Identification de paramètres mécaniques de matériaux composites à partir de corrélation d’images numériques multi-échelles

Illustration dans un cas 1D

Présentation de l’algorithme

Un algorithme correspondant à la présente implantation est proposé en Figure 1.15. FIGURE 1.15 – Organigramme du code 1D de la CIN Les matrices de corrélation élémentaires sont calculées par intégration aux pixels. Elles sont ensuite assemblées (voir l’équation 1.30) pour former la matrice globale MDIC . Cette matrice est calculée une fois pour toutes les itérations. Le champ de déplacement est initialisé (par exemple par FFT ou par une approche multigrille Besnard et al. [2006]). Cette estimation initiale, est corrigée itérativement. Pour se faire, l’image g (x) est advectée de l’estimation courante du déplacement par interpolation de type « spline ». Le second membre bDIC peut être, à son tour assemblé. Chaque correction du du problème (1.9) est ajoutée à l’estimation courante. Un critère de convergence (du/ui < 1 · 10°5) est testé après chaque itération pour pouvoir arrêter le calcul. Si la correction du est suffisamment petite, comparée à l’estimation courante du déplacement

Illustration de la CIN dans un cas unidimensionnel

Mise en œuvre à partir de données synthétiques

La texture de l’image f (x) est créée à partir d’un bruit de Perlin [Perlin, 1985]. L’image g (x) est quant à elle synthétisée à partir de f (x) avec un déplacement imposé. L’image de référence est maillée de manière régulière avec une taille d’éléments et une région (ROI) donnée. Pour illustrer le propos, les images 1D présentées ci-après, sont créées par extraction d’une ligne d’une image 2D de 110 x 10.000 px. L’image montre la texture d’un bruit de Perlin avec une dynamique de 256 niveaux de gris (8bit). La texture du bruit de Perlin ressemble au mouchetis déposé à l’aérosol ou à l’aérographe. L’image ne contient pas de bruit de type « bruit de capteur » (hormis le bruit de quantification de 0, 4NG qui apparait automatiquement sur une image codée en 256NG [Amiot et al., 2013]). L’image 1D déformée est générée par le transport de l’image de référence f (x) par une translation rigide de 0,5 px. Pour cet exemple, la ROI s’étend de 100 à 9800 px dans une image de 9900 px. Le maillage est constitué d’éléments 1D linéaires avec une résolution spatiale de 16 px par élément. 180 185 190 195 0.5 1 1.5 pixel → displacement → FIGURE 1.16 – Zoom sur un élément de 16 px (en rouge). L’arrière plan montre l’image f (x). En vert la fonction f (x) en [niveau de gris], en bleu, sa dérivé rf (x) et en noir, le déplacement calculé en [px]. La figure 1.16 montre les fonctions discrètes f (x) et rf (x) (calculé par différences finie entre 2 pixels voisins) en 1D devant leur texture. L’équation (1.29) montre bien que la CIN se base sur le gradient de l’image. Un faible gradient d’image provoque une mauvaise estimation du déplacement. Cet effet peut être observé en figure 1.17 où le déplacement imposé est toujours de 0,5 px et son déplacement calculé est représenté en noir. Par exemple les déplacements nodaux aux endroits de 243,5 et 371,5 px montrent des dispersions plus importantes par rapport au reste. Dans ces zones le gradient d’image est plus faible (voir la courbe en bleu). Pour notre exemple, la moyenne arithmétique mesurée pour 606 éléments de taille de 16 px/élément est de 0, 500046 px. L’erreur systématique de mesure est donc de 4, 6·10°5. L’écart-type ou l’erreur aléatoire relative aux 607 déplacements nodaux mesurés est de 0, 0118 px. On note enfin une valeur minimale de 0, 4585 px et une valeur maximale de 0, 5468 px. 3.2.3 L’incertitude de mesure En fonction du déplacement Maintenant il est intéressant de connaitre le comportement de la méthode de mesure par rapport aux valeurs des déplacements de corps rigide imposés à g (x) et à la taille d’élément 36 Chapitre 1. Corrélation d’images numériques FIGURE 1.17 – Extrait de 19 éléments. On observe que les déplacements (en noir) dispersés ont des faibles gradients d’image (en bleu) dans leurs entourage. Par exemple les nœuds aux pixels 243,5 ou 371,5. choisie. C’est-à-dire de voir comment varient les erreurs systématiques et aléatoires. Pour cela, une série d’images gi(x) est générée avec des déplacements compris entre -3 px et 3 px. La figure 1.18 montre que les erreurs systématique et aléatoire varie de manière périodique entre des déplacements en nombres entiers de pixel ce qui est bien connu dans la littérature. Par la suite on s’intéressera alors aux déplacements souspixel entre 0 et 1 px. Pour un déplacement inférieur à -2,5 px ou supérieur à 2,5 px l’algorithme CIN ne converge plus et augmente par conséquent les erreurs de mesure de manière importante (voir figure 1.18). Cela est dû au fait que l’algorithme de corrélation d’images n’arrive plus à converger. Cet intervalle de 5 px s’élargit avec l’augmentation de la taille des éléments et diminue avec une diminution de taille. Concernant cet effet, Besnard et al. [2006] proposent une méthode multi-grille pour augmenter la robustesse de l’algorithme CIN, comme évoqué en amont et illustré en figure 1.12. −3 −2 −1 0 1 2 3 −0.05 0 0.05 displacement → mean → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 606. element size: 16. −3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.005 0.01 0.015 0.02 displacement → standard deviation → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 606. element size: 16. FIGURE 1.18 – Erreurs systématique et aléatoire pour des déplacements entre -3 et 3 px. L’influence de la taille d’élément est visible en figure 1.19 pour l’erreur systématique et en figure 1.20 pour l’erreur aléatoire. L’image f (x) a été transformée entre 0 et 1 px pour générer une série de 50 images gi(x). On retrouve les formes typiques en « S » et en « cloche » connues dans la littérature [Amiot et al., 2013]. L’ensemble des courbes sont illustrées dans les figures 1.21 (valeurs absolues). Cet exemple montre que l’erreur systématique reste indépendante de la taille d’élément. Mais surtout que l’erreur aléatoire diminue avec le nombre de pixels par élément. Il semble donc préférable d’utiliser des grands éléments. En effet, cela régularise le problème. Plus il y a de pixels, plus l’erreur aléatoire est basse. Mais évidement, plus la résolution spatiale est dégradée. Il a été illustré que : 3. Illustration de la CIN dans un cas unidimensionnel 37 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 displacement → mean → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 606. element size: 16. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 displacement → mean → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 37. element size: 256. FIGURE 1.19 – Évolution de l’erreur systématique en fonction du déplacement sub-pixel de l’image. Erreur systématique mesurée avec un maillage de 16 et 256 px/élément. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 displacement → standard deviation → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 2425. element size: 4. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 displacement → standard deviation → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 606. element size: 16. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 x 10−3 displacement → standard deviation → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 303. element size: 32. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10−3 displacement → standard deviation → Image size: 9900px. Mesh range: 100 to 9800. Number of elements: 37. element size: 256. FIGURE 1.20 – Évolution de l’erreur aléatoire en fonction du déplacement sub-pixel de l’image. Erreur aléatoire mesurée avec un maillage de 4, 16, 32 et 256 px/élément. ⌅ Les incertitudes de mesure en erreur aléatoire diminuent avec l’augmentation de la taille de l’élément. L’erreur systématique reste indépendante de la taille de l’élément. Le comportement est donc le même que celui des méthodes CIN «subset-based» [Amiot et al., 2013]. 38 Chapitre 1. Corrélation d’images numériques 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 displacement → means → el size: 4 el size: 8 el size: 16 el size: 32 el size: 64 el size: 128 el size: 256 el size: 512 el size: 1024 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 displacement → standard deviation → el size: 4 el size: 8 el size: 16 el size: 32 el size: 64 el size: 128 el size: 256 el size: 512 el size: 1024 FIGURE 1.21 – Les erreurs de mesures en échelle logarithmique en fonction du déplacement sous-pixel et de la taille d’élément. En haut : valeur absolue de l’erreur systématique. En bas : erreur aléatoire. En fonction du gradient de déplacement On observe que les incertitudes de mesure diminuent si la taille de l’élément augmente, dans le cas de déplacements (ou de champs de déplacements) homogènes, où une faible résolution spatiale est suffisante. Ceci peut ne pas être le cas pour un champ de déplacement hétérogène, nécessaire par exemple pour pouvoir identifier plusieurs paramètres d’une loi de comportement. L’exemple suivant n’impose plus à l’image des déplacements de type corps rigide mais un champ de déplacement qui varie dans l’espace. Le champ de déplacement est mesuré avec des maillages de taille d’éléments différents. La fonction du déplacement imposé que nous proposons est la suivante : u(x) = ( exp(x10)°3 2 · sin(3º· x4 + 3 2 ·º) x 2 [0 ; 0, 2 ·l] x 2 ]0, 2 ·l ; l] avec l=longueur d’image (1.31) 3. Illustration de la CIN dans un cas unidimensionnel 39 L’idée de cette fonction est de présenter des forts gradients de déplacement. La première partie, appliquée sur les premiers 20% de l’image, est un déplacement sous forme exponentielle. La deuxième partie est un sinus dont la fréquence augmente spatialement, ce qui présente des gradients de plus en plus importants avec des changements de plus en plus denses. Les deux parties présentent une discontinuité à l’endroit où elles sont reliées. Cette discontinuité de déplacement a un fort impact sur son gradient, voir figure 1.22. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pixel → displacement: u(x) → imposed displacement 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 pixel → gradient of u(x) → gradient of imposed displacement FIGURE 1.22 – Le déplacement imposé (à gauche) et son gradient (à droite). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pixel → displacement → element size: 128 imposed displacement calculated displacement 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pixel → displacement → element size: 256 imposed displacement calculated displacement FIGURE 1.23 – Le déplacement imposé (bleu) et mesuré (rouge) avec un maillage régulier de 128 px/élément (gauche) et 256 px/élément (droite). Les figures 1.23 et 1.24 montrent qu’une taille d’élément de 128 px est encore capable de suivre correctement la cinématique. Alors qu’à partir de 256 px par élément la résolution spatiale a bien diminué et le déplacement est estimé de moins en moins bien. La figure 1.25 montre les résidus ¥ = uimp ° umes pour différentes tailles d’éléments sur toute l’image. En regardant attentivement la partie où se trouve la discontinuité (cette fois-ci en valeurs absolues, voir la figure 1.26 à gauche), on constate également que les résidus sont très importants à cet endroit mais aussi que, dû à leur discrétisation de plus en plus faible, la zone impactée par l’erreur de mesure, est de plus en plus grande. Le zoom sur le déplacement sinusoïdal à forte fréquence (voir la figure 1.26 à droite) montre que les résidus augmentent avec l’augmentation de la fréquence quelque soit la taille des éléments. On retient que : ⌅ La fidélité de la représentation de la cinématique (dans un cas de champ hétérogène) diminue avec 40 Chapitre 1. Corrélation d’images numériques 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pixel → displacement → element size: 512 imposed displacement calculated displacement 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pixel → displacement → element size: 1024 imposed displacement calculated displacement FIGURE 1.24 – Le déplacement imposé (bleu) et mesuré (rouge) avec un maillage régulier de 512 px/élément (gauche) et 1024 px/élément (droite). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 pixel → residual → el size: 32 el size: 64 el size: 128 el size: 256 el size: 512 el size: 1024 FIGURE 1.25 – Résidus entre le déplacement imposé et le déplacement mesuré pour différentes tailles d’éléments. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 pixel → residual → el size: 32 el size: 64 el size: 128 el size: 256 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 pixel → residual → el size: 32 el size: 64 el size: 128 el size: 256 FIGURE 1.26 – Résidus entre le déplacement imposé et le déplacement mesuré pour différentes tailles d’éléments. Gauche : zoom sur la zone où se trouve la discontinuité. Droite : zoom sur la partie du déplacement sinusoïdal à haute fréquence. Les valeurs sont en valeurs absolues. 3. Illustration de la CIN dans un cas unidimensionnel 41 l’augmentation de la taille des éléments, c’est-à-dire lorsque la résolution spatiale se dégrade 

Un mouchetis à deux échelles

D’après la section «L’incertitude de mesure» on peut conclure que : ⌅ Il est toujours délicat pour l’utilisateur de faire le bon compromis entre incertitude de mesure et résolution spatiale. Les éléments doivent être suffisamment petits pour que le modèle cinématique (ici linéaire) puisse correctement approximer la déformation réelle dans l’image. Les maillages de simulations calculées par éléments finis sont raffinés à des endroits où on s’attend à de forts gradients en déplacement/déformation/contrainte. Dans ces travaux on cherche à identifier des paramètres de loi de comportement élastique en utilisant un seul maillage EF, celui optimisé pour la simulation. Cela limite les erreurs de projection pour la comparaison des résultats de mesure avec celles de la simulation. Comme on se retrouve avec des petits éléments aux endroits de forts gradients, les incertitudes de mesure sont élevées. La section 3.2.3 conclut sur le fait que des grands éléments sont nécessaires pour garder les incertitudes suffisamment faibles. Autrement dit, les éléments nécessitent suffisamment de pixels ou d’information, en terme de gradient d’image, pour calculer un déplacement avec peu d’incertitudes. L’idée principale de notre approche est donc d’augmenter le nombre de pixels par élément en rajoutant des images en champ proche. Certes, l’image en champ proche ne couvre pas toute la région du maillage, mais cela n’est pas forcément impératif. De plus, une autre caméra couvre, à l’échelle lointaine, toute la structure. La mesure de champs par CIN sera donc améliorée localement sur la zone imagée en champ proche. L’exemple suivant illustre le gain en incertitudes de mesure avec une telle démarche. Deux images sont comparées : une image à l’échelle lointaine et une à l’échelle proche. Le facteur d’agrandissement entre les deux images est de 10. L’image f (x) des exemples précédents sert d’image en champ proche. Pour générer l’image en champ lointain, par exemple avec une discrétisation plus faible, chaque pixel résulte de l’agrégation (binning) de 10 pixels de l’image en champ proche (coarse graining). Par la suite, la dynamique de la nouvelle image est ajustée à la même dynamique de 0 à 255 niveaux de gris (car l’utilisateur ajuste toujours le dispositif optique afin d’obtenir une dynamique maximale dans l’image). L’image en champ lointain contient dix fois moins de pixels que l’image en champ proche, concrètement 1000 au lieu de 10000. La figure 1.27 montre les extraits de la même zone dans les deux images. On cherche à utiliser un seul maillage, celui de la simulation, pour la mesure par corrélation pour des images de chaque échelle. La taille d’élément est donc dix fois plus élevée à l’échelle proche. On impose à l’image «déformée», comme vu précédement, un déplacement de type translation sub-pixel compris entre 0 et 1 pixel par pas de 0,02 pixel. On corrèle l’image initiale avec les images translatées et on calcule l’écart-type du champ de déplacement mesuré. La mesure à partir de la CIN-EF se fait pour cet exemple avec des éléments de taille 4, 8, 16, 32 pour l’échelle lointaine et 40, 80, 160 et 320 px par élément pour l’échelle proche. Les figures 1.28 et 1.29 montrent les résultats en terme d’erreur aléatoire. Pour les grandes tailles d’éléments, le gain est de l’ordre de grandeur de 3. En diminuant la taille des éléments, le gain atteint environ 30.