Homogénéisation symplectique

Nous présentons ici la théorie de l’homogénéisation symplectique, dénie par Viterbo dans un premier temps sur le cotangent du tore, puis dans [MVZ] dans le cas général. L’idée centrale est de récupérer des invariants symplectiques étant donnée un système Hamiltonien. La théorie de Floer que nous rappelons dans les premiers chapitres donne déjà des invariants qualitatifs. Nous montrons ensuite que le fait de garder l’information contenue dans la ltration par l’action permet d’extraire des invariants quantitatifs. Les diérentes propriétés de l’homogénéi- sation en font un quasi-état symplectique partiel, notion déjà dénie par Entov et Polterovich à partir des invariants spectraux hamiltoniens. Dans le cas du co- tangent, nous verrons que l’homogénéisation « lagrangienne » donne une théorie plus riche que lorsque l’on applique le programme d’Entov et Polterovich dans le cas du cotangent. En particulier, une conjecture de Viterbo sur la distance spectrale des lagrangiennes, impliquerait que l’homogénéisation est en fait un quasi-état et peut être vu comme un quasi-morphisme sur le groupe des diéo- morphisme hamiltonien. Finalement, nous tenterons de voir comment généraliser cette construction au niveau de la catégorie de Fukaya.

Le but de ce chapitre est de rappeler la construction de l’homologie de Floer Lagrangienne et Hamiltonienne. La théorie développée par Andreas Floer est assez similaire à la théorie de Morse, mais ici l’espace n’est plus une variété de dimension nie mais une variété Hilbertienne. La diérence avec la dimension nie est qu’elle ne coïncide pas avec l’homologie singulière. Il existe cependant quelques articles qui la dénissent en terme de cycles pseudo-innis [Lip]. Dans toute cette thèse, nous nous placerons dans le cadre du cotangent à une variété lisse connexe et compacte notée T ∗M et muni de la forme symplectique canonique dλ, λ la 1-forme de Liouville. Cependant, l’essentiel des arguments de la partie A pourraient être exportés sans réel changement dans les preuves au cas exact et avec un peu plus de diculté au cas monotone. L’homologie se dénit toujours à partir d’un complexe de chaine et d’une application bord. Il est d’ailleurs bon de rappeler que celle-ci n’est qu’une partie des invariants algébriques, l’information algébrique étant plus complète au niveau des complexes de chaines. Dans le cas de l’homologie de Floer, comme dans l’homologie de Morse-Witten, le complexe est donné par l’espace vectoriel des points critiques et les applications de bords par la combinatoire des ots de gradients d’une fonctionnelle d’action. Nous tâchons dans les chapitres suivant d’établir le cadre et les dénitions exactes de l’homologie de Floer.

Des variétés de dimension infinies

Comme nous l’avons dit auparavant, le complexe est obtenu à partir d’une fonctionnelle. Nous présentons ici deux espaces de dimensions innis qui sont les ensembles de dénition des fonctionnelles dénissant le complexe de Floer hamiltonien et lagrangien. naturelle donnée par l’indice de Morse de la fonction. Ici, cependant, l’espace étant de dimension inni, nous sommes souvent confrontés à des indices de Morse eux-même innis.Bien que nous ayons vu que l’indice ne peut être déni comme dans le cas de la dimension nie. Il est possible de retrouver une diérence d’indice, par la dimen- sion de l’intersection de l’espace instable de x et l’espace stable de y pour le ot de gradient. L’analyse du linéarisé de l’opérateur de Cauchy-Riemann perturbé permet de calculer cette dimension qui est nie (J étant choisi génériquement).