition complétée de taille n obtenue en rajoutant 1 aux n − |µ| en oubliant les supports des permutations partielles (nous noterons πOn donnera plus loin des résultats (et des preuves) analogues pour les algèbres (d’Hecke) de permutations composées, pour les algèbres de permutations scindées et plus généralement pour les algèbres de fibrés de semi-groupes par des semi-treillis, voir la proposition 13.2. des algèbres des groupes symétriques. Voyons maintenant comment construire une limite projective des centres de ces algèbres. Malheureusement, le centre de l’algèbre B , alors on a évidemment k = card S = card T, puis, le type cyclique deσ ∈ S(S) doit être le même que le type cyclique de τ ∈ S(T). Par conséquent, les classes. La réponse est non, et ceci est la source de nombreuses difficultés sup- plémentaires : en particulier, la base canonique de l’algèbre d’Hecke-Ivanov-Kerov que nous construirons dans la section 12.3 ne sera pas directement reliée aux classes de conjugaison dans les centres Z(HL’obstruction constatée précédemment amène à considérer un autre modèle de permuta- tion fibrées, à savoir, les permutations composées. On rappelle qu’une composition de taille n est une suite finie c = (cdes partitions d’ensembles de taille n est un treillis pourcet ordre non total, c’est-à-dire que deux partitions Π et Φ ont toujours une borne supérieure Π ∨ Φ et une borne inférieure Π ∧ Φ. En effet, une partition d’ensembles Π de taille n peut l’algèbre complexe de ce monoïde. Elle se projette évidemment sur CS.

pour tout N > n, étant entendu qu’on identifie deux telles familles si elles sont égales à partir d’un certain rang N. Autrement dit, une décomposition de (F indexée par les polypartitions multiples, à identification près parun procédé de complétion des polypartitions multiples semblable à ce que l’on a exposé au début de la section pour les polypartitions simples. Malheureusement, même si les projetés largement préférable de manipuler des algèbres dont les bases naturelles sont indexées par les polypartitions simples (au lieu des polypartitions multiples). Il manque donc encore quelques arguments à la preuve de la conjecture 13.19., étant entendu qu’on identifie deux décompositions de tailles distinctes si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par le procédé de complétion décrit ci-dessus. Nous noterons Dec(∞, FPar rapport au cas des permutations partielles, une difficulté majeure est qu’il n’est pas possible de définir un semi-groupe des « isomorphismes partiels » de taille n dont les élé- ments seraient les couples (g, V) avec V sous-espace de (F; comme les classes de conjugaison (voir la proposition 6.3) et les arrangements d’hyperplans vérifiant certaines conditions d’incidence sont énumérés par des fractions rationnelles .