Homogénéisation périodique en grandes déformations

Ce chapite a pour but de présenter l’homogénéisation périodique en grandes défor- mations. Dans un premier temps, on présente l’écriture du problème mécanique dans le cadre de la mécanique des milieux continus. Puis, on introduit les grandeurs physiques et mécaniques nécessaires à l’écriture du problème dans le cadre de l’homogénéisation des milieux périodiques. Finalement, on décrit les développements nécessaires à son intro- dution dans le formalisme des éléments finis. L’application dans le code de calcul Z-set (www.zset-software.com) est présentée en annexe A., l’espace qu’occupe les points matériels de ce corps à un instant t. On note x (M, t) la position à un instant t d’un point matériel M du corps matériel M dans l’espace E muni d’un référentiel R. On note Ωla configuration initiale à l’instant t = 0 dite configuration de référence. On note X et x respectivement les positions du point matériel M dans la configuration de référence et dans la configuration courante. On considère la transformation Φ qui, à chaque instant t, associe les positions d’un point matériel dans ΩOn peut suivre l’évolution de grandeurs physiques et mécaniques d’un corps matériel dans son mouvement à partir de plusieurs points de vue particuliers.

Description lagrangienne du mouvement

La configuration initiale à t = 0 est ici choisie comme configuration de référence. La description lagrangienne du mouvement consiste à considérer les grandeurs physiques et mécaniques étudiées comme des fonctions de la variable X ∈ ΩLa description eulérienne du mouvement consiste à considérer les grandeurs physiques et mécaniques étudiées comme des fonctions du point géométrique x ∈ E.indique une grandeur mésoscopique.On relie de manière similaire la moyenne volumique du tenseur des contraintes de Piola- Kirchhoff 1 – ou de Boussinesq – à la moyenne des résultantes des vecteurs tractions sur le bord. Le champ SL’homogénéisation demande de définir l’ensemble des grandeurs qui seront utiliséesà chaque échelle de modélisation. A l’échelle mésoscopique, on note le champ de vitesseu en tout point comme étant la somme d’un champ issue d’une vitesse de déformation homogèneOn en conclut que le travail des forces internes macroscopiques est égal à la moyenne du travail des forces internes mésoscopiques (lemme de Hill-Mandel, Hill (1967))On s’intéresse maintenant à la formulation éléments finis d’un problème mécanique d’homogénéisation périodique avec conditions de périodicité. On peut réécrire la matrice des dérivées des fonctions de forme et des degrés de liberté du problème en intégrant les degrés de liberté macroscopiques :

Il est intéressant de simplifier les méthodes mathématiques de résolution du problème mécanique posé en utilisant l’hypothèse des transformations infinitésimales. En faisant l’hypothèse de linéarisation de la déformation, on retrouve la formulation classique de l’homogénéisation périodique :Ce tenseur des déformations infinitésimales est la partie symétrique du gradient du dépla- cement. Le cadre des transformations infinitésimales est plus restrictif que celui où l’on ne demanderait qu’aux seules déformations d’être infinitésimales, car il faut également que les rotations ω.