Homogénéisation périodique et caractérisation du comportement élasto-plastique des empilements de tubes

La modélisation de structures sandwichs macroscopiques de grandes dimensions avec un cœur cellulaire dans le cas où la structure à l’échelle mésoscopique est du même ordre de grandeur de taille que la structure se confronte à deux limitations. D’une part, leur modélisation devient coûteuse en temps de calcul de par le grand nombre d’hétérogénéités à prendre en compte. Et d’autre part, l’application de la technique de l’homogénéisation s’approche de la limite de validité des hypothèses de la méthode. De plus, le matériau cellulaire modèle étudié a un taux de porosité située entre celui des matériaux tels que les mousses ou celui des matériaux poreux. Ainsi, l’objectif de cette partie est d’identifier une loi phénomènologique élasto-plastique compressible fortement anisotrope sur la base du comportement caractérisé du matériau modèle par la technique de l’homogénéisation des milieux périodiques. Ainsi, l’approche utilisée permet de déterminer le lien entre l’architec- ture à l’échelle mésoscopique de l’empilement, le comportement du matériau constitutif et le comportement macroscopique pour des chargements multi-axiaux. L’étude se concentre sur le comportement mécanique pour des déformations macroscopiques inférieures à 5%. Ainsi, on se place en première approche dans l’hypothèse des petites déformations ce qui simplifie grandement la résolution du problème mécanique et diminue les coûts des calculs éléments finis.Les travaux présentés dans ce chapitre ont été soumis à publication dans International Journal of Mechanical Sciences (Iltchev et al.). Les figures sont données ici en couleur par rapport à l’article soumis et leur mise en page est uniformisée avec le reste du manuscrit. On propose, dans un premier temps (section 3.1), d’appliquer l’homogénéisation pério- dique en petites déformations pour l’étude des cœurs cellulaires des structures sandwichs modèles présentées dans l’introduction.

Cette étude est menée jusqu’à 5% de déformation inélastique macroscopique pour étendre l’approche par modélisation de la cellule unitaire de Tsuda et al. (2010) à des niveaux de déformations plus importants et avec des condi- tions aux limites périodiques. De plus, en appliquant la formulation de l’homogénéisation périodique numérique proposée par Feyel et Chaboche (2000), les calculs sont pilotés en contraintes macroscopiques ce qui permet de solliciter la cellule périodique selon des che- mins de chargements proportionnels dans l’espace des contraintes. Ceci permet d’analyser les évolutions de la limite d’élasticité et du comportement inélastique pour des charge- ments multi-axiaux.La section 3.2 est quant à elle dédiée à l’identification d’une Loi Homogène Equivalente (LHE) rendant compte du comportement de chaque empilement, carré et hexagonal, de tubes. Les LHE ainsi identifiées doivent permettre par la suite la modélisation des struc- tures sandwichs à cœur cellulaire.Une étude des structures sandwichs de taille finie est proposée dans la section 3.3 pour des cas de chargement en compression et en glissement simple. Le cœur des structures sandwichs étudiées est constitué d’un nombre fini de tubes dans la largeur et dans la hauteur.

L’effet de taille et l’influence des effets de bords sont étudiés dans le cas de ces matériaux cellulaires de densités relatives d’environ 30% pour les deux types d’empile- ment. Une première étape a consisté à calculer toutes les tailles de structures pour chaque type d’empilement entre 3 et 11 tubes dans les deux directions. Ces calculs sur structures entièrement maillées sèrvent de références. Puis, dans une deuxième étape, des calculs uti- lisant des Milieux Homogènes Equivalents (MHE) ont été effectués pour chaque taille de structure sandwich. Leurs comportements ont été comparés à ceux des calculs de référence sur structures complétement maillées.Finalement, en section 3.4, différents compléments au contenu de l’article soumis (Iltchev et al.) sont fournis. On présente tout d’abord les résultats de la caractérisation des VER de chaque empilement pour des chargements multi-axiaux. Puis, le comportement multi-axial des LHE identifiées est décrit. Pour finir, une phase de validation est réalisée à partir de calculs de flexion sur des structures sandwichs entièrement maillées et modélisées avec le MHE proposé.