Généralités sur les familles exponentielles

Ce chapitre est consacré à la description des FEN. Ainsi, la Section 1.2 décrit les FEN sur Rk, la Section 1.3 est consacrée aux fonctions variances et fonctions variances généralisées. La Section 1.4 mentionne quelques opéra- tions classiques sur les FEN et leurs fonctions variances (généralisées). Enfin, la Section 1.5 traite les cas particuliers des modèles stables-Tweedie univariés. Les familles exponentielles représentent un ensemble de lois, contenant la plupart des lois usuelles, qui satisfont à une propriété importante en Statis- tique que nous référons le lecteur au livre de Barndor -Nielsen (1978). Nous rappelons que pour étudier la loi d’une variable aléatoire x, nous considérons, soit ses probabilités f (x;  ) = P(X = x;  ) (cas discret), soit sa densité f (x;  ) (cas continu) paramétrés par  . Nous utiliserons dans les énoncés la fonction de densité, mais le cas discret est tout à fait analogue.Définition 1.2.1 Soit une variable aléatoire X de loi   Rk sur un espace mesurable (X; B). Cette loi fait partie d’une famille exponentielle si elle satisfait aux Les FEN est une classe remarquable des familles exponentielles. Elle est en générale déterminée par la forme de sa fonction variance contrairement aux fonctions variances généralisées qui de nos jours demeurent diciles à manipuler pour caractériser certaines FEN. Dans cette thèse nous considérons les FEN définies comme suit :

(x étant la mesure de Dirac en x). Seule la distribution de Poisson (  = 1 ou p = 1) est discrète dans la classe des stables-Tweedie univariées. Fina- lement, suivant les valeurs de p, les modèles stables-Tweedie univariés se di èrent plus ou moins par les expressions mathématiques de leurs mesures, les fonctions cumulantes, les supports de distribution ou leur domaines des moyennes. Tel est le cas de famille Poisson composée ayant une masse de distribution en zéro pour p 2 (1; 2). La sous-classe des distributions stables extrêmes p 2 (1; 0) ne sont pas steep et ne sera pas considérée dans ce travail. Par conséquent, sous la propriété de steepness nous résumons selon les valeurs de ces p, les sous-classes des stables-Tweedies univariées Twee- die (1984) comme suivent : la distribution normale (p = 0) avec le domaine des moyennes et le support de distribution R, les distributions de Poisson (p = 1) et Poisson composée (1 < p < 2) avec le domaine des moyennes (0; 1) et les supports de distribution N et [0; 1), respectivement. Et enfin, les distributions gamma (p = 2) et positive stable (p > 2) avec les domaines des moyennes et supports de distribution (0; 1). La Table 1.5.1 suivante récapi- tule les lois stables-Tweedie de domaine des moyennes Mp et de support de distributions Sp.

Remarque 1.5.2 Pour l’instant on n’a pas la continuité à droite de p = 1. Cela est dû au fait que la distribution de Poisson correspondante soit discrète. Une attention particulière mériterait de porter sur ce cas dans la suite de notre travail. La Table 1.6.1 ci-dessous décrit les diérentes étapes de caractérisations des modèles NST et MST qu’on utilisera dans la suite de ce travail. En eet, les flèches en bleues décrivent les modèles considérés tandis que celles en rouges donnent la procédure de caractérisations. La flèche continue rouge de caractérisation par fonction variance généralisée est à détailler en Section 4.2. Notons que ces fonctions variances (généralisées) sont définies sur M := K0(), où est le domaine canonique de K.