MODELISATION DE LA CONVECTION NATURELLE TRANSITOIRE D’UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE DANS UNE CAVITE REMPLIE DE MATIERE POREUSE

Généralités sur les milieux poreux 

Définitions et exemples 

 Un milieu poreux est-constitué par un solide de forme complexe, englobant des vides appelés « pores » ceux-ci peuvent communiquer entre eux et contenir un ou plusieurs phases fluides susceptibles de s’écouler. La partie solide du milieu poreux doit être connexe afin d’avoir une certaine cohésion : c’est en cela qu’un milieu poreux se distingue par exemple d’une suspension de particules solides dans un fluide. Figure 1 : Matrice solide et espace poreux 

 Exemples de milieux poreux

 Dans notre environnement nature il existe plusieurs sortes de milieux poreux par exemple : Les milieux poreux d’intérêt industriel, les sols, les brigues… Figure 2 : Mousse métallique II. Caractéristiques et propriétés physiques  La Porosité : La première caractéristique d’un milieu poreux est la porosité : il s’agit du rapport entre le volume des pores (les vides) accessibles au fluide et le volume total du milieu. 𝜺 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑖𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑢 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 = 𝑉𝑓 𝑉𝑇 (I.1) Dans cette formule, Vf est le volume accessible au fluide, et VT le volume total du milieu. Cette définition est applicable globalement afin d’obtenir une porosité apparente, ou localement dans un volume de contrôle bien défini, en considérant l’espace localement accessible au fluide dans ce volume de contrôle. La porosité varie donc entre 0 (si le solide est plein) et 1 (s’il est complétement vide). Il est évident que pour un milieu constitué de granulés sphériques et fait de parois lisses, la porosité au niveau de la paroi sera bien plus importante qu’au cœur du milieu, du fait que seul un point de contact existe entre la paroi et chaque grain. Exemple Figure 3 : Différence de porosité locale entre cœur d’un lit de réacteur et proche paroi  Profil de porosité rencontré dans la littérature Il existe dans la littérature des formules correctives pour la porosité moyenne d’un milieu de dimensions finies.

Ces formules considèrent le milieu comme homogène de porosité légèrement supérieure à celle d’un milieu infini. La décroissance de la porosité au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la paroi a été bien décrit par la formule donnée par [Cheng et Vortmeyer, 1988] : 𝜀 = 𝜀∞ (1 − 𝐶1𝑒 −𝑁1 𝑦 ∗ 𝑑∗) (I.2) Avec C1 = 1, N1 = 2, et 𝜀∞= 0.4 selon les auteurs, et y* et d* respectivement l’écart à la paroi et le diamètre de grain rapportés à la longueur caractéristique du lit (généralement le diamètre hydraulique du lit). [Xue et Pei, 2001] propose eux : 𝜀 = 𝜀∞ (1 + 0,568𝑑 𝐿(1−𝑒− 3𝐿 𝑑 ) ) (I.3) Cette formule permet de corriger la porosité pour prendre en compte l’effet de paroi dans le cas où l’on considère le milieu comme un milieu homogène. 

La Perméabilité : La perméabilité 𝒦d’un matériau poreux est sa capacité à laisser un fluide le traverser, elle est trouvée grâce à la loi de Darcy. 𝑄 = 𝒦 𝜇 𝐴 ∗ ∆𝑃 𝐿 (I.4) Chap. I : Généralité et Revue Bibliographique Mémoire de Master présenté par Mamadou Laye Séne FST/UCAD 5 Dans la littérature la perméabilité a été estimée de plusieurs façons et on peut en citer quelquesunes parmi ces modèles les plus souvent rencontrés : Figure 4 : Faisceau de tubes capillaires Figure 5 : Empilement de sphères La formule souvent utilisée pour estimer la perméabilité d’un empilement de sphères est celle d’Ergun : 𝒦 = 𝜀 3𝑑 2 150(1−𝜀)2 (I.5) Où d représente le diamètre des sphères  La Tortuosité : La tortuosité d’un milieu poreux est définie comme le rapport de la longueur moyenne Le que doit parcourir une particule fluide pour traverser le milieu poreux sur la longueur L du milieu poreux. Elle s’écrit comme suit : 𝜏 = (𝐿𝑒 𝐿 ) 2 (I.6) III. Généralités sur la loi de Darcy L’étude fondatrice des écoulements en milieu poreux a été réalisée par l’ingénieur Henry Darcy en 1856 avec son célèbre livre « Les fontaines publiques de la ville de Dijon » [19]. Darcy fut chargé de l’alimentation en eau potable de la ville de Dijon.

Il fit passer l’eau d’une source dans une couche de sable. Pour dimensionner les installations hydrauliques il détermina empiriquement la loi qui relie le débit volumique du fluide Q à travers une section 𝒜 de la couche en fonction de la chute de pression ΔP sur une longueur L de la couche. 𝑄 = 𝒜 𝒦 𝜇 ∆𝑃 𝐿 (I.7) Par la suite des expériences ont montré que la vitesse moyenne du fluide u est de surcroit inversement proportionnelle à la viscosité du fluide suintant le matériel poreux. Figure 6 : expérience de Darcy  Ces expériences ont été traduites mathématiquement par la formule suivante : 𝑢 = 𝒦 𝜇 (− 𝑑𝑃 𝑑𝑥) (I.8) Cette loi initialement valable pour les massifs poreux homogènes et les écoulements verticaux uniformes, devient rapidement applicable à des corps poreux hétérogènes, à des fluides autres que l’eau éventuellement compressible et à des écoulements non uniformes. Aujourd’hui, elle prend la forme suivante : 𝑉⃗ = − 𝒦 𝜇 (𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 − 𝜌𝑔 ) (I.9) Sous cette forme généralisée, la loi de Darcy est très bien vérifiée par l’expérience, du moins dans un certain domaine : les déformations du milieu poreux doivent être négligeables et l’écoulement du fluide à l’échelle des pores doit être bien décrit par les équations de NavierStokes (équations de Navier-Stokes linéarisées dans lesquelles les termes représentant des forces d’inerties sont négligés. Ce qui suppose l’écoulement suffisamment lent).

B. Revue Bibliographique Dans cette partie du chapitre nous allons effectuer la revue des principales œuvres qui ont traité précédemment la convection naturelle en milieu poreux. Niel et Benjan [1] ont résumé dans leur ouvrage la plupart des travaux expérimentaux, analytiques, et numériques qui traitent les transferts convectifs de chaleur et de masse en milieux poreux. Taunton et al [2] en considérant les couches poreuses dans le cas isotrope, ont étudié la convection thermique pure avec des gradients verticaux de températures et de concentrations imposés. Mamou et al [3] ont établi une solution analytique et ont comparé aux résultats numériques pour une cavité poreuse soumise à des flux uniformes de chaleur et de masse sur les parois horizontales. G. Neale [4] en s’intéressant à la convection naturelle en milieu poreux anisotrope, a montré que l’anisotropie en perméabilité dans les milieux poreux a une plus forte incidence en pratique que celle en diffusivité thermique.

Degan et al [5] ont étudié l’effet de l’anisotropie sur le transfert de chaleur par convection naturelle thermique dans une cavité horizontale saturée par un fluide et soumise à des gradients de température non uniforme Zheng et al [6], eu égard au modèle de Darcy-Brinkman, ont montré que le nombre de Nusselt est maximum lorsque le nombre de Darcy est suffisamment large. Ni et al. [7] ont effectué une étude sur le transfert de chaleur d’une couche poreuse verticale. Le milieu poreux était anisotrope en perméabilité et en conductivité thermique. Chan et al. [8] ont montré l’influence de l’anisotropie en perméabilité, de la diffusivité thermique du milieu poreux et de la conductivité des parois adjacentes à la cavité poreuse sur le nombre de Nusselt Chap. I : Généralité et Revue Bibliographique Mémoire de Master présenté par Mamadou Laye Séne FST/UCAD 7 Bennacer et al. [9] dans leur étude sur une cavité verticale soumise à des températures et des concentrations constantes sur les parois verticales, ont montré que les propriétés anisotropiques du milieu poreux affectent considérablement les taux de transfert de la chaleur et de la masse dans la cavité. Yoo et al. [10] ont étudié l’analyse des transferts de chaleur et de masse dus à la convection thermosolutale dans une cavité constituée d’un milieu poreux anisotrope et soumise à des gradients horizontaux de température et concentration Mahidjiba et al. [11] en étudiant le problème de la convection naturelle pénétrante dans une couche inclinée rectangulaire, anisotrope et saturée par de l’eau froide, ont montré que les différents nombres de Rayleigh critiques marquant le seuil de convection ont été obtenus pour le cas où la densité du fluide est liée linéairement avec la température ainsi que pour le cas où elle prend la forme quadratique avec la température. Malashetty [12] a montré l’influence de l’anisotropie thermo convective et du nombre de Prandtl sur le nombre de Rayleigh poreux thermique et la stabilité de l’écoulement convectif, en présence de l’effet Soret et Duffour. Royer et Flores [13] ont étudié la convection naturelle thermique dans des couches horizontales anisotropes chauffées par le bas et se sont intéressés à l’anisotropie et à l’hétérogénéité du milieu avec une source de chaleur interne.

Rosenberg et al. [14] ont établi, des corrélations qui montrent la dépendance du nombre de Nusselt et du nombre de Sherwood avec le rapport des forces de volume d’origine thermique et solutale, du nombre de Rayleigh poreux thermique et du nombre de Lewis pour le cas du régime de Darcy et en régime permanent dans une enceinte rectangulaire. Allouiet al. [15] ont étudié la convection naturelle dans un milieu poreux saturé par un fluide binaire dans une cavité carrée en utilisant le modèle de Darcy. La paroi supérieure est refroidie à une température constante et la paroi inférieure est isothermiquement chauffée, tandis que les parois verticales sont adiabatiques. Nithiarasuet al. [16] ont développé un modèle généralisé simulant la gamme entière de l’écoulement de Darcy en milieu poreux dans une enceinte rectangulaire jusqu’au cas du fluide pur. Les résultats obtenus montrent l’augmentation des taux de transfert de chaleur et de masse avec le nombre de Darcy. Sathet al. [17] en étudiant le transfert de chaleur par convection naturelle thermique dans une cavité rectangulaire partiellement occupée par une couche poreuse verticale, ont utilisé le modèle de DarcyBrinkman dans la couche poreuse et l’équation de Navier-Stokes dans le milieu fluide, et ont montré que le terme de Brinkman permet de satisfaire la condition d’un glissement aux parois solides et à l’interface et que le transfert thermique diminue fortement en présence de la couche poreuse. Ils ont conclu qu’il existe un minium pour le nombre de Nusselt en fonction de l’épaisseur de la couche poreuse, lorsque la conductivité du milieu poreux est supérieure à celle du fluide