Résistance des Matériaux

NOTION DE POUTRE

Les résultats établis dans la suite de ce cours sont valables, avec une bonne approximation, pour des solides ayant la forme de poutre. La ligne moyenne (Lm) d’une poutre est le lieu des centres de gravité ou centres de surface ou barycentres A, G, B des sections droites successives (les trois désignations sont régulièrement utilisées). Les sections droites sont des sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne de la poutre.

Une poutre est définie par : Sa ligne moyenne (ligne droite ou ligne courbe à grand rayon de courbure, sur laquelle se trouve le barycentre G des sections droites). Celle-ci est le plus souvent rectiligne ; Sa section droite (section qui engendre la poutre, constante et de centre de surface G). Celle-ci est en principe constante et son centre de surface est sur la ligne moyenne. Conditions :  Les sections droites doivent rester constantes ou ne varier que progressivement entre A et B.

Les brusques variations de sections (trous, épaulements…) amènent des phénomènes de concentrations de contraintes, qui doivent être étudiés séparément.  Les charges supportées sont contenues dans le plan de symétrie. Remarque : une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites. Les équations et résultats établis par la suite donnent des résultats précis si la longueur (L) de la ligne moyenne est supérieure à 10 fois la plus grande dimension transversale. Exemples de poutres satisfaisant l’hypothèse de symétrie Exemples de poutres ne satisfaisant pas l’hypothèse de symétrie :

HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX

Les formules et propriétés établies dans la suite de ce cours supposent que : 1) Les matériaux sont homogènes, continus et isotropes. 2) Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenues dans le plan de symétrie. 3) Hypothèse de Navier Bernoulli : les sections droites, planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. Il n’y a pas de gauchissement des sections droites. 4) On se place toujours dans le cas de petites déformations.

Autrement dit, les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre. Définitions  Un corps est homogène lorsque tous les cristaux ou tous les grains de matières sont identiques: même constitution, même structure.  Un solide est isotrope lorsque tous les points de sa structure ont les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions. Le bois n’est pas un matériau isotrope ; en effet, il est plus résistant dans le sens des fibres que dans le sens perpendiculaire aux fibres. Remarques 

Les métaux peuvent être supposes homogènes et isotropes, l’expérience montre que l’écart entre le modèle et la réalité est faible.  Compte tenu des hypothèses 3 et 4, on peut admettre que les forces extérieures conservent une direction fixe avant et après déformation. On se place toujours dans le cas de petites déformations. Autrement dit, les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre. 

Hypothèses sur le matériau

Continuité La matière est continue (les distances entre les molécules sont toujours très petites; à l’échelle de la RDM, la matière apparaît continue). Autrement, ses propriétés sont des fonctions continues de l’espace, les discontinuités microscopiques dues à la nature des matériaux de construction (grains, mailles…) sont négligées. Pas de fissure, pas de creux … Homogénéité On admettra que tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique. Ses propriétés sont identiques en chaque point. Isotropie

On admettra, qu’en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, les matériaux possèdent les mêmes propriétés mécaniques. On admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. L’isotropie est vérifiée pour les aciers non fibrés (Les aciers laminés et forgés ne sont pas isotropes). Elle n’est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites…etc. 

Hypothèses sur la géométrie – Hypothèse de la poutre Une poutre est un solide engendré par une surface plane (Σ) dont le centre G décrit une courbe appelée ligne moyenne. Le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite (Σ). La section droite (Σ) de centre de surface G est constante ou varie progressivement. La poutre a une grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

La poutre possède un plan de symétrie. Les points disposés de façon identique sur les sections droites constituent des lignes appelées fibres. La ligne moyenne est aussi appelée fibre neutre. Lorsque la ligne moyenne est une droite, alors la poutre est appelée poutre droite. Les sections droites des poutres étudiées ont un plan de symétrie et qu’elles sont chargées dans ce plan.